新課程背景下概率與統(tǒng)計的變式教學(xué)探析

李 健

(江蘇省外國語學(xué)校 215104)

1 問題提出

正如美國科學(xué)院院士C．R．勞所說:“在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計”，步入大數(shù)據(jù)時代以來，社會、經(jīng)濟、科技等領(lǐng)域的發(fā)展與數(shù)學(xué)尤其是概率統(tǒng)計學(xué)的研究和應(yīng)用實現(xiàn)了深度融合．與此同時，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(簡稱《課標》)也對概率與統(tǒng)計的學(xué)科價值和教育價值進行了深度挖掘，并對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求[1]．然而筆者注意到，“概率和統(tǒng)計”——這個“獨具個性”的數(shù)學(xué)分支——雖然成為了新課程體系中一個突出的獨立主題，但在目前實際教學(xué)中其概念內(nèi)涵和學(xué)科本質(zhì)往往會被忽視，甚至存在“機械記憶”的現(xiàn)象，這有悖于新課程提出的“為學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件”的要求．基于此，筆者結(jié)合教學(xué)實際，希冀借助變式教學(xué)這一有效途徑進行分析和探討，在開展概率統(tǒng)計教學(xué)時逐步理解和落實新課程理念．

2 “概率與統(tǒng)計”的新課程背景簡析

2.1 對學(xué)科內(nèi)容要求的解讀

作為新課程體系中的“四大主線”之一，“概率與統(tǒng)計”貫穿于“必修”、“選擇性必修”以及“選修”三個階段的課程中，其中，“必修”和“選擇性必修”涵蓋了“計數(shù)原理”、“概率”、“統(tǒng)計”3個模塊5個單元的內(nèi)容(詳見表1)．相比較2003年頒布的《課標(實驗)》而言，《課標》主要有三個方面的變化或調(diào)整，一是在結(jié)構(gòu)調(diào)整上，主要體現(xiàn)在“隨機事件的獨立性”由選擇性必修調(diào)整至必修，而“變量的相關(guān)性”則由必修調(diào)整到選擇性必修；二是在內(nèi)容變化上，主要集中在必修課程內(nèi)“隨機事件和概率”以及“抽樣”兩個知識點中；三是在教學(xué)要求上，更加強調(diào)了“古典概型”的作用以及對“統(tǒng)計本質(zhì)”的理解[2]．這些變化和調(diào)整恰好為變式教學(xué)的實施提供了可操作空間．

2.2 從核心素養(yǎng)的視域分析

《課標》對該主題的學(xué)業(yè)要求是重點提升“數(shù)據(jù)分析”、“數(shù)學(xué)建?！薄ⅰ斑壿嬐评怼薄ⅰ皵?shù)學(xué)運算”和“數(shù)學(xué)抽象”等5項數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)(詳見表1)．不難看出，這5項學(xué)科素養(yǎng)是按照關(guān)聯(lián)度“從高到低”的順序排列的．作為統(tǒng)計學(xué)的核心內(nèi)容，“數(shù)據(jù)分析”必然成為概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)過程中所逐步形成的最關(guān)鍵能力；而在《課標》中，“實例”作為高頻詞在本主題中出現(xiàn)了高達20次，這充分說明了概率和統(tǒng)計模型是落實開展數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動的重要載體[3]．所以，在日常教學(xué)中，我們要面向?qū)嶋H背景，讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)據(jù)思維的角度去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，即在概率統(tǒng)計的課程教學(xué)中，重點聚焦“數(shù)據(jù)分析”、“數(shù)學(xué)建?！边@兩項數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，同時兼顧“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運算”和“數(shù)學(xué)抽象”三項素養(yǎng)的滲透與培養(yǎng)，幫助學(xué)生逐步提升“四能”，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)．

表1

3 變式教學(xué)的案例實施探析

3.1 通過“概念性變式”多維度認知概念內(nèi)涵

對核心概念內(nèi)涵的理解是建構(gòu)知識體系的關(guān)鍵，《課標》基于學(xué)生已有的知識儲備，增設(shè)了“同邏輯、類屬性”的概念，讓學(xué)生自發(fā)地將舊的知識與新的概念有效地拼接與融合，促進學(xué)生知識的縱向遷移和多角度認知，動態(tài)地對體系中的核心概念加以深度理解．這本質(zhì)上就是“概念性變式”，即“用不同形式的直觀材料或具體事例說明概念的本質(zhì)屬性, 或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出概念的本質(zhì)特征[4]．”

