滬深300股指及期貨波動率聚集性研究
——基于Markov機制轉換SJC Copula模型

羅華健，鄒玉梅

(山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

隨著我國由計劃經(jīng)濟向市場經(jīng)濟的不斷轉變，人們的投資觀念已經(jīng)從“傳統(tǒng)”變?yōu)椤艾F(xiàn)代”。投資者的投資渠道和方式發(fā)生了根本性的變化，投資領域逐漸多元化。股票與期貨作為投資者的主要投資方式之一，一直影響著投資者的收入。

中國股票市場和中國期貨市場一直波動不斷。波動率聚集[1]是指金融時間序列的高波動率或低波動率聚集在某一時間段內(nèi)的現(xiàn)象，即本時間段內(nèi)為高(低)波動下一時間段也為高(低)波動，后一期波動率與前一期波動率之間是正相關，而且高波動率聚集和低波動率聚集的時期會交替出現(xiàn)。股票和期貨收益率序列等金融時間序列往往會出現(xiàn)波動率聚集的情況。波動率聚集能夠很好地刻畫金融數(shù)據(jù)本時間段和下一時間段的波動情況。通過對股票與期貨的波動率聚集建模進行風險管理與控制成為金融領域的研究熱點。

Hamilton[2]首次提出了經(jīng)過三狀態(tài)兩階滯后的Markov機制轉換模型，并利用該模型研究了美國1953—1984年季度實際產(chǎn)出增長的波動，該模型能較好地刻畫金融數(shù)據(jù)的非線性動態(tài)特征和非對稱性。Chang等[3]比較詳細地介紹了機制轉換模型的應用。隨后Markov機制轉換模型被應用到經(jīng)濟、金融等多個領域，顯示出優(yōu)于傳統(tǒng)非線性時間序列模型的許多特點。近年來，許多學者將Markov轉換模型運用到股票與期貨市場。Lee[4]運用Markov機制轉換Gumbel-Clayton Copula GARCH模型對農(nóng)產(chǎn)品期貨市場套期保值進行研究，指出該模型能夠更加有效地估計套期比率。Pelletier[5]和Klassen[6]對股票收益率序列進行研究，Markov機制轉換Copula GARCH模型能更好地刻畫股票收益率序列間相關性的非對稱性。Chollete等[7]和Luo等[8]運用多變量狀態(tài)轉換Copula模型對市場收益進行研究，表明機制轉換Copula模型能更好地對證券風險進行評估。學者[9-11]運用機制轉換跳躍模型對紐約銅期貨進行研究，發(fā)現(xiàn)銅期貨收益率跳躍在牛市和熊市存在顯著性差異。學者[12-14]運用機制轉換Copula模型對股市間的相關性進行研究，結果表明機制轉換Copula模型更能刻畫股市間的相關性，且股市間存在不同的相依狀態(tài)。謝赤等[15]和陳之星等[16]使用MRS Copula-GJR-Skewed-t模型和機制轉換Copula函數(shù)研究了期貨市場的套期保值，表明Markov 機制轉換Copula函數(shù)的套期保值可以獲得比傳統(tǒng)模型更高的收益，且有助于降低套期保值的成本。吳吉林等[17]運用機制轉換混合Copula模型對股市量價尾部關系進行研究，量價尾部關系與機制狀態(tài)有關，呈明顯的周期性動態(tài)特征和結構性變化。楊孟陽等[18]運用機制轉換GARCH模型對中小板市場的收益率波動性進行研究，證明中小板市場股指收益率確實存在明顯的高低兩種波動狀態(tài)，且低波動狀態(tài)的持續(xù)時間更長。淳偉德等[19]運用機制轉換混合Copula模型對期貨與現(xiàn)貨尾部相關性進行研究，機制轉換混合Copula模型更能準確地描述兩個市場之間的尾部相關性，且上尾相關性要大于下尾相關性。吳鑫育等[20]運用Markov機制轉換Copula模型對滬深股市的波動率聚集性進行研究，發(fā)現(xiàn)滬深兩市的波動率聚集存在兩種狀態(tài)。

綜上所述，學者[4-20]在建立模型時，假定市場處于兩狀態(tài)或三狀態(tài)下，研究金融市場的微觀結構，并沒有給出相對應的實際市場，無法判斷是否與實際市場相吻合。多數(shù)學者[4-19]只是研究單一經(jīng)濟市場，研究多個市場的經(jīng)濟狀況的成果相對較少。

