平面向量求解策略的幾點(diǎn)建議

黨存莉

【摘要】平面向量作為一種重要的數(shù)學(xué)解題工具，其應(yīng)用十分廣泛，而且平面向量問題涉及的知識點(diǎn)多、交匯性強(qiáng)，因此，掌握一些必要的解題方法，往往能收到事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】平面向量;高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)科是講究方法的學(xué)科，任何方法都有它成立的條件.我們在研究題型的時候，首先要分析它的使用條件，根據(jù)條件選擇不同的方法，對癥下藥，靈活處理，恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ歉咝Ы忸}成功的關(guān)鍵.

一、借助插點(diǎn)、換頭

圖1借助向量的拆分，插入第三個點(diǎn)，即在AC上插入第三個點(diǎn)B，達(dá)到首尾相接的目的，如AB+BC=AC，首尾相接還可用加法的三角形法則;共起點(diǎn)兩個向量作差的法則，如圖1所示，利用OB-OA=AB，把以A為起點(diǎn)的頭換成以O(shè)為起點(diǎn)的頭，達(dá)到換頭的目的，再進(jìn)行運(yùn)算.

圖2例1 如圖2所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量CD=（? ）.

A.-BC+12BA?? B.-BC-12BA

C.BC-12BAD.BC+12BA

解 根據(jù)向量的加法的三角形法則知CD=CB+BD，即CD=CB+12BA，即CD=-BC+12BA.故選A.

例2 已知O，A，B是平面上的三個點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，且2AC+CB=0，則OC=（? ）.

A.2OA-OBB.-OA+2OB

C.23OA-13OBD.-13OA+23OB

解 因?yàn)?AC+CB=0，所以2（OC-OA）+（OB-OC）=0，所以O(shè)C=2OA-OB，故選A.

用不共線的兩個向量表示一個任意向量，就是用平面向量基本定理進(jìn)行分解.在利用向量來解決用基底表示的問題時，選定基底向量，掌握插點(diǎn)、換頭，這樣既減少了運(yùn)算量，又提高了解題效率.

二、借助公式

借助向量的基本運(yùn)算公式進(jìn)行求解，套用公式，達(dá)到求解的目的.

例3 已知兩個單位向量a和b的夾角為60°，則向量a-b在向量a上的投影向量為（? ）.

A.12a? B.a? C.-12a? D.-a

解 由已知可得a·b=1×1×12=12，（a-b）·a=a2-a·b=1-12=12，則向量a-b在向量a上的投影向量為（a-b）·aa·a=12a.故選A.

三、借助坐標(biāo)系

“借助平面直角坐標(biāo)系將圖形用坐標(biāo)表示是很好地解決向量問題的方法，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”.用向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模，判斷共線、平行等問題.

例4 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，且α+β=1，求點(diǎn)C的軌跡方程.

解法一 設(shè)C（x，y），則OC=（x，y），OA=3，1，OB=-1，3.

由OC=αOA+βOB得（x，y）=（3α，α）+（-β，3β）=（3α-β，α+3β），

于是x=3α-β，y=α+3β，α+β=1，先消去β，由β=1-α，得x=4α-1，y=3-2α.

再消去α，得x+2y-5=0.

解法二 當(dāng)OC=αOA+βOB，且α+β=1時，A，B，C三點(diǎn)共線.

因此，點(diǎn)C的軌跡為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得x+2y-5=0.

本題通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用坐標(biāo)相等的定義求出x和y，注意方程思想的運(yùn)用.引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了運(yùn)算的重要性，向量的代數(shù)功能發(fā)揮了巨大的優(yōu)勢.

四、借助共線定理

在使用向量幾何法的過程中，對向量共線定理加以理解，充分認(rèn)識和掌握共線定理形式上的特點(diǎn)，從而提高解題水平.

例5 在△ABC中，D為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=12EC，AE與BD交于點(diǎn)O，則AO=（? ）.

A.12AB+14AC?? B.14AB+14AC

C.14AB+12ACD.12AB+12AC

圖3解 根據(jù)題意，畫出圖形如圖3所示.

因?yàn)锳，O，E三點(diǎn)共線，B，O，D三點(diǎn)共線，所以可設(shè)BO=λBD，AO=μAE.

