蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯(lián)系

李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

蝴蝶定理過圓內(nèi)接四邊形對角線的交點，作連心線的垂線，該垂線被四邊形對邊所截線段等長.

文[1]記錄了蝴蝶定理的證明、變形與推廣，這一發(fā)展歷程顯示了該定理與笛沙格對合定理之間的聯(lián)系.實際上對角線的交點是一個自對應(yīng)點，但是另一個自對應(yīng)點為什么是該垂線上的無窮遠點？

當對角線的交點在圓的內(nèi)部時，該問題是顯然的；當對角線的交點在圓的外部時，再從歐氏平面看，直觀性就不強了.這也是為什么平面幾何中對對角線交點在圓的內(nèi)部和外部分別予以證明的原因.

從射影平面看，二者是統(tǒng)一的.因為圓內(nèi)接四邊形對角線的交點與圓心連線，其極點恰恰是該垂線上的無窮遠點.所以對角線的交點、該垂線上的無窮遠點調(diào)和分割該垂線與圓相交所成點對.這一點就可以解釋另一個自對應(yīng)點的確是該垂線上的無窮遠點.

牛頓定理圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線.

文[2]記錄了牛頓定理證明較有代表性的面積法，文[3]更是給出一個異常漂亮的幾何方法，文[4]創(chuàng)造性地提出質(zhì)點法并以非常簡潔的方式證明了牛頓定理.本文無意去比較牛頓定理不同證明的優(yōu)劣，目的是揭示蝴蝶定理、牛頓定理之間的聯(lián)系.發(fā)現(xiàn)牛頓定理與蝴蝶定理的一個變形射影等價.

先從蝴蝶定理的一個簡單變形談起，即：

圖1

結(jié)論1設(shè)圓O的內(nèi)接四邊形ABCD，AB、CD、BC、AD與過圓心O的直線交于點P、Q、X、Y，且OX=OY，那么OP=OQ.

該問題的實質(zhì)與蝴蝶定理相同，這是因為結(jié)論1中也是對合自對應(yīng)點的性質(zhì).一個自對應(yīng)點是圓心，另一個自對應(yīng)點是該條直線上的無窮遠點.

本文感興趣的是結(jié)論1的另一種等價表述，即：

圖2

結(jié)論2設(shè)圓O的內(nèi)接四邊形ABCD，AD、BC交于點E，AB、CD交于點F，過點E作直線l使得l、EO調(diào)和分割EC、ED，過點F作直線m使得m、FO調(diào)和分割FA、FD，那么l、m交于無窮遠點.

其實，從歐幾里得平面看，l∥m.具體的證明，讀者可以過O作l的平行線n交直線AB、CD于點P、Q，交直線BC、AD于點X、Y.

因為l、EO調(diào)和分割EC、ED，且n∥l，所以O(shè)X=OY(一線段被它的中點和這直線上的無窮遠點所調(diào)和分割[5]).根據(jù)結(jié)論1可知，OP=OQ.又m、FO調(diào)和分割FA、FD，所以n∥m.那么l∥m(歐幾里得平面)，即l、m交于無窮遠點(射影平面).

前面已經(jīng)提出，本文的目的是獲得蝴蝶定理和牛頓定理之間的聯(lián)系，結(jié)論2作為蝴蝶定理的一種變形，從配極對應(yīng)的角度看，結(jié)論2正是牛頓定理.即：

結(jié)論3設(shè)圓O的外切四線形abcd，a×d、b×c連線為直線e，a×b、c×d連線為直線f，在直線e上作點L使得L、e×l∞調(diào)和分割e×c、e×d，在直線f上作點M使得M、f×l∞調(diào)和分割f×a、f×d，那么LM經(jīng)過圓心.

圖3

注:l∞指的是無窮遠直線.

其實，從歐幾里得平面看，點L、M即為對角線的中點.

所以結(jié)論3也就是本文開始提到的牛頓定理，因此牛頓定理與蝴蝶定理的一個變形射影等價.這一例子再一次說明：在歐氏空間里某些不好解釋的現(xiàn)象，從射影空間的觀點看，就有滿意的說明，觀點越高，事物就顯得越簡單[6].