一種用于齒輪齒面偏差評定的二分圓逼近法

周雯超,朱曉春,黃家才,李毅搏

(1.南京工程學院工業(yè)中心、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學院, 江蘇 南京 211167;2. 南京工程學院自動化學院, 江蘇 南京 211167)

齒輪加工質(zhì)量直接影響其使用性能指標,齒面偏差測量與評定一直受到人們關注.隨著現(xiàn)代制造業(yè)的發(fā)展,齒輪在汽車工業(yè)、風力發(fā)電、船舶航海、飛行器制造、機械加工等重要領域有著廣闊的應用前景,對其高效、高精度的測量及評定要求也越來越高.因此,對齒輪齒面偏差測量、評定的研究具有重要的理論意義和工程應用價值.

在齒輪誤差評定方法中,很多學者進行了大量研究并取得一系列成果.文獻[1]借助差曲面來進行齒輪齒面偏差評定,但沒有給出實際測量點在設計齒面法線方向上偏差的具體求解方法;文獻[2]根據(jù)點到漸開螺旋面距離公式求解各點的三維齒廓誤差,但該算法難度大,求解效率低;文獻[3]通過NURBS曲面參數(shù)化模型,進行法線與NURBS 曲面的求交運算,求解方程較為復雜;文獻[4]通過采集的測量點作法線與理論齒廓線交于一點,計算兩點的法向距離,但沒有給出該交點的確定方法.

從目前的研究現(xiàn)狀來看,齒面偏差評定要解決實際齒面與設計齒面間的偏差計算問題,在對齒輪齒面獲取實際測量點數(shù)據(jù)后,偏差計算可轉(zhuǎn)化為實際測量點到設計齒面最短距離的求解.常用的方法有窮舉法、目標優(yōu)化算法和數(shù)值算法.窮舉法需要大量實際數(shù)據(jù),計算效率低,精度不能滿足實際要求;目標優(yōu)化雖然能得到理想情況下的全局最優(yōu)值,但計算量大,求解速度慢[5];常用的數(shù)值算法有網(wǎng)格法和分割點逼近法,算法的復雜程度和計算精度還需進一步優(yōu)化[6-8].為了能夠更準確分析齒輪的加工精度,尋找一種高效率、高精度的計算方法意義重大.

本文設計了一種用于齒輪齒面偏差評定的二分圓逼近法.如圖1所示:以直齒輪齒面偏差為研究對象,首先建立齒輪齒面的設計模型;在此基礎上,給出齒輪齒面偏差的評定模型;然后針對實際測量點到設計齒面最短距離的快速求解問題,提出二分圓逼近法,將三維空間轉(zhuǎn)換成二維平面進行計算,降低了計算復雜度;最后進行仿真和實際環(huán)境驗證,實現(xiàn)快速準確的齒輪齒面偏差評定工作.

圖1 齒面偏差評定流程

1 設計齒輪齒面建模

為了評定齒輪齒面偏差,根據(jù)齒輪的形成原理和齒輪參數(shù),本文采用直角坐標法建立設計齒面模型.建立漸開線齒廓的直角坐標方程.如圖2所示,rb為基圓半徑,點A為漸開線起點,點K為漸開線齒廓上的任一點,BK為基圓的切線(即為發(fā)生線),ξ為展開角,θ為漸開線齒廓的起始角,可得漸開線齒廓上點K的坐標方程為：

(1)

圖2 直角坐標系中漸開線軌跡

在得到漸開線齒廓的直角坐標方程之后,建立齒輪齒面的設計模型.如圖3所示,直齒輪端面圓心與齒輪坐標系原點o重合,中心軸與齒輪坐標系z軸重合.直齒輪端面與xoy平面重合,漸開線的起點為A0,與x軸所形成的夾角記作θ.

圖3 設計齒面建模

取齒輪齒面上一點記為K,設點K在齒面上的空間坐標為(x,y,z),ξ為點K的展開角,以逆時針方向的角度為正向角.平行于xoy平面取一個漸開線齒廓,其齒面起點為A1,A1在xoy平面上的投影與A0重合.記齒輪的齒寬為b,則點K的z軸坐標為z=bi,bi∈[0,b],可得齒輪齒面S上點K的坐標方程為：

(2)

同理可得,點K在齒面S′上的坐標方程為：

(3)

記第1個輪齒的齒廓起點角度為θ0,則第j個輪齒的齒廓起點角為：

(4)

式中,z0為齒輪的齒數(shù).

通過式(3)可得到輪齒j的所有齒面坐標,設計齒輪齒面建模完成.

2 齒輪齒面偏差評定模型

齒輪齒面偏差是指在端平面內(nèi)實際齒輪齒面偏離設計齒輪齒面的量,該量的計值是過實際加工齒輪齒面到設計齒面的法線距離.以實際齒輪齒面測量點為基準,過其法向量找到設計齒輪齒面上與實際齒輪齒面測量點對應的點,對應點之間的距離即為齒輪齒面偏差.

