小議向量背景下高考立體幾何大題載體模型建系

凡森泉

摘要：以近些年高考改革的實(shí)際現(xiàn)狀作為切入點(diǎn)，綜合中學(xué)向量以及立體幾何這兩種教學(xué)體系之間的聯(lián)系進(jìn)行分析。建立在高考試題的基礎(chǔ)上，針對(duì)幾何圖形進(jìn)行歸類(lèi)，總結(jié)具體的空間直角坐標(biāo)系的建立方法，確保能夠?yàn)橄嚓P(guān)教學(xué)體系改革以及研究提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：向量;立體幾何;載體模型

一、基礎(chǔ)分析背景

綜合空間向量的知識(shí)體系來(lái)講，空間向量本身具有一定的代數(shù)形式和幾何形式，這種雙重性進(jìn)一步增加了空間向量在多種知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用價(jià)值。它建立在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，打造了新的數(shù)學(xué)解題和思考工具，能夠以結(jié)合已知條件構(gòu)建坐標(biāo)系，通過(guò)向量本身的性質(zhì)以及運(yùn)算邏輯，提供更為明確且簡(jiǎn)單的證明方法[1]。因此空間向量在融入了數(shù)學(xué)教材之后，在解決立體幾何位置關(guān)系以及其他問(wèn)題時(shí)有一定的促進(jìn)作用，并且這種解題方式也寫(xiě)入了高考中。

綜合實(shí)際的應(yīng)用情況來(lái)看，空間向量在立體幾何解題過(guò)程中，常用的方式以幾何推理和向量解法為主，而近些年的高考中也存在大量的典型習(xí)題，能夠?yàn)楹罄m(xù)空間直角坐標(biāo)系的建立方法提供清晰明確的指引。

二、基礎(chǔ)原理簡(jiǎn)述

建立空間直角坐標(biāo)系的核心依據(jù)便是實(shí)現(xiàn)空間向量基本定理與空間圖形的融合。我們假設(shè)存在這樣一組不共面：，那么針對(duì)任意一個(gè)空間向量都存在著唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），促使。

而綜合具體的邏輯分析來(lái)看，如果將其中三個(gè)基向量轉(zhuǎn)化成可以?xún)蓛上嗷ゴ怪钡娜齻€(gè)單位向量，那么既有的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）就可以稱(chēng)之為向量在空間直角坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)，這一理論在當(dāng)前的諸多習(xí)題中，我們都可以以這種邏輯思維方式進(jìn)行思考，這樣能夠有效解決部分復(fù)雜的幾何問(wèn)題。

三、基于高考題型的空間向量建系邏輯

（一）常見(jiàn)的規(guī)則幾何體和建系邏輯

常見(jiàn)的規(guī)則幾何體主要以正方體、長(zhǎng)方體以及各類(lèi)型棱柱為主，在當(dāng)前的高考中頻繁出現(xiàn)，并且成為了最基礎(chǔ)的幾何圖形解題類(lèi)型，以下選擇長(zhǎng)方體作為主要的題型進(jìn)行代表性分析。

（1）正四棱柱

從實(shí)際的建系角度來(lái)講，可以利用同一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩相互垂直的原理進(jìn)行思考，另外邊長(zhǎng)相等以及倍數(shù)關(guān)系也可以作為建系的主要參考依據(jù)[2]。

例題1：存在一個(gè)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，其中AA1=2AB=4，點(diǎn)E在CC1上，并且C1E=3EC。見(jiàn)圖1。求證：A1C垂直平面bEd（垂直嗎？），求二面角A1-DE-B的大小。

（2）三棱柱相關(guān)習(xí)題

從解題角度分析，可以直接建立在直棱柱側(cè)棱與底面面垂直關(guān)系以及底面三角形中的線的垂直特性角度進(jìn)行計(jì)算。

例題2：在2011年的湖北卷高考習(xí)題中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)均為2，則側(cè)棱的長(zhǎng)度為，側(cè)棱AA1上有一點(diǎn)E，BB1上有一點(diǎn)F，且AE=，BF=。如圖2。求證CF垂直于C1E，求二面角E-CF-C1的大小。

（二）不規(guī)則幾何體及其建系規(guī)則

結(jié)合不規(guī)則幾何體的實(shí)際情況來(lái)看，與規(guī)則幾何體之間的主要差異便是需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間邏輯思維，能夠?qū)⑵矫嫔系牧?xí)題已知條件轉(zhuǎn)化為立體空間中的關(guān)系，這樣才能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)邏輯關(guān)系的定位。

（1）折疊問(wèn)題

首先，針對(duì)折疊問(wèn)題進(jìn)行分析，其中邊和角存在變與不變的特點(diǎn)，定位這些特殊的關(guān)系，最后能夠得出較為明顯的相互垂直的線[3]，這樣可以實(shí)現(xiàn)快速的建系。

例題4：在梯形ABCd中上下底邊分別為2和6，高為，沿著對(duì)稱(chēng)軸OO1進(jìn)行折疊，折成直二面角。如圖4所示。求證AC垂直于BO1，求二面角O-AC-O1的大小。

（2）非規(guī)則幾何體的實(shí)際分析以及建系

首先從空間向量的角度進(jìn)行分析，若圖中未能提供具有已知條件的兩兩相互垂直的直線，那么首先應(yīng)該找到一個(gè)線面的垂直關(guān)系，然后在這個(gè)垂直關(guān)系中找到經(jīng)過(guò)垂足的兩條相互垂直的直線，同時(shí)還要考慮到合理建系的實(shí)際規(guī)則，即促使相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可以在整個(gè)坐標(biāo)中凸顯出來(lái)，且形式較為簡(jiǎn)單，這樣能夠有效減少計(jì)算量。

例題5：已知ABCD為正方形，其中PD垂直于平面ABCD，且PD平行于QA，QA=AB=1/2PD。如圖5所示。求證，PQC垂直于平面DCQ，同時(shí)求二面角Q-B-PC的余弦值。

結(jié)束語(yǔ)：

結(jié)合近幾年的新課程高考考題來(lái)看，幾何問(wèn)題的解析可以直接通過(guò)向量問(wèn)題來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，其中不僅可以簡(jiǎn)化思考邏輯，也能夠進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)多種知識(shí)點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)換，對(duì)于強(qiáng)化學(xué)生的綜合能力有一定的促進(jìn)作用，同時(shí)也可以為未來(lái)的課程優(yōu)化以及教學(xué)體系創(chuàng)新提供有效的參考依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]齊鵬飛.借力空間向量法巧解立體幾何軌跡問(wèn)題[J].理科考試研究，2021，28（21）：13-16.

[2]董軍浪.幾何點(diǎn)及其坐標(biāo)/向量的規(guī)范表達(dá)[J].西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，41（05）：514.

[3]王春芳.例談立體幾何四面體中關(guān)于“棱”的問(wèn)題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2021（10）：13-15.