案例1《課標》增加了新概念——“樣本點及有限樣本空間”，它的引入讓我們可以用集合的語言去刻畫“事件的關(guān)系及運算”，從而能夠從集合的角度去審視概率問題．以2019年人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修·第二冊》(簡稱《必修二》)P230-231的內(nèi)容為例，正是利用了學(xué)生所熟悉的“集合”的相關(guān)知識，來類化新增內(nèi)容——“事件的關(guān)系和運算”的概念，同時借助Venn圖從“數(shù)和形”的角度幫助學(xué)生深度認知其概念內(nèi)涵．這既是“化歸”和“數(shù)形結(jié)合”思想方法的體現(xiàn)，也是“概念性變式”實效的彰顯．

圖1

概念的內(nèi)涵與外延對立且統(tǒng)一[4]，即概念有了明確的內(nèi)涵則其外延就有了清晰的界定，反之亦然．所以深化概念可以通過厘清與其“周邊概念”的界限來達到突出其本質(zhì)屬性的目的．

案例2《課標》將“古典概型”列為概率教學(xué)體系中的重要概念，而作為古典概型問題必備特性的“等可能性”往往是學(xué)生的初識“盲點”，因此強化“在具體問題情境中判斷樣本點的等可能性”是教學(xué)重點，此處可借助生活中的實例——彩票中獎概率問題——設(shè)計一個對比性較強的“非概念”示例來進行概念性變式教學(xué)(詳見表2)，再與《必修二》第236頁例8的兩個“思考”相銜接，歸納出求解古典概型問題的一般思路，達到深化理解“古典概型”內(nèi)涵的目的．

表2

3.2 通過“過程性變式”多層次建構(gòu)知識體系

《課標》對概率和統(tǒng)計的概念要求做了較大的調(diào)整，與其他模塊相比較，并沒有刻意強調(diào)對其概念的認知，取而代之的是強調(diào)在對相關(guān)知識的實踐過程中感悟性質(zhì)、掌握方法．在《必修二》中，對兩個概念的描述主要以章首語中的概述為主，以概率為例，其中有兩個顯性的變化：一是“概率”的定義沒有像以往教材一樣設(shè)置在本章首節(jié)，而是以“有限樣本空間”為起點進行了兩節(jié)內(nèi)容的鋪墊，直到第三節(jié)“古典概型”才給出了明確定義；二是沒有從“頻率”的角度去詮釋概率的定義，僅從“概率是對隨機事件可能性大小的量化”這一層面進行了表述，是對章首語的呼應(yīng)．而上述變化，正是教師在實施教學(xué)時需要調(diào)整的聚焦點，采用“過程性變式”有助于在概念辨析中揭示兩者的區(qū)別與聯(lián)系，更有助于在情景化中建構(gòu)概率與統(tǒng)計的知識體系．

根據(jù)數(shù)學(xué)活動過程具有層次性的基本特征，“過程性變式”包含了深化認知的一系列策略與途徑，旨在形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法[4]．同作為量化隨機現(xiàn)象規(guī)律性的兩個概念，概率與統(tǒng)計在研究方向、推理方法和判斷準則上均有差異(圖2)[6]，針對這個特點，筆者設(shè)計了以“失蹤的彈孔”為情境的過程性變式：

圖2

案例3師：二戰(zhàn)中，為了提高飛機的防御效能，在盡量減少對飛機機動性影響的前提下，美國軍方?jīng)Q定在飛機最需要防護、受攻擊概率最高的部位增加裝甲，他們根據(jù)戰(zhàn)斗后返程飛機各部位的彈孔分布，給相關(guān)的統(tǒng)計研究小組提供了如下數(shù)據(jù)(見表3)，如果你是小組成員，你會建議在飛機的哪個部位增加裝甲呢？

表3

生：應(yīng)該在彈孔出現(xiàn)頻率最多的機身部位進行加固．

師：但是當(dāng)時研究小組中的數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·瓦爾德可不這么認為，他給出的建議是“加固裝甲中彈頻率最低的位置——引擎.”大家可以交流思考下，這是什么原因？(拋出變式情境，引導(dǎo)學(xué)生思考)

生：(討論交流，思考探究)從概率學(xué)角度分析，飛機各部位中彈的幾率應(yīng)是均等的，然而實際出現(xiàn)這么大偏差，是因為這一統(tǒng)計數(shù)據(jù)源自于能夠返航的“幸存者”．因此，我們可以得出結(jié)論——引擎中彈為致命傷，這些飛機無法返回導(dǎo)致了引擎上的彈孔大量“失蹤”．

師：很好！從上述事例中你感悟到什么了嗎？

生：概率學(xué)中的結(jié)論是確定的理論值，它對統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用有著很重要的判斷和指導(dǎo)作用．

