基于改進型非線性干擾觀測器的爬壁機器人軌跡跟蹤①

曹錦波,潘海鵬,張益波

(浙江理工大學 機械與自動控制學院,杭州 310018)

爬壁機器人由于其可以在高空作業(yè)的特殊性廣泛應(yīng)用于船舶噴漆除銹、油罐檢測等行業(yè)[1,2].其中履帶式磁吸附爬壁機器人作為一種較為常見的爬壁機器人,是典型的非線性多輸入多輸出系統(tǒng).在壁面爬行過程中履帶機器人容易受到重力及外部干擾等因素影響,從而導致機器人實際位姿與理想位姿的誤差.為了解決這一問題,文獻[3,4]只從機器人運動學出發(fā)設(shè)計控制PID、反演控制等算法,但這沒有考慮機器人的動力特性,在實際運用中其控制算法具有一定的局限性且對外部干擾的抑制效果較差.因此,很多學者結(jié)合運動學和動力學進行研究,并利用模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、魯棒自適應(yīng)控制等算法進行軌跡跟蹤控制[5–8],智能算法能呈現(xiàn)出較好的跟蹤效果并抑制外界干擾,但算法比較復雜,實用性與實時性不高.

本文參考輪式機器人的研究及爬壁機器人運動的特點,受文獻[9]啟發(fā)在研究爬壁機器人運動學與動力學的基礎(chǔ)上對控制算法上進行改進.本文將建模誤差與外部干擾作為系統(tǒng)的總體擾動,通過改進型非線性干擾觀測器[10]對該擾動進行觀測作為前饋控制,使擾動誤差以指數(shù)形式收斂,并采用反演控制作為運動學控制,采用滑模反演控制作為動力學控制,使動力學控制算法收斂速度快于運動學算法收斂速度,避免造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定.最后使用Lyapunov 方法驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性.

1 履帶式爬壁機器人模型

根據(jù)爬壁機器人的機械結(jié)構(gòu)及工作環(huán)境特點,做出以下假設(shè):

(1)在平直二維壁面內(nèi)工作;

(2)爬壁機器人為剛體,且質(zhì)量分布均勻,其重心與幾何中心重合;

(3)理想滾動條件,爬壁機器人無滑移,運動瞬時方向即機器人本體坐標系X'軸方向.

根據(jù)以上假設(shè),本文研究的履帶式機器人運動模型可簡化為圖1所示.

圖1 爬壁機器人運動模型

1.1 運動學模型

履帶式爬壁機器人實現(xiàn)轉(zhuǎn)向運動主要有給予兩輪相反速度和給予兩輪方向相同但大小不同速度兩種方法,本文采用第二種方法.(X,Y)為爬壁機器人在全局坐標系XOY下的質(zhì)心坐標;(X′,Y′)為機器人本體坐標系X'O'Y'中的坐標;θ為機器人運動方向與X軸的夾角,其中 θ 的范圍為[0,2π);(ωL,ωR)為爬壁機器人的左右輪角速度,即爬壁機器人的輸入控制量;R為機器人車輪半徑;L為車身寬度.那么機器人位姿可用來表示機器人的運動學方程表示為:

其中,vx為機器人速度在X軸方向的分量,vy為機器人速度在Y軸方向的分量.

又有:

其中,v為質(zhì)心速度,ω為質(zhì)心角速度.為方便控制,將式(2)代入式(1),狀態(tài)方程簡化為:

此時控制量變?yōu)関、ω,機器人滿足非完整約束條件:

1.2 動力學模型

針對履帶爬壁機器人的瞬態(tài)動力學進行研究,根據(jù)文獻[11,12],假設(shè)兩側(cè)履帶受到的摩擦力相同,將機器人模型簡化如圖2所示.那么根據(jù)牛頓力學對機器人系統(tǒng)進行動力學分析,當無外界干擾時,對于機器人本體坐標系有:

其中,FR=τR/r,FL=τL/r,τR、τL分別為左右電機驅(qū)動力矩,r為履帶車輪半徑;m為履帶式爬壁機器人本體質(zhì)量;Ic為機器人本體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量;Ff x為單側(cè)履帶縱向摩擦力;Ffy為單側(cè)履帶橫向摩擦力;Mf為單側(cè)履帶摩擦阻力矩.

圖2 履帶機器動力學模型

將動力學方程從本體坐標系轉(zhuǎn)化為全局坐標系可得:

由以上公式可知,當加入未知有界外部干擾時,簡化的爬壁機器人動力學方程用標準拉格朗日動力學模型可表示為:

觀察式(7),機器人的重力和摩擦力矩陣在實際應(yīng)用中較難測得,故將其與外界擾動視為系統(tǒng)總擾動.又ST?AT=0故 在式(7)兩邊同時左乘ST(q)以去掉約束力.同時對式(3)求導可得=+,將其也代入式(7),則爬壁機器人動力學方程等效為:

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計

由上一部分內(nèi)容可知,本文中將動力學的重力、摩擦力作用及外部干擾視為系統(tǒng)總擾動,系統(tǒng)建模存在誤差,故采用改進型非線性干擾觀測器對該部分進行前饋補償.

系統(tǒng)控制器(圖3)設(shè)計首先對運動學模型采用反演控制算法得出爬壁機器人參考速度和角速度.其次針對動力學模型設(shè)計基于改進型非線性干擾觀測器的滑?？刂扑惴?使系統(tǒng)具有較強的魯棒性.

