Mobius變換的迭代與分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

孫霞 楊慧章

【摘要】對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考中出現(xiàn)的分式線(xiàn)性遞推數(shù)列，它其實(shí)是復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)中Mbius變換迭代的一種特殊情形.本文給出了Mbius變換n次迭代的具體表達(dá)式，也給出了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而使得求分式線(xiàn)性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單化.

【關(guān)鍵詞】Mbius變換;迭代;分式線(xiàn)性遞推數(shù)列

【基金項(xiàng)目】云南開(kāi)放大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目（19YNOU01）;云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（2020J0492，2018JS479）;云南省地方高校聯(lián)合專(zhuān)項(xiàng)面上項(xiàng)目（2018FH001-014）;紅河學(xué)院第二屆中青年學(xué)術(shù)骨干（2015GG0207）

分式線(xiàn)性遞推數(shù)列是由 a1=a，an+1=can+bdan+e（ce-bd≠0）所確定的數(shù)列，它經(jīng)常出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考的壓軸題中，我們看到有很多求通項(xiàng)公式的辦法.在本文中，我們站在復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的角度，闡述了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列只是Mbius變換迭代的一種特殊形式，且從動(dòng)力系統(tǒng)的角度，給出了分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，使得求分式線(xiàn)性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單化，揭開(kāi)了該類(lèi)通項(xiàng)公式求解的神秘面紗.

我們從如下幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行介紹.

1 Mbius變換的迭代

在復(fù)分析中，形如R（z）=az+bcz+d（ad-bc≠0）的映射稱(chēng)為分式線(xiàn)性變換或Mbius變換，這樣的映射我們也稱(chēng)為一次有理函數(shù).

復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)是復(fù)分析中的一個(gè)分支，它是研究函數(shù)迭代序列或軌道狀態(tài)的.即倘若f是定義域S到其自身的解析映射，對(duì)任意初值z(mì)0∈S，考慮迭代過(guò)程z1=f（z0），z2=f（z1），…，zn=f（zn-1），…稱(chēng)迭代序列{z0，z1，…，zn，…}為點(diǎn)z0（在f作用下）的軌道，復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的研究對(duì)象就是上述的函數(shù)迭代序列.

復(fù)數(shù)域C={（a，b），a∈R，b∈R}，而C∪{∞}稱(chēng)為整個(gè)Riemann球面.對(duì)z0∈C∪{∞}，我們定義z1=R（z0），z2=R（z1）=R（R（z0））=R2（z0），…，zn=R（zn-1）=R·R·…·R（z0）n=Rn（z0）.

定義 設(shè)R（z）為有理函數(shù)，點(diǎn)z稱(chēng)為R（z）的不動(dòng)點(diǎn)，如果R（z）=z.

引理 若R（z）是度為d的有理函數(shù)，則R（z）在C∪{∞}中只有d+1個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

對(duì)于Mbius變換R（z）=az+bcz+d（ad-bc≠0）而言，由于它是一次有理函數(shù)，所以由上述引理知它在整個(gè)Riemann球面就只有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，接下來(lái)，我們從不動(dòng)點(diǎn)出發(fā)來(lái)看Mbius變換的n次迭代表達(dá)式.

情形1 若Mbius變換R（z）在C∪{∞}中有且僅有一個(gè)二重不動(dòng)點(diǎn)ζ，如果該不動(dòng)點(diǎn)為∞，即ζ=∞，則R（z）必定為一次多項(xiàng)式，且R（z）=z+β（β≠0），這時(shí)，Rn（z）=z+nβ（n=1，2，3，…）.如果ζ≠∞，則令g（z）=1z-ζ，使得g（ζ）=∞，此時(shí)，g-1（z）=1z+ζ，不妨設(shè)S（z）=g·R·g-1（z），

那么S（z）也是Mbius變換且它與R（z）共軛，它僅以∞為其不動(dòng)點(diǎn)，即S（∞）=∞，從而可以定出β ～，使得S（z）=z+β ～.

所以Sn（z）=z+nβ ～（n=1，2，3，…）.

因?yàn)镾n（z）=g·Rn·g-1（z），

所以g·Rn·g-1（z）=z+nβ ～，

所以g·Rn（z）=g（z）+nβ ～，

Rn（z）=g-1（g（z）+nβ ～）=1g（z）+nβ ～+ζ

=11z-ζ+nβ ～+ζ.

上述情形中，我們首先處理了較為簡(jiǎn)單的情況，即不動(dòng)點(diǎn)ζ=∞的情況，此時(shí)，Rn（z）=z+nβ（n=1，2，3，…）;若ζ≠∞，則做了分式線(xiàn)性變換g（z）=1z-ζ，并讓S（z）與R（z）共軛，從而轉(zhuǎn)化為以∞為不動(dòng)點(diǎn)的情形.

情形2 若Mbius變換R（z）在C∪{∞}中有且僅有兩個(gè)判別的不動(dòng)點(diǎn)ζ1和ζ2.先考查一種特殊情況，若ζ1=0，ζ2=∞，這時(shí)，R（z）=kz（k≠0，k≠1），于是，Rn（z）=knz（n=1，2，3，…）.對(duì)于一般情形的ζ1和ζ2，做分式線(xiàn)性變換h（z）=z-ζ1z-ζ2，使得h（ζ1）=0，h（ζ2）=∞，繼續(xù)令S（z）=h·R·h-1（z），則S（z）是Mbius變換，且0和∞均為其不動(dòng)點(diǎn)，S（z）不恒等于z，所以存在A(yíng)∈C，使得S（z）=Az（A≠0，A≠1），于是，Sn（z）=Anz，所以

Rn（z）=h-1·Sn·h（z）.

