懸鏈線 一條神奇的“微笑”曲線

張飛

“你去過網(wǎng)紅城市重慶嗎？”

“去過，我還打卡了洪崖洞、李子壩、長江索道等景點，也見證了重慶的橋都文化，親身去看了重慶長江大橋、千廝門大橋、寸灘長江大橋，等等?！?/p>

“那你知道橋梁中的拱門、懸索等主要采用什么樣的曲線形式呢？”

“拋物線？”

“不對！再問你一個問題，你知道項鏈自然下垂形成的曲線的數(shù)學(xué)形式嗎？”

“雙曲線？”

“也不對?！?/p>

“那它們該叫什么？”

其實，這類像在“微笑”的曲線，你肯定見過，只是不一定知道它們叫什么。它們的大名叫“懸鏈線”，是連達·芬奇都稱“奇”的一條曲線，也是我們今天這篇文章要介紹的主角。

170年未解之謎

什么是懸鏈線呢？懸鏈線指的是一種曲線，為兩端固定的均勻、柔軟的繩索、鏈條等在重力的作用下所具有的曲線形式，如懸索橋、電線等。

對懸鏈線數(shù)學(xué)形式的探討，最早可追溯至文藝復(fù)興時期，和“文藝復(fù)興三杰”之一的達·芬奇有著莫大的關(guān)系。達·芬奇不僅是意大利的著名畫家，還是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和機械工程師。他的經(jīng)典作品之一—《蒙娜麗莎》給世界帶來了永恒的微笑。在創(chuàng)作這幅名畫時，作為數(shù)學(xué)家和畫家的達·芬奇通過各種精確的數(shù)學(xué)計算，來確定人物的比例結(jié)構(gòu)以及半身人像與背景間關(guān)系的構(gòu)圖問題。這樣的精細化思維使得他在創(chuàng)作《抱銀貂的女人》時想到了一個問題：固定項鏈的兩端，使其自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么曲線？這便是著名的懸鏈線問題。可惜的是，達·芬奇還沒有找到答案便去世了。

懸鏈線問題的提出，在數(shù)學(xué)史上引起了不小的爭議。很多人從直觀上認為它是一條拋物線，因為兩者看起來的確很相似，就連意大利物理學(xué)家伽利略也是這么認為的。他在1638年撰寫的《兩個新科學(xué)》（Two New Sciences）一書中提出，懸鏈線可能就是一條拋物線。與伽利略同時期的法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾也有類似的猜測。他在自己的筆記中注釋過，懸鏈線可能是某種圓柱曲線，并把拋物線和雙曲線都放進了懷疑名單中。此后的幾十年，幾位數(shù)學(xué)家通過不同的方式證明了懸鏈線不等同于拋物線。1646年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯通過物理學(xué)方法證明這條曲線不是拋物線，但未能給出具體的數(shù)學(xué)函數(shù)形式。1669年，德國數(shù)學(xué)家約阿海姆·永第也給出了懸鏈線不是拋物線的結(jié)論。

隨著自然常數(shù)e和微積分方法的出現(xiàn)，1690年，時間跨度長達170年的懸鏈線問題終于被惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利解決，從而確定了懸鏈線的數(shù)學(xué)形式—雙曲余弦函數(shù)。

憑借推出了懸鏈線表達式，約翰·伯努利開始公開嘲笑哥哥雅各布·伯努利，他說，自己只犧牲了“整整一晚”的休息時間就找到答案，而雅各布與這道題持續(xù)搏斗了整整一年。史上第一數(shù)學(xué)天（家）團（族）的愛恨情仇大戲就此拉開。當(dāng)然，這是另外一個故事。

我們還是回過頭來繼續(xù)認識懸鏈線。

古人巧用懸鏈線

在早期的研究中，懸鏈線主要被用于建筑學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域。如今，世界各地仍有許多著名的懸鏈線建筑，如美國密蘇里州192米高的圣路易斯拱門、華盛頓杜勒斯國際機場的主航站樓和我國四川的瀘定橋等。

懸鏈線的數(shù)學(xué)形式分為兩種：一種是普通懸鏈線，其數(shù)學(xué)形式為雙曲余弦函數(shù)；另一種是等強度懸鏈線，其數(shù)學(xué)形式為對數(shù)余弦函數(shù)。顧名思義，等強度懸鏈線指曲線上每一個點的受力相同，因此，在理想條件下，它每一處的抗斷能力都是恒定的。所以，有人很快想到，如果把等強度懸鏈線翻轉(zhuǎn)，那么形成的結(jié)構(gòu)也能很好地承受自身的重力。相比于普通懸鏈線，等強度懸鏈線具有更好的力學(xué)特性，但在實際建設(shè)過程中也更困難，所以很少有符合等強度懸鏈線的橋梁和拱門。