圖3 控制器框圖

2.1 運動學控制器

爬壁機器人在全局坐標系的位姿誤差如圖4所示,則機器人在本體坐標系上的位姿誤差可定義為:

參考文獻[13],得到機器人運動學控制律為:

其中,vd、ωd為爬壁機器人設(shè)定軌跡的理想速度與角速度,kx、ky、kθ均為正數(shù).此時定義Lyapunov 函數(shù)為:

其中,e3∈[?π,π],顯然對于任意界限內(nèi)0,有V1＞0,V1正 定.對V1求導得:

由于 sin(e3)的存在,存在e3≠0 時=0,故半負定,且不恒等于0,時V1→∞.故根據(jù)Lyapunov 定理可得平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的.

圖4 爬壁機器人軌跡跟蹤

2.2 改進型非線性干擾觀測器

對于外界干擾,普通非線性干擾觀測器一般將擾動d的導數(shù)近似成=0,而實際環(huán)境中一般不為0,故觀測效果始終存在誤差.根據(jù)機器人系統(tǒng)動力學模型,參考文獻[14,15],對于系統(tǒng)=f(x)+g(x)u+d,設(shè)計改進型非線性干擾觀測器如下所示:

其中,為實際干擾d的估計值;為實際干擾導數(shù)的估計值;Li(i=0,1)為觀測器增益,v為引入的虛擬控制函數(shù).

設(shè)計控制律[16]:相較于文獻[14,15],該觀測器對、、的設(shè)計進行了改進,對于在等式右邊增加“?(z0?x)”,修改=z2+L2x為=z2+x從而設(shè)計的控制律更為簡單.該觀測器相較于文獻[14,15]需設(shè)計的參數(shù)更少,并且采用了飽和函數(shù)替代符號函數(shù),削弱抖振.

在實際環(huán)境中影響爬壁機器人位姿的原因主要為磁吸附力不足,并受重力影響從而造成爬壁機器人發(fā)生滑移.故干擾主要為磁吸附力及重力,其變化一般緩慢,其n階導滿足條件:

即干擾及其任一階導有界.

定義改進型非線性干擾觀測器的觀測誤差為:

則,

變換等式得:

令Lyapunov 函數(shù)為:

顯然V2≥0,有且僅當、、等于零時,V2=0,V2正定.對V2求導得:

為滿足Lyapunov 定理,取L0＞0,L1＞0,k1≥D,使得≤0.

2.3 動力學控制器

通過設(shè)置增益將干擾觀測器觀測到的干擾轉(zhuǎn)化為相應(yīng)干擾輸入控制量,即:

由上式可知,采用相應(yīng)干擾觀測器后,系統(tǒng)的干擾減少,根據(jù)轉(zhuǎn)變后的系統(tǒng)設(shè)計動力學控制器.

其中,β＞0.對滑動面求導得:

將式(21)代入式(23)得:

設(shè)計的滑?？刂浦饕? 個部分:等效控制和切換控制,即:

但為了削弱“抖振”現(xiàn)象,引入變速函數(shù)[17]vs(S,ε)=代替符號函數(shù)sgn(s).

令Lyapunov 函數(shù)為:

則有式(27):

要使系統(tǒng)穩(wěn)定則k2≥0且此時≤0.

綜上所述,對于整個閉環(huán)系統(tǒng),考慮Lyapunov 函數(shù):根據(jù)Lyapunov定律可知整個閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

3 Matlab 仿真驗證

以履帶式機器人為研究對象,機器人參數(shù)為:m=10 kg,I=5 kg·m2,r=0.05 m,L=1 m.

為了驗證該控制律的有效性,本文根據(jù)爬壁機器人一般在壁面上的爬行路徑,設(shè)計了“S”形路徑,公式如式(28)所示.

該路徑包括勻速直線運動,順時針勻速圓周運動及逆時針勻速圓周運動,初始姿態(tài)為假設(shè)外界干擾為d=5sin3(t)+e?t?cos(t),控制參數(shù)設(shè)計為:kx=0.1,ky=3,kθ=1,L0=1,L1=10,ε1=ε2=1,β=5,?=5,k1=85,k2=50,k3=1.仿真結(jié)果如圖5所示.

由圖5–圖7所示,可以觀察到雖然常規(guī)滑?？刂埔部梢缘玫奖容^好的跟蹤效果,但常規(guī)滑模控制的誤差存在抖振,位置誤差為5 cm 左右,姿態(tài)角誤差也在?0.05°～0.05°內(nèi)振蕩.相較而言,加入改進型干擾觀測器后的控制律位姿誤差趨近于0,魯棒性能更優(yōu),抗干擾效果也更好,跟蹤效果如圖8所示.

圖5 X 軸跟蹤誤差

圖6 Y 軸跟蹤誤差

圖7 姿態(tài)角跟蹤誤差

圖8 加入干擾觀測器軌跡跟蹤效果

而由圖9及圖10可知,改進型干擾觀測器基本可以擬合外界干擾,且與文獻[14]的干擾觀測器相比誤差的振蕩范圍更小,觀測效果更佳.

圖9 非線性干擾觀測器觀測效果

圖10 非線性干擾觀測器觀測誤差

4 結(jié)論

本文為了解決存在建模誤差和擾動未知的爬壁機器人軌跡跟蹤問題設(shè)計控制器,首先建立了爬壁機器人的運動學及動力學模型,其次引入干擾觀測器對系統(tǒng)建模誤差及外部干擾進行觀測,設(shè)計出一種基于改進型干擾觀測器的反演滑?？刂品椒?Lyapunov 函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,仿真結(jié)果表明了控制方案的有效性.