則AO=μAE=μAB+BE=μAB+13BC=μAB+13（AC-AB）=2μ3AB+μ3AC.同時，AO=AB+BO=AB+λBD=AB+λ（AD-AB）

=AB+λ12AC-AB=1-λAB+λ2AC.由上述兩式可得2μ3=1-λ，μ3=λ2，解得λ=12，μ=34.

所以AO=1-λAB+λ2AC=12AB+14AC.故選A.

利用兩個向量共線解題的實(shí)質(zhì)，就是在求一個與向量a共線的向量時，得到與其平行的向量為 ma，然后根據(jù)題意，列出所求向量的式子，最后利用向量相等的定義，列出方程，求出m的值后代入ma，即得所求的向量.

五、借助數(shù)形結(jié)合

平面向量的線性運(yùn)算具備“形”的特征，而平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算具備“數(shù)”的特征，二者可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.“數(shù)”與“形”之間密不可分，它們相互轉(zhuǎn)化，相輔相成.適當(dāng)利用數(shù)形結(jié)合解題，可以將問題化難為易，化繁為簡.

例6 設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則c的最大值等于（? ）.

A.2??? B.3??? C.2??? D.1

圖4解 如圖4所示，構(gòu)造AB=a，AD=b，AC=c，

∠BAD=120°，∠BCD=60°，

所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

由圖可知當(dāng)線段AC為圓的直徑時，c最大，最大值為2.故選A.

本題構(gòu)造出向量〈a-c，b-c〉=60°，計(jì)算出a和b的夾角，發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓的條件，找到c最大值的位置，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化.

六、借助三角形的性質(zhì)應(yīng)用

幾何運(yùn)算時向量運(yùn)算的一個重要形式是有條件AB|AB|自然想到與AB共線的單位向量，有AB|AB|+AC|AC|聯(lián)想到平行四邊形法則，進(jìn)而聯(lián)想到菱形.又由λAB|AB|+AC|AC|聯(lián)想到共線，即菱形的角平分線.

例7 O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（? ）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

圖5解 作∠BAC的平分線AD，如圖5所示.

∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，

∴AP=λAB|AB|+AC|AC|，

∴向量AP的方向與∠BAC的平分線的方向一致，

∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.故選B.

本題充分應(yīng)用了向量的減法法則，及其與a共線的單位向量的概念，把λAB|AB|+AC|AC|直接轉(zhuǎn)化為菱形的對角線問題，從而問題得到解決.方法巧妙簡便，運(yùn)算量小，是解決本題的最佳解法.向量作為一種解題工具，在本題中得到了充分應(yīng)用.

變式：在△ABC中，已知向量AB與AC滿足AB|AB|+AC|AC|·BC=0，且AB|AB|·AC|AC|=12，則△ABC為（? ）.

A.三邊均不相等的三角形?? B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

解 設(shè)∠BAC的平分線為AD，則AB|AB|+AC|AC|=λAD.由已知得AD⊥BC，∴△ABC為等腰三角形.又cos∠BAC=12，∴∠BAC=60°，∴△ABC為等邊三角形.故選D.

學(xué)生應(yīng)認(rèn)真觀察條件的結(jié)構(gòu)特征，尋求知識之間的聯(lián)系，積極展開思維聯(lián)想，恰當(dāng)選擇突破口切入，合理整合相關(guān)知識，從多角度思考探索，使知識得到遷移的最大保障.只要教師在平時教學(xué)中多發(fā)現(xiàn)、多提煉，學(xué)生就能掌握解題規(guī)律和方法.

總之，學(xué)習(xí)的過程是一個積累方法的過程，任何數(shù)學(xué)題包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系，思維角度不一樣，得到的解題方法也不一樣.在復(fù)習(xí)中，根據(jù)條件的不同，對題型進(jìn)行歸類研究.加強(qiáng)對向量的有關(guān)概念、公式定理的本質(zhì)的理解.注重?cái)?shù)學(xué)思想和能力的訓(xùn)練，特別是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，加強(qiáng)對平面向量核心問題的理解.這就要求教師及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，從而提高學(xué)生的思維能力和課堂教學(xué)效率.

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