由于h-1（z）=ζ1-zζ21-z，所以

Rn（z）=h-1·Sn·h（z）=h-1·Snz-ζ1z-ζ2

=h-1Anz-ζ1z-ζ2

=ζ1-Anz-ζ1z-ζ2·ζ21-Anz-ζ1z-ζ2.

同樣地，在該情形中，我們也用了轉(zhuǎn)化的思想，首先考慮簡(jiǎn)單的情形，即以ζ1=0，ζ2=∞為不動(dòng)點(diǎn)的迭代，接下來(lái)，當(dāng)ζ1≠0，ζ2≠∞時(shí)，則做分式線(xiàn)性變換h（z）=z-ζ1z-ζ2，使得h（ζ1）=0，h（ζ2）=∞，從而轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟知的情形.

2 Mbius變換的迭代與分式線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

上述情形1中，若R（z）在C∪{∞}中有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)ζ且ζ=∞，則R（z）=z+β（β≠0），Rn（z）=z+nβ（n∈N），此時(shí)，該迭代序列是我們的公差為β的等差數(shù)列.情形2中，若R（z）在C∪{∞}中有且僅有兩個(gè)判別的不動(dòng)點(diǎn)ζ1和ζ2，且ζ1=0，ζ2=∞，則R（z）=kz（k≠0，k≠1），此時(shí)，Rn（z）=knz（n=1，2，3，…），該迭代序列則是我們的公比為k的等比數(shù)列.

接下來(lái)，我們通過(guò)具體例子來(lái)看對(duì)于一般的分式線(xiàn)性遞推數(shù)列，如何求出它的通項(xiàng)公式.上述討論的Mbius變換是定義在整個(gè)Riemann球面的，而我們的數(shù)列則只是定義在正整數(shù)域上的，為了計(jì)算方便，在計(jì)算過(guò)程中不妨把復(fù)變量z換為實(shí)變量x.

例1 已知a1=5，an+1=an-4an-3（n≥1），求通項(xiàng)公式an.

解 取R（x）=x-4x-3，令R（x）=x，得不動(dòng)點(diǎn)為x1=x2=2，所以

g（x）=1x-2，g-1（x）=1x+2，

S（x）=g·R·g-1（x）=g·R1x+2=g1-2x1-x=x-1，

Sn（x）=x-n.

因?yàn)镾n（x）=g·Rn·g-1（x）

所以Rn（x）=g-1·Sn·g（x）

=g-1·Sn1x-2=g-11x-2-n

=g-1-nx+（2n+1）x-2

=x-2-nx+（2n+1）+2

=（1-2n）x+4n-nx+（2n+1）.

因?yàn)閤0=a1=5，所以數(shù)列的通項(xiàng)

an=xn-1=Rn-1（x0）=Rn-1（5）

=[1-2（n-1）]·5+4（n-1）-（n-1）·5+[2（n-1）+1]=-6n+11-3n+4=6n-113n-4.

事實(shí)上，我們也可以直接用情形1中的公式，因?yàn)樵摵瘮?shù)只有一個(gè)二重的不動(dòng)點(diǎn).由于ζ=2，β～=-1，所以

Rn-1（x）=11x-2-（n-1）+2=x-2（n-1）（x-2）1-（n-1）（x-2），

an=Rn-1（5）=-6n+11-3n+4.

例2 已知a1=3，an+1=2anan+1，求數(shù)列通項(xiàng)an.

解 取R（x）=2xx+1，令R（x）=x，得不動(dòng)點(diǎn)為x1=0，x2=1，做變換g（x）=xx-1，則g-1（x）=xx-1，從而

S（x）=g·R·g-1（x）=g·Rxx-1=g2x2x-1=2x，

所以Sn（x）=2nx.

由于Sn（x）=g·Rn·g-1（x），

所以Rn（x）=g-1·Sn·g（x）=g-1·Snxx-1

=g-12nxx-1=2nx（2n-1）x+1.

因?yàn)閤0=a1=3，所以

an=xn-1=Rn-1（x0）=Rn-1（3）=2n-1·3（2n-1-1）·3+1

=3·2n-13·2n-1-2.

我們也可以用情形2中的公式，此時(shí)ζ1=0，ζ2=1，A=2，所以

Rn-1（x）=-2n-1xx-11-2n-1xx-1，

an=Rn-1（3）=-2n-1·321-2n-1·32=-3·2n-12-3·2n-1=3·2n-13·2n-1-2.

對(duì)于次數(shù)為1的有理函數(shù)，其迭代后平凡，可以具體寫(xiě)出迭代的表達(dá)式，也就是文中所述的Mbius變換的迭代.而對(duì)于次數(shù)大于或等于2的有理函數(shù)的迭代，其狀況就要復(fù)雜得多.從復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的角度來(lái)看，分式線(xiàn)性遞推數(shù)列其實(shí)來(lái)源于分式線(xiàn)性變換的迭代，它只是一次有理函數(shù)迭代中變量取正整數(shù)的情形，所以可以寫(xiě)出具體的表達(dá)式.

【參考文獻(xiàn)】

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