本研究通過構建兩、三狀態(tài)Markov機制轉換SJC Copula模型來刻畫滬深300指數(shù)和股指期貨的t-1時刻和t時刻之間的波動率聚集的尾部非對稱、動態(tài)特征，比較兩市場尾部可能存在的差異。與其他動態(tài)Copula模型相比，Markov機制轉換SJC Copula模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果，并且該模型更易于實現(xiàn)。同時，得到的機制轉換Copula模型的平滑概率圖與實際市場相對應，對加深對金融市場微觀結構的理解，為投資者和風險管理者提供信息和決策參考。

1 Markov機制轉換Copula模型

1.1 模型構建

波動率聚集性是金融資產(chǎn)收益率序列中的一個重要特征，在期貨與現(xiàn)貨市場也不例外。而Copula模型可以充分捕獲連續(xù)波動變量的相關性(波動率聚集性)。設xt和xt-1分別代表t和t-1時刻滬深300指數(shù)和股指期貨收益率的波動率，利用xt和xt-1的聯(lián)合分布函數(shù)H(xt,xt-1)來刻畫波動率聚集性。根據(jù)Sklar[21]定理，存在一個Copula函數(shù)C(·,·):[0,1]2→[0,1]，使得

H(xt,xt-1)=C(F(xt),F(xt-1)|θ)。

(1)

其中，F(xiàn)(xt),F(xt-1)分別為xt,xt-1的邊際分布函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的參數(shù)向量。

金融數(shù)據(jù)的相關性通常是非線性的，并可能隨時間變化，從而引起市場波動。因此使用動態(tài)非線性Copula模型來研究非線性動態(tài)相關性，條件尾部相關系數(shù)在極值理論中被廣泛應用，即當極值在一個觀測變量出現(xiàn)時，極值出現(xiàn)在另一個變量的概率。連續(xù)波動率變量xt和xt-1的上尾和下尾的相關系數(shù)分別為:

(2)

(3)

其中，當λU,λL∈(0,1]時，說明xt和xt-1存在上尾或下尾相關性；當λU或λL等于零時，說明xt和xt-1不存在上尾或下尾相關性?？梢杂貌煌腃opula函數(shù)來刻畫不同的尾部相關性結構。兩類常用的Copula函數(shù)為橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)。第一類主要有Normal Copula函數(shù)和Student-t Copula函數(shù)，只能描述尾部對稱性特征；第二類主要有Clayton Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)。其中Clayton Copula函數(shù)只能刻畫下尾部相關性，Gumbel Copula函數(shù)只能刻畫上尾部相關性，F(xiàn)rank Copula函數(shù)不能刻畫尾部相關性。連續(xù)波動率變量可能同時具有上尾和下尾相關性，且呈現(xiàn)非對稱特性。由于Student-t Copula函數(shù)比Normal Copula函數(shù)具有更厚的尾部，對變量間尾部相關性更為敏感。近年來，一些學者[17,19]使用混合Copula函數(shù)描述了金融數(shù)據(jù)的尾部相關性，取得了良好的效果。因此，本研究采用Student-t Copula函數(shù)和混合Copula函數(shù)來擬合滬深300指數(shù)和股指期貨連續(xù)波動率變量存在的尾部特征。

構建Clayton Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)組成的混合Copula函數(shù)，表達式如下

CCG(u1,u2|θ)=ωCCC(u1,u2|δC)+ωGCG(u1,u2|δG)。

(4)

其中，CC(u1,u2|δC)和CG(u1,u2|δG)分別為Clayton Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)，ωG+ωC=1。

SJC(Symmetrized Joe Clayton)Copula函數(shù)也可以同時捕獲上尾和下尾相關性，允許非對稱的上尾和下尾相關性，并且包含對稱的尾部相關性。經(jīng)過修正后的Joe-Clayton Copula函數(shù)得到的即為SJC Copula函數(shù)，其中Joe-Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)為

(5)

SJC Copula函數(shù)的表達式為

CSJC(u1,u2|λU,λL)=0.5(CJC(u1,u2|λU,λL)+CJC(1-u1,1-u2|λU,λL)+u1+u2-1)。

(6)

