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    Mobius變換的迭代與分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

    2021-02-22 07:20孫霞楊慧章
    關(guān)鍵詞:迭代

    孫霞 楊慧章

    【摘要】對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考中出現(xiàn)的分式線(xiàn)性遞推數(shù)列,它其實(shí)是復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)中Mbius變換迭代的一種特殊情形.本文給出了Mbius變換n次迭代的具體表達(dá)式,也給出了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而使得求分式線(xiàn)性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單化.

    【關(guān)鍵詞】Mbius變換;迭代;分式線(xiàn)性遞推數(shù)列

    【基金項(xiàng)目】云南開(kāi)放大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目(19YNOU01);云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目(2020J0492,2018JS479);云南省地方高校聯(lián)合專(zhuān)項(xiàng)面上項(xiàng)目(2018FH001-014);紅河學(xué)院第二屆中青年學(xué)術(shù)骨干(2015GG0207)

    分式線(xiàn)性遞推數(shù)列是由 a1=a,an+1=can+bdan+e(ce-bd≠0)所確定的數(shù)列,它經(jīng)常出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的壓軸題中,我們看到有很多求通項(xiàng)公式的辦法.在本文中,我們站在復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的角度,闡述了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列只是Mbius變換迭代的一種特殊形式,且從動(dòng)力系統(tǒng)的角度,給出了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式,使得求分式線(xiàn)性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單化,揭開(kāi)了該類(lèi)通項(xiàng)公式求解的神秘面紗.

    我們從如下幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行介紹.

    1 Mbius變換的迭代

    在復(fù)分析中,形如R(z)=az+bcz+d(ad-bc≠0)的映射稱(chēng)為分式線(xiàn)性變換或Mbius變換,這樣的映射我們也稱(chēng)為一次有理函數(shù).

    復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)是復(fù)分析中的一個(gè)分支,它是研究函數(shù)迭代序列或軌道狀態(tài)的.即倘若f是定義域S到其自身的解析映射,對(duì)任意初值z(mì)0∈S,考慮迭代過(guò)程z1=f(z0),z2=f(z1),…,zn=f(zn-1),…稱(chēng)迭代序列{z0,z1,…,zn,…}為點(diǎn)z0(在f作用下)的軌道,復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的研究對(duì)象就是上述的函數(shù)迭代序列.

    復(fù)數(shù)域C={(a,b),a∈R,b∈R},而C∪{∞}稱(chēng)為整個(gè)Riemann球面.對(duì)z0∈C∪{∞},我們定義z1=R(z0),z2=R(z1)=R(R(z0))=R2(z0),…,zn=R(zn-1)=R·R·…·R(z0)n=Rn(z0).

    定義 設(shè)R(z)為有理函數(shù),點(diǎn)z稱(chēng)為R(z)的不動(dòng)點(diǎn),如果R(z)=z.

    引理 若R(z)是度為d的有理函數(shù),則R(z)在C∪{∞}中只有d+1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

    對(duì)于Mbius變換R(z)=az+bcz+d(ad-bc≠0)而言,由于它是一次有理函數(shù),所以由上述引理知它在整個(gè)Riemann球面就只有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn),接下來(lái),我們從不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)來(lái)看Mbius變換的n次迭代表達(dá)式.

    情形1 若Mbius變換R(z)在C∪{∞}中有且僅有一個(gè)二重不動(dòng)點(diǎn)ζ,如果該不動(dòng)點(diǎn)為∞,即ζ=∞,則R(z)必定為一次多項(xiàng)式,且R(z)=z+β(β≠0),這時(shí),Rn(z)=z+nβ(n=1,2,3,…).如果ζ≠∞,則令g(z)=1z-ζ,使得g(ζ)=∞,此時(shí),g-1(z)=1z+ζ,不妨設(shè)S(z)=g·R·g-1(z),

    那么S(z)也是Mbius變換且它與R(z)共軛,它僅以∞為其不動(dòng)點(diǎn),即S(∞)=∞,從而可以定出β ~,使得S(z)=z+β ~.

    所以Sn(z)=z+nβ ~(n=1,2,3,…).

    因?yàn)镾n(z)=g·Rn·g-1(z),

    所以g·Rn·g-1(z)=z+nβ ~,

    所以g·Rn(z)=g(z)+nβ ~,

    Rn(z)=g-1(g(z)+nβ ~)=1g(z)+nβ ~+ζ

    =11z-ζ+nβ ~+ζ.

    上述情形中,我們首先處理了較為簡(jiǎn)單的情況,即不動(dòng)點(diǎn)ζ=∞的情況,此時(shí),Rn(z)=z+nβ(n=1,2,3,…);若ζ≠∞,則做了分式線(xiàn)性變換g(z)=1z-ζ,并讓S(z)與R(z)共軛,從而轉(zhuǎn)化為以∞為不動(dòng)點(diǎn)的情形.

    情形2 若Mbius變換R(z)在C∪{∞}中有且僅有兩個(gè)判別的不動(dòng)點(diǎn)ζ1和ζ2.先考查一種特殊情況,若ζ1=0,ζ2=∞,這時(shí),R(z)=kz(k≠0,k≠1),于是,Rn(z)=knz(n=1,2,3,…).對(duì)于一般情形的ζ1和ζ2,做分式線(xiàn)性變換h(z)=z-ζ1z-ζ2,使得h(ζ1)=0,h(ζ2)=∞,繼續(xù)令S(z)=h·R·h-1(z),則S(z)是Mbius變換,且0和∞均為其不動(dòng)點(diǎn),S(z)不恒等于z,所以存在A(yíng)∈C,使得S(z)=Az(A≠0,A≠1),于是,Sn(z)=Anz,所以

    Rn(z)=h-1·Sn·h(z).