特別需要說明的是，雖然懸鏈線函數(shù)是由歐洲學(xué)者給出的，但懸鏈線形狀的橋梁最早出現(xiàn)在我國。早在公元前3世紀，四川成都的都江堰即出現(xiàn)了竹制懸索橋—安瀾索橋。安瀾索橋最早被稱為繩橋或竹藤橋，與趙州橋、盧溝橋、湘子橋和洛陽橋并稱為我國著名的五大古橋。清嘉慶八年（1803年），何先德夫婦倡議修建竹索橋，以木板鋪面，旁設(shè)扶欄，兩岸行人可以安渡狂瀾，故更名“安瀾橋”。

另外，在我國江南水鄉(xiāng)的浙江紹興，人們發(fā)現(xiàn)了迄今為止我國最古老的近似于懸鏈線拱的石拱橋—迎仙橋。該橋在明萬歷《新昌縣志》中有載。由此看來，我國的造橋歷史悠久，技術(shù)高超，古人們在很早以前便在橋梁建設(shè)中運用了懸鏈線。不過，古人并不知道懸鏈線這種數(shù)學(xué)曲線，他們只是從實踐中反復(fù)摸索、總結(jié)出此類橋梁的建造技巧。

懸鏈線除了存在于橋梁、拱門等建筑中，還存在于娛樂游戲中，如有趣的方輪車游戲。如果讓方輪車在馬路上行駛，那一定會顛簸不堪。那么，有沒有辦法可以讓方輪車平穩(wěn)前行呢？答案是肯定的。只要讓波浪軌道符合一段一段的懸鏈線方程，方輪車便可在顛簸的路面上平穩(wěn)行駛。事實上，該結(jié)論還可以拓展到任意多邊形車輪。

從力學(xué)到光學(xué)

從前文可知，懸鏈線問題起源于達·芬奇對項鏈的曲線形式的思考。在過去這些年里，主要在力學(xué)應(yīng)用中發(fā)揮作用?？茖W(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在諸多形式的懸鏈線中，有一種“等強度懸鏈線”（對數(shù)余弦函數(shù)）可以保持結(jié)構(gòu)在不同的位置受力一致。那么，它施加到光上的“力”是否也一致呢？

2015年，中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所微細加工光學(xué)技術(shù)國家重點實驗室的科研人員，受橋梁、拱門等建筑大量運用懸鏈線結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，就有關(guān)問題進行了研究。

要了解有關(guān)研究，我們先來簡單認識一下光波。相位、偏振和振幅是光波最基本的三個物理屬性。在生活中，最常見的是對光的相位進行調(diào)控，如照相機鏡頭就是通過改變鏡片的厚度引入不同的相位延遲，從而對光的波前（指等相位面）進行調(diào)控，最終實現(xiàn)聚焦等功能。

傳統(tǒng)光學(xué)元件需要依賴曲面面形對光束進行調(diào)控，因此存在系統(tǒng)笨重、繁雜等諸多問題。在微納光學(xué)領(lǐng)域，研究人員通過改變亞波長結(jié)構(gòu)的幾何形貌和排列方式，即可在平面上實現(xiàn)對波前的靈活調(diào)控。利用亞波長結(jié)構(gòu)來調(diào)控相位的原理有多種，其中與懸鏈線相關(guān)的是幾何相位原理。

2015年，研究人員通過對等強度懸鏈線進行數(shù)學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，在圓偏振光入射時，懸鏈線結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生絕對線性的幾何相位分布，也就是說，相位梯度是一個常數(shù)，因此，對光的“力”是一致的。直觀的調(diào)制效果就好比一個棱鏡讓光發(fā)生偏折，即通過改變懸鏈線結(jié)構(gòu)的跨度，可以調(diào)節(jié)相位梯度大小，從而實現(xiàn)光的任意偏折角度。

與傳統(tǒng)棱鏡不同，懸鏈線結(jié)構(gòu)不僅是平面的，而且具有偏振響應(yīng)特性。如果左旋圓偏振光偏往左側(cè)，那么右旋圓偏振光則偏往右側(cè)。這是因為懸鏈線結(jié)構(gòu)對左右旋圓偏振光產(chǎn)生的相位梯度（即對它們的“力”）是相反的。實現(xiàn)上述左右旋圓偏振光分離的手性響應(yīng)現(xiàn)象被稱為光子自旋霍爾效應(yīng)。由于絕大多數(shù)生物所需的營養(yǎng)素，如氨基酸和葡萄糖，其分子結(jié)構(gòu)都具有固有的手性特征，因此，自旋霍爾效應(yīng)在手性分析、生命探測等領(lǐng)域都具有應(yīng)用前景。