當λU=λL時，SJC Copula函數(shù)是對稱的。

Student-t Copula函數(shù)、混合Copula函數(shù)和SJC Copula函數(shù)的尾部相關特征如表1。

表1 各Copula函數(shù)的尾部相關性特征

由于靜態(tài)的Copula函數(shù)假設相關性參數(shù)不是時變的，因此無法捕獲連續(xù)波動性變量之間可能存在的尾部動態(tài)特征。為了描述尾部相關性的動態(tài)特征和可能的結構變化，本研究將狀態(tài)變量St引入到Copula函數(shù)中，并假定St={1,2,3}遵循一個一階三狀態(tài)的Markov過程，狀態(tài)轉移概率矩陣如下:

(7)

對于三狀態(tài)機制轉換Copula函數(shù)，設

(u1t,u2t|St=i)～C(u1t,u2t|θi),i=1,2,3。

(8)

最后，可以依據(jù)得到的轉換概率計算某一種狀態(tài)持續(xù)的平均時間。假設D為機制i的持續(xù)時間，因此:

D=1，如果St=i且St+1≠i，Pr[D=1]=1-pii；

D=2，如果St=St+1=i且St+2≠i，Pr[D=2]=pii(1-pii)；

?

那么，機制(狀態(tài))i持續(xù)的平均時間為:

Classification of occurrence form of spheric weathered granite and stability analysis LIU Zhi-jun, WANG Xian-neng, MO Li(40)

+3×Pr[St+1=i,St+2=i,St+3≠i|St=i]+…

(9)

1.2 參數(shù)估計

1.2.1 Copula模型的參數(shù)估計

第一階段，采用半?yún)?shù)兩階段的估計方法。利用非參數(shù)核估計方法估計出滬深300指數(shù)和股指期貨波動率的邊緣分布。核估計結果的優(yōu)劣主要取決于核函數(shù)和窗寬。當樣本數(shù)目足夠大時，核函數(shù)的選取對估計結果影響不大，因此選取光滑性良好的正態(tài)核函數(shù)。其密度函數(shù)和分布函數(shù)表達式如下:

(10)

(11)

其中，x=(x1,x2,x3,…,xN)為樣本數(shù)據(jù)，N為樣本量，h為窗寬。

對于具有尖峰、厚尾性質的金融時間序列，利用Bowman等[22]提出的最優(yōu)窗寬選擇原理進一步得到最優(yōu)窗寬

(12)

(13)

第二階段，將第一步估計得到的邊緣分布代入Copula函數(shù)中，并對Copula函數(shù)進行相應的參數(shù)估計，估計出Copula函數(shù)的參數(shù)α。

(14)

1.2.2 機制轉換模型的參數(shù)估計

采用Hamilton提出的濾波過程來估計機制轉換Copula模型的參數(shù)(本研究以兩狀態(tài)為例，三狀態(tài)機制轉換模型可以根據(jù)兩狀態(tài)情形推廣)。具體過程如下。

1)設定初始值，即狀態(tài)1或2的無條件期望值。

(15)

(16)

其中s0為初始狀態(tài)變量，I0為初始信息集。

2)計算預測概率

(17)

3)計算機制轉換SJC Copula模型的概率密度函數(shù)

(18)

(19)

5)計算過濾概率

(20)

2 實證研究

選取滬深300指數(shù)和滬深300股指期貨當月連續(xù)合約日內(nèi)5 min高頻交易價格作為研究樣本。當月連續(xù)合約相比于在股指期貨的其他三個合約，由于當月連續(xù)合約的交易量最大，因此能夠更準確地刻畫股指期貨的整體走勢?？疾斓臅r間段為2014年1月4日—2016年12月19日。對于缺失數(shù)據(jù)，采用均值替換法進行處理，共得到721個樣本值，如圖1。

圖1 滬深300和股指期貨已實現(xiàn)波動率序列圖

因為金融市場不能直接地觀測到波動率，所以選取的隱波動率的代理變量為通過日內(nèi)5min高頻交易數(shù)據(jù)構建的已實現(xiàn)波動率。令n為日內(nèi)收益率總數(shù)目，rt,i=100(lnPt,i-lnPt-1,i)為t交易日的第i個日內(nèi)對數(shù)收益率。則將一天的累計日對數(shù)收益率的平方和作為日波動率的估計值，即第t交易日已實現(xiàn)波動率定義為

(21)

假設滬深300指數(shù)和股指期貨波動率序列隨時間連續(xù)變化、波動率在一個固定范圍內(nèi)變化(即波動率是平穩(wěn)的)以及觀測到的收益率不會被市場微結構噪聲“污染”，令σ2(t)為波動率過程，已實現(xiàn)波動率依概率收斂于積分波動率(Integrated Volatility，IV)，