    由于h-1(z)=ζ1-zζ21-z,所以

    Rn(z)=h-1·Sn·h(z)=h-1·Snz-ζ1z-ζ2

    =h-1Anz-ζ1z-ζ2

    =ζ1-Anz-ζ1z-ζ2·ζ21-Anz-ζ1z-ζ2.

    同樣地,在該情形中,我們也用了轉(zhuǎn)化的思想,首先考慮簡(jiǎn)單的情形,即以ζ1=0,ζ2=∞為不動(dòng)點(diǎn)的迭代,接下來(lái),當(dāng)ζ1≠0,ζ2≠∞時(shí),則做分式線(xiàn)性變換h(z)=z-ζ1z-ζ2,使得h(ζ1)=0,h(ζ2)=∞,從而轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟知的情形.

    2 Mbius變換的迭代與分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

    上述情形1中,若R(z)在C∪{∞}中有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)ζ且ζ=∞,則R(z)=z+β(β≠0),Rn(z)=z+nβ(n∈N),此時(shí),該迭代序列是我們的公差為β的等差數(shù)列.情形2中,若R(z)在C∪{∞}中有且僅有兩個(gè)判別的不動(dòng)點(diǎn)ζ1和ζ2,且ζ1=0,ζ2=∞,則R(z)=kz(k≠0,k≠1),此時(shí),Rn(z)=knz(n=1,2,3,…),該迭代序列則是我們的公比為k的等比數(shù)列.

    接下來(lái),我們通過(guò)具體例子來(lái)看對(duì)于一般的分式線(xiàn)性遞推數(shù)列,如何求出它的通項(xiàng)公式.上述討論的Mbius變換是定義在整個(gè)Riemann球面的,而我們的數(shù)列則只是定義在正整數(shù)域上的,為了計(jì)算方便,在計(jì)算過(guò)程中不妨把復(fù)變量z換為實(shí)變量x.

    例1 已知a1=5,an+1=an-4an-3(n≥1),求通項(xiàng)公式an.

    解 取R(x)=x-4x-3,令R(x)=x,得不動(dòng)點(diǎn)為x1=x2=2,所以

    g(x)=1x-2,g-1(x)=1x+2,

    S(x)=g·R·g-1(x)=g·R1x+2=g1-2x1-x=x-1,

    Sn(x)=x-n.

    因?yàn)镾n(x)=g·Rn·g-1(x)

    所以Rn(x)=g-1·Sn·g(x)

    =g-1·Sn1x-2=g-11x-2-n

    =g-1-nx+(2n+1)x-2

    =x-2-nx+(2n+1)+2

    =(1-2n)x+4n-nx+(2n+1).

    因?yàn)閤0=a1=5,所以數(shù)列的通項(xiàng)

    an=xn-1=Rn-1(x0)=Rn-1(5)

    =[1-2(n-1)]·5+4(n-1)-(n-1)·5+[2(n-1)+1]=-6n+11-3n+4=6n-113n-4.

    事實(shí)上,我們也可以直接用情形1中的公式,因?yàn)樵摵瘮?shù)只有一個(gè)二重的不動(dòng)點(diǎn).由于ζ=2,β~=-1,所以

    Rn-1(x)=11x-2-(n-1)+2=x-2(n-1)(x-2)1-(n-1)(x-2),

    an=Rn-1(5)=-6n+11-3n+4.

    例2 已知a1=3,an+1=2anan+1,求數(shù)列通項(xiàng)an.

    解 取R(x)=2xx+1,令R(x)=x,得不動(dòng)點(diǎn)為x1=0,x2=1,做變換g(x)=xx-1,則g-1(x)=xx-1,從而

    S(x)=g·R·g-1(x)=g·Rxx-1=g2x2x-1=2x,

    所以Sn(x)=2nx.

    由于Sn(x)=g·Rn·g-1(x),

    所以Rn(x)=g-1·Sn·g(x)=g-1·Snxx-1

    =g-12nxx-1=2nx(2n-1)x+1.

    因?yàn)閤0=a1=3,所以

    an=xn-1=Rn-1(x0)=Rn-1(3)=2n-1·3(2n-1-1)·3+1

    =3·2n-13·2n-1-2.

    我們也可以用情形2中的公式,此時(shí)ζ1=0,ζ2=1,A=2,所以

    Rn-1(x)=-2n-1xx-11-2n-1xx-1,

    an=Rn-1(3)=-2n-1·321-2n-1·32=-3·2n-12-3·2n-1=3·2n-13·2n-1-2.

    對(duì)于次數(shù)為1的有理函數(shù),其迭代后平凡,可以具體寫(xiě)出迭代的表達(dá)式,也就是文中所述的Mbius變換的迭代.而對(duì)于次數(shù)大于或等于2的有理函數(shù)的迭代,其狀況就要復(fù)雜得多.從復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的角度來(lái)看,分式線(xiàn)性遞推數(shù)列其實(shí)來(lái)源于分式線(xiàn)性變換的迭代,它只是一次有理函數(shù)迭代中變量取正整數(shù)的情形,所以可以寫(xiě)出具體的表達(dá)式.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]趙嘉璐.用不動(dòng)點(diǎn)法求分式型遞推數(shù)列的通項(xiàng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2018(09):107.

    [2]林國(guó)夫.利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2008(12):44-45,47.

    [3]史濟(jì)懷,劉太順.復(fù)變函數(shù)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1998.

    [4]呂以輦.復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

    [5]任福堯.復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1997.

    [6]Alan F.Beardon.Iteration of Rational Functions[M].Berlin:Springer Verlag,1991.

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