如圖4所示:Sc為測量齒面,即測頭測量球中心點軌跡面;S為實際齒面,即測量齒面經(jīng)測頭半徑補償后的等距齒面;S*為設計齒面,即根據(jù)齒輪參數(shù)生成的齒面;點p為在實際齒面上經(jīng)過測頭半徑補償后得到的實際測量點;n為過實際齒面測量點p的法向量;點p*為實際測量點p經(jīng)過法向量n在設計齒面上的對應點;δ為齒面偏差,即pp*的距離.

為了得到齒面偏差δ,本文將齒面偏差δ轉(zhuǎn)化為實際測量點p到設計齒面S*的最短距離.

圖4 齒輪齒面偏差計算原理

3 二分圓逼近法

在解決實際測量點到設計齒面最小距離的計算問題中,為了降低求解難度,本文提出一種求解實際測量點到設計齒面最小距離的二分圓逼近法.

3.1 二分圓逼近法提出背景

圖5 實際測量點到設計齒面示意圖

因?qū)嶋H測量點p與點p*始終處于同一高度,對應唯一一條齒廓線,故可將求解實際測量點p到設計齒面的最短距離轉(zhuǎn)化為求解實際測量點p到齒廓線的最短距離,由三維空間轉(zhuǎn)換到了二維空間.

圖6 實際測量點到齒廓線示意圖

故可將實際測量點p到齒廓線的最短距離劃分為兩種情況：

2) 當實際測量點p落在區(qū)域S2時,δ為實際測量點p到齒廓線的法線距離.

3.2 二分圓逼近法求解過程

圖7 二分圓逼近法原理

點p*具體求解步驟為：

(5)

2) 令點p*坐標為(x,y),以(xp,yp)為圓心、r為半徑作圓,得逼近圓的方程：

(x-xp)2+(y-yp)2=r2

(6)

與漸開線齒廓方程聯(lián)立方程組：

(7)

式中,θ為齒廓起始角度.

3) 記式(7)為方程組A,對方程組A求解,① 當方程組A有唯一解時,即有唯一解p*,則r為實際測量點p對應的齒面偏差δ;② 當方程組A有兩個解時,將r/2作為新的圓半徑,重新聯(lián)立方程組,記為方程組B;③ 方程組A不存在無解的情況.

4) 對方程組B求解,① 當方程組B有唯一解時,即有唯一解p*,則r/2為實際測量點p對應的齒面偏差δ;② 當方程組B有兩個解時,r的范圍更新為(0,r/2),此時將r/4作為新的圓半徑,重新聯(lián)立方程組,對方程組進行求解;③ 當方程組B無解時,r的范圍更新為(r/2,r),此時將3r/4作為新的圓半徑,重新聯(lián)立方程組,對方程組進行求解.

5) 不斷重復步驟4)的過程,即通過不斷把r的區(qū)間范圍一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近,直至求解出點p*的唯一解.

4 仿真與實際測量環(huán)境驗證

為了驗證提出算法的可行性和有效性,本文選定齒數(shù)z=24、模數(shù)m=4.5 mm、齒寬b=20 mm、壓力角α=20°、齒輪精度為IT6的標準直齒輪作為試驗對象.設計齒面建模中,設定齒廓起始角θ=0°.

在Matlab 2016a環(huán)境中對設計齒輪齒面進行仿真建模,并選取一系列理論測量點,其設計模型如圖8所示.設仿真的最大齒輪齒面偏差為10 μm,測量值在其范圍內(nèi)隨機生成,模擬實際測量布點,如圖9所示.利用二分圓逼近法求解齒輪齒面偏差,最終得到最大偏差為10.09 μm,最小偏差為0 μm,說明本文的評定方法在精度上滿足要求.

圖8 設計齒輪齒面模型

在搭建的在機測量裝置上對齒輪齒面獲取一系列實際測量點(在機測量裝置已對測量點設置半徑補償).根據(jù)已有的理論測量值,在Matlab 2016a環(huán)境中模擬設計齒輪齒面與實際齒輪齒面,俯視圖如圖10所示.利用二分圓逼近法計算出齒輪齒面偏差最大偏差為12.018 μm、最小偏差為0 μm.用JD45齒輪測量儀對同一齒輪齒面進行測量,得到最大齒輪齒面偏差為11.5 μm,最小齒輪齒面偏差為-0.1 μm,表明本文方法測得的齒輪齒面偏差接近真實值,與真實值相差約4.5%.

圖9 模擬實際測量布點

圖10 齒輪齒面偏差仿真

5 結(jié)語

本文針對齒輪齒面偏差的評定提出一種快速、便捷的二分圓逼近法,以解決評定過程中實際測量點到設計齒面最短距離的計算問題.該方法用圓不斷逼近設計齒面上的齒廓線,將三維空間問題轉(zhuǎn)換成二維平面的求解,減少了計算工作量,在求解速度方面有明顯優(yōu)勢.將二分圓逼近法在Matlab 2016a仿真環(huán)境和實際測量環(huán)境中進行齒面偏差評定,并與齒輪測量儀的評定結(jié)果對比,證實本文方法快速、準確,從而為齒輪誤差測量提供了一種可借鑒的評定方法,有助于提高齒輪的加工精度.