(22)

劉紅忠等[23]采用交疊樣本法和ARMA-GARCH模型研究滬深兩市上的晚間休市對股票收益率的影響。研究表明滬深兩市均存在持續(xù)穩(wěn)定的“隔夜效應”，因此為了避免“隔夜效應”帶來的對真實波動率的影響，令rt,0=100(lnPt-1,n-lnPt,0)為隔夜收益率，對已實現(xiàn)波動率進行修正：

(23)

表2給出了滬深300指數(shù)和股指期貨已實現(xiàn)波動率的描述性統(tǒng)計量的值。由于現(xiàn)貨市場每日的開盤時間上午9：30—11：30，下午13：00—15：00，每日的5 min數(shù)據(jù)有48個；而期貨市場的每日開盤時間上午9：15—11：30，下午13：00—15：15，每日的5 min數(shù)據(jù)有54個。所以股指期貨已實現(xiàn)波動率的均值、最小值、最大值等描述性統(tǒng)計量要比滬深300指數(shù)大。從表2可以看出，滬深300指數(shù)和股指期貨的已實現(xiàn)波動率均呈現(xiàn)出正偏(4.453 7>0，5.080 7>0)，存在尖峰、厚尾的特征(24.207 4>3，31.555 8>3)，并都拒絕正態(tài)分布的假定(JB統(tǒng)計量顯著)。

表2 描述性統(tǒng)計量

表3給出了Student-t Copula函數(shù)、混合Copula函數(shù)和SJC Copula函數(shù)的參數(shù)估計的結果。從混合Copula函數(shù)和SJC Copula函數(shù)的相關性估計結果來看：滬深300指數(shù)和股指期貨指數(shù)上尾相關性均大于下尾相關性，即滬深300指數(shù)和股指期貨波動率高波動率的聚集要比低波動率的聚集發(fā)生的概率要高。本研究選用Joe[25]提出的基于Copula函數(shù)的AIC信息準則:AIC=-2ln(L)+2K，其中l(wèi)n(L)代表Copula概率密度函數(shù)的極大似然值，K代表Copula函數(shù)中的參數(shù)個數(shù)。從三種Copula函數(shù)的極大似然估計值和AIC的值來看，混合Copula函數(shù)和SJC Copula函數(shù)的極大似然值均大于Student-t Copula函數(shù)，AIC值均小于Student-t Copula函數(shù)。其中，SJC Copula函數(shù)具有最大的似然值和最小的AIC值，說明SJC Copula函數(shù)具有最好的擬合效果。由SJC Copula函數(shù)的擬合數(shù)值可以知道，股指期貨高波動率聚集相比滬深300指數(shù)高波動率聚集發(fā)生的概率要高，而低波動率聚集發(fā)生的概率滬深300指數(shù)更高一些。

表3 Copula參數(shù)估計結果

選取對波動率具有最佳擬合效果的SJC Copula函數(shù)來構建Markov機制轉換Copula函數(shù)模型，以分析滬深300指數(shù)和股指期貨波動率聚集可能存在的尾部動態(tài)特征。表4給出了極大似然估計方法得到的機制轉換SJC Copula函數(shù)參數(shù)估計結果。從極大似然估計值和AIC值來看，經(jīng)過機制轉換后的SJC Copula函數(shù)比機制轉換前的有更大的似然值和更小的AIC值，說明機制轉換后SJC Copula函數(shù)比機制轉換前的擬合效果更優(yōu)，并且三狀態(tài)機制轉換比兩狀態(tài)機制轉換具有更大的似然值和更小的AIC值，說明三狀態(tài)機制轉換比兩狀態(tài)機制轉換具有更優(yōu)的擬合效果。在三種狀態(tài)機制轉換SJC Copula模型下，滬深300指數(shù)和股指期貨的上尾相關系數(shù)均明顯大于下尾相關系數(shù)，與機制轉換前得出的結論一致。當St=1時，滬深300指數(shù)上尾相關系數(shù)明顯小于股指期貨上尾相關系數(shù)，但滬深300指數(shù)的下尾相關系數(shù)大于股指期貨上尾相關系數(shù)。當St=2時，滬深300指數(shù)的上尾相關系數(shù)明顯小于股指期貨的上尾相關系數(shù)，而滬深300指數(shù)和股指期貨的下尾相關系數(shù)相差0.018。當St=3時，滬深300指數(shù)的上尾相關系數(shù)明顯大于股指期貨的上尾相關系數(shù)，但下尾相關系數(shù)明顯小于股指期貨的下尾相關系數(shù)。

