用矩陣方法處理物塊碰撞次數(shù)問題

彭定輝

(江西省南豐縣第一中學(xué) 江西 撫州 344500)

1 問題

碰撞次數(shù)問題是近期網(wǎng)上熱議的中學(xué)物理問題之一.《碰撞出來的圓周率》一文對此進(jìn)行了詳盡細(xì)致的討論分析，證明了碰撞次數(shù)與圓周率的關(guān)系[1]；再有《關(guān)于物塊碰撞次數(shù)的探討》用速度相圖方法對該問題進(jìn)行了研究[2].本文從系統(tǒng)的觀點出發(fā)，借助矩陣方法，為碰撞次數(shù)問題建立一種清晰的物理模型.

為了簡化物理情景，故對原題進(jìn)行部分改動，陳述如下：

圖1 變題題圖

2 分析

將兩物塊先相互碰撞，再小物塊與墻相碰的過程稱為一次沖擊，系統(tǒng)運動的整個全過程由多次沖擊組成.現(xiàn)就一次沖擊中的兩次碰撞進(jìn)行具體分析.

為了凸顯運動的對稱性，規(guī)定小物塊m向右為正方向，大物塊M向左為正方向.它們之間為彈性碰撞，假定兩物塊碰前速度分別為v0和u0，碰后速度分別為v和u，故有

-mv+Mu=-mv0+Mu0

求解得

接著小物塊m與墻壁發(fā)生彈性碰撞，速度反向，故有：v′=-v.可以把v0和u0稱為兩物塊在沖擊過程的初速度，v′和u稱為對應(yīng)的末速度.

系統(tǒng)第k+1次沖擊時，兩物塊初速度分別為vk和uk，末速度分別為vk+1和uk+1，故有

(1)

(2)

由于兩物塊系統(tǒng)能量守恒，即有

(3)

(4)

即能量守恒式(3)簡化為

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V2+U2=1

(5)

(6)

Uk+1=cosθUk-sinθVk

(7)

Vk+1=sinθUk+cosθVk

(8)

此時可以用矩陣來表示此方程組

|k+1〉=P|k〉

(9)

圖2 U-V系統(tǒng)狀態(tài)圖

設(shè)|k〉狀態(tài)矢量的相位角為α，即Uk=cosα，Vk=sinα，代入式(7)、(8)，得

Uk+1=cosθcosα-sinθsinα=cos (θ+α)

Vk+1=sinθcosα+cosθsinα=sin (θ+α)

即

(10)

由上式可知，矩陣P作為作用算符，并不改變狀態(tài)矢量的大小，僅僅改變狀態(tài)矢量的相位角，使?fàn)顟B(tài)矢量沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角.故矩陣算符P也稱為旋轉(zhuǎn)矩陣[4].

3 問題解決

其狀態(tài)矢量的相位角為π.

假設(shè)全過程中經(jīng)過N次沖擊，即兩物塊互碰N次，則有方程

|N〉=PN|0〉

(11)

或

(12)

即PN使?fàn)顟B(tài)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)Nθ角，剛好使系統(tǒng)的狀態(tài)矢量的相位角從零增加到π，故有

Nθ=π

(13)

(14)

又由于

且碰撞次數(shù)為整數(shù)，故兩物塊相互碰撞的總次數(shù)為

(15)

式(15)中“[]”為取整符號.

4 結(jié)束語

本文借助量子力學(xué)的概念，用狀態(tài)矢量和矩陣算符描述系統(tǒng)的狀態(tài)變化，使得物理方程形式簡潔，意義明確；狀態(tài)轉(zhuǎn)換式

|k+1〉=P|k〉

從某種角度來說具有物理通用性，對于同類問題有一定的參考價值.