師：(因勢利導(dǎo)，實施變式)很好！大家都知道在統(tǒng)計學(xué)中，我們常用“頻率”來度量隨機現(xiàn)象變化規(guī)律，例如表3中數(shù)據(jù)就可以轉(zhuǎn)化為“飛機各部位的中彈頻率”，大家不妨結(jié)合頻率的概念談一談統(tǒng)計對概率的研究有著怎樣的意義？

生：統(tǒng)計出來的頻率是具有隨機性的實驗值，通過大量重復(fù)的實驗可以用頻率去估計概率，例如著名的“拋硬幣實驗”就很好地說明了“頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的近似值”的基本事實．

師：非常好！所以我們可以通過統(tǒng)計學(xué)中得出的數(shù)據(jù)，幫助我們建立相應(yīng)的概率模型或者驗證某個概率模型是否合理．

由此可見，“過程性變式”中所蘊含的動態(tài)思辨更有利于學(xué)生自發(fā)地厘清概率與統(tǒng)計之間的“血緣關(guān)系”，可以更有效地幫助學(xué)生在形成概念的過程中構(gòu)建知識體系．

3.3 通過“解題型變式”多途徑把握學(xué)科本質(zhì)

近幾年的高考概率統(tǒng)計題中，愈發(fā)明顯地突出理論聯(lián)系實際的導(dǎo)向[5]．情景創(chuàng)設(shè)更趨于真實、模型設(shè)計更加精致、題型設(shè)置也更為多元，這充分體現(xiàn)了高考的導(dǎo)向——概率統(tǒng)計的解題教學(xué)應(yīng)側(cè)重于現(xiàn)實意義下的對知識的理解掌握．例如《課標》明確要求通過具體的實例了解、掌握“超幾何分布”和“二項分布”，而學(xué)生在剛接觸“超幾何分布”時，往往會與之前所學(xué)的“二項分布”混淆，我們可設(shè)置下述“解題型變式”，以幫助學(xué)生將兩種分布融合到現(xiàn)實情境中辨析異同、感悟內(nèi)涵．

案例4(2021蘇州高三期初調(diào)研第18題)隨著視頻傳輸和移動通信技術(shù)的日益成熟、以及新冠疫情的推動，直播+電商的模式正在全球范圍內(nèi)掀起熱潮．目前，國際上Amazon、Rakuten等電商平臺和以Facebook為代表的社交類平臺都紛紛上線了直播電商業(yè)務(wù)；在國內(nèi)，淘寶、京東、抖音、拼多多、蘇寧等眾多平臺都已成為該賽道內(nèi)的玩家．根據(jù)中研產(chǎn)業(yè)研究院《2020—2025年中國直播電商行業(yè)市場深度分析及投資戰(zhàn)略咨詢研究報告》顯示，2020年上半年，“直播經(jīng)濟”業(yè)態(tài)主要崗位的人才達到2019年同期的2.4倍；2020年“6．18”期間，帶貨主播和直播運營兩大崗位高達去年同期的11.6倍．針對這一市場現(xiàn)象，為了加強監(jiān)管，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次．

(1)請完成關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？(附表略)

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評80對商品不滿意10合計200

(2)(原題)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)為隨機變量X，求對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

(變式)以“評價系統(tǒng)中選出的200次成功交易”作為研究對象，從中隨機抽取3次交易，記這3次交易中對商品和服務(wù)全為好評的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

師：(一題多變，比對辨析)請大家針對第2問思考下原題與變式的題設(shè)有何異同之處．

師：(引導(dǎo)探究，把握本質(zhì))很好！不同的統(tǒng)計背景對應(yīng)不同的概率分布，從上述問題中我們可以解讀出“取后是否放回”、“總體容量大小”以及“是否出現(xiàn)‘用統(tǒng)計數(shù)據(jù)替代’的表述”是區(qū)分“二項分布”和“超幾何分布”的一些關(guān)鍵點．那為何上述兩種不同的概率分布期望值卻“殊途同歸”？是巧合嗎？你如何理解的？

師：(回歸教材，多題一解)很不錯的解題思路！事實上該方法還可以推出更為一般性的結(jié)論，但需要嚴格的演繹推理去論證，請大家研讀教材(人教A版《選擇性必修3》)78頁至79頁“探究”的內(nèi)容，深度理解二者的期望為何相等，同時利用上述解決問題的思路去研究例6，理論聯(lián)系實際，深層次理解“超幾何分布”和“二項分布”的概念本質(zhì)．

由該例我們不難窺出，“一題多變”、“一題多解”和“多題一解”等常用的“解題型變式”教學(xué)手段，是引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題