利用單個或者周期性的懸鏈線結(jié)構(gòu)能實現(xiàn)光束偏折，那么，通過將不同跨度的懸鏈線結(jié)構(gòu)按照一定規(guī)律排布，可以實現(xiàn)更多的功能。譬如，利用“蜘蛛網(wǎng)”分布的懸鏈線結(jié)構(gòu)可以生產(chǎn)完美的渦旋光，讓光像水渦旋一樣“轉(zhuǎn)起來”，可用于操控和捕獲微粒。渦旋光攜帶軌道角動量，判定軌道角動量大小的物理量被稱為拓撲荷。理論上，拓撲荷可以是負無窮到正無窮，因此，渦旋光在光通信中也具有重要的應(yīng)用價值。

不僅如此，基于懸鏈線結(jié)構(gòu)還可實現(xiàn)一系列平面光學(xué)器件，如平面聚集鏡、貝塞爾光束產(chǎn)生器、艾里光束生成器等。當(dāng)然，對于傳統(tǒng)光學(xué)元件，若要實現(xiàn)上述功能，通常需要毫米甚至厘米量級的厚度，且需要曲面面形，而懸鏈線結(jié)構(gòu)的厚度小于波長，尤其是對于可見光波段，僅為納米量級。因此，懸鏈線結(jié)構(gòu)為光學(xué)器件和系統(tǒng)實現(xiàn)輕量化、平面化、集成化提供了一種新的技術(shù)方案。

那么，相比于普通離散結(jié)構(gòu)，懸鏈線結(jié)構(gòu)有何優(yōu)勢呢？通俗地講，由懸鏈線結(jié)構(gòu)構(gòu)成的微納光學(xué)器件對光的調(diào)制效果就像一張超高分辨率的圖片，離散結(jié)構(gòu)則會極大程度降低圖片分辨率，使得圖片呈現(xiàn)出馬賽克形貌，導(dǎo)致人們無法從中得到細節(jié)信息。當(dāng)然，減小離散結(jié)構(gòu)的周期確實可以提高波前采樣率，但是這也會加大工藝難度，最終使得其光學(xué)性能降低。懸鏈線結(jié)構(gòu)則可以很好地兼顧光學(xué)器件的性能和工藝可行性，因此被認為在下一代平面光學(xué)領(lǐng)域具有重要作用。

從光學(xué)到電磁學(xué)

隨著對懸鏈線光學(xué)研究的不斷深入，研究人員從懸鏈線結(jié)構(gòu)拓展到懸鏈線電磁調(diào)控物理模型，用于揭示亞波長結(jié)構(gòu)與電磁波相互作用的物理機理，并進一步將懸鏈線光學(xué)的概念推廣到懸鏈線電磁學(xué)。

研究發(fā)現(xiàn)，金屬亞波長結(jié)構(gòu)間的電場和磁場強度的分布可以用懸鏈線函數(shù)表述，結(jié)構(gòu)的色散方程也可用懸鏈線函數(shù)表述。通過建立結(jié)構(gòu)尺寸與其懸鏈線場和懸鏈線色散的數(shù)學(xué)關(guān)系，能夠快速得到一些亞波長結(jié)構(gòu)的電磁響應(yīng)特性，包括振幅、相位、電磁場分布等。通常情況下，微納器件的設(shè)計常常采用專業(yè)電磁場仿真軟件，使用參數(shù)掃描和人工擇優(yōu)的正向設(shè)計方法。該方法存在耗時長、難以最優(yōu)化等問題。在未來的研究中，懸鏈線電磁模型若與深度學(xué)習(xí)、人工智能等計算機技術(shù)結(jié)合，有望實現(xiàn)微納器件的快速逆向設(shè)計。也就是說，研究人員只需要輸入目標函數(shù)，計算機就會反饋結(jié)構(gòu)形貌。

基于構(gòu)建的懸鏈線電磁模型，研究人員發(fā)展了一系列功能材料和器件，例如跨波段電磁調(diào)控器件、虛擬賦形材料、薄膜天線等。目前，對懸鏈線光學(xué)的研究還在持續(xù)，更多的新現(xiàn)象和新應(yīng)用還有待發(fā)現(xiàn)。我們有理由相信，今后還會發(fā)現(xiàn)更多與懸鏈線相關(guān)的新奇現(xiàn)象和應(yīng)用。

歷史上，許多重要的科學(xué)突破均源于對自然界普遍現(xiàn)象的深入思考，懸鏈線就是最好的例子。從最初對項鏈曲線形式的簡單思考，發(fā)展到對相關(guān)數(shù)學(xué)問題的深入研究，再到建筑學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。又因科研人員的奇思妙想，將懸鏈線引入微納光學(xué)領(lǐng)域，并形成懸鏈線光學(xué)，為亞波長電磁學(xué)研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)。未來，當(dāng)你看到諸如脖子上的項鏈、天空中的電纜、樹枝上的蜘蛛網(wǎng)時，是否會想起懸鏈線呢？或者，當(dāng)你再次踏足安瀾索橋或者游覽迎仙橋時，除了被我國古人的智慧所震驚，是否還會帶給你其他的啟發(fā)與思考呢？