表4 Markov機制轉換SJC Copula模型參數(shù)估計結果

表5給出了滬深300指數(shù)和股指期貨三種狀態(tài)的相關系數(shù)。表6給出了滬深300指數(shù)和股指期貨三種狀態(tài)之間的轉移概率和持續(xù)期。從表5和表6可知，狀態(tài)1的轉移概率、持續(xù)時間和相關系數(shù)最大，狀態(tài)2次之，狀態(tài)3最小。說明在三狀態(tài)下，對于滬深300指數(shù)和股指期貨高波動率聚集的持續(xù)時間均大于低波動率聚集的持續(xù)時間。圖2給出了滬深300指數(shù)和股指期貨三種狀態(tài)的平滑概率圖。從圖2可知，三種狀態(tài)的平滑概率曲線與實際經(jīng)濟市場相對應。2014年1—6月，受IPO(首次公開募股)重啟、滬港通試點和“新國九條”發(fā)布的影響，經(jīng)濟有所好轉，股市及期貨市場處于狀態(tài)2(經(jīng)濟復蘇階段)。2014年7月—2015年6月，十八屆三中全會后，我國全面啟動深化體制改革。在國際社會上，美國寬松貨幣政策全面從我國市場上退出，間接地刺激了我國金融市場的發(fā)展，各行業(yè)百廢待興，市場處于狀態(tài)1(經(jīng)濟平穩(wěn)發(fā)展階段)。2015年7—12月，分級基金去杠桿、場外配資清理和場內(nèi)融資形成了金融市場上的連鎖反應，最終引起了一場長達半年的股災，我國股票市場和期貨市場萎靡不振，市場處于狀態(tài)3(經(jīng)濟低迷階段)。該階段由于信息到達速度快、頻率高，尾部非對稱性明顯增強，上尾相關性參數(shù)值明顯大于下尾，高波動率聚集相比低波動率聚集發(fā)生的概率更高。2016年1—12月，受熔斷機制、減持新規(guī)、人民幣貶值和推行注冊制等因素的影響，經(jīng)濟有所回暖，市場處于狀態(tài)2(經(jīng)濟復蘇階段)。

表5 滬深300指數(shù)和股指期貨三種狀態(tài)的相關系數(shù)

表6 滬深300指數(shù)和股指期貨三種狀態(tài)之間的轉移概率和持續(xù)期

圖2 滬深300指數(shù)和股指期貨平滑概率

為了得到滬深300指數(shù)和股指期貨的波動率聚集的尾部動態(tài)過程，引入Hamilton算法，其上、下尾動態(tài)過程表達式如下

(24)

(25)

其中It-1為t-1時刻的信息集。圖3給出了滬深300指數(shù)和股指期貨的尾部動態(tài)。從圖3中可以看出，滬深300指數(shù)和股指期貨的波動率聚集的尾部存在明顯的動態(tài)特征。

圖3 滬深300指數(shù)和股指期貨的尾部相關性

3 結語

金融市場的波動率聚集一直是金融界理論研究的重要內(nèi)容，運用本時間段的金融市場的波動情況來預測未來的波動情況，是投資者和風險管理者進行分散投資風險和進行風險管理需要考慮的關鍵點。在本研究中，把滬深300指數(shù)和滬深300股指期貨當月連續(xù)合約日內(nèi)5min高頻交易價格作為樣本，運用Markov機制轉換SJC Copula模型對滬深300指數(shù)和股指期貨的波動率聚集尾部動態(tài)特征進行研究。研究表明：①與其他Copula模型相比，機制轉換SJC Copula能更好地擬合金融數(shù)據(jù)波動率聚集的尾部動態(tài)特征；②波動率聚集的尾部具有明顯的非對稱性，上尾相關性明顯大于下尾相關性；③在三狀態(tài)下，高波動率聚集的持續(xù)時間均大于低波動率聚集的持續(xù)時間。另外，在針對波動率聚集的研究中，由于股價受隔夜效應、午間效應、周末效應等因素的影響，采用的修正的已實現(xiàn)波動率并不能充分地反映股價波動情況，在后續(xù)的研究工作中，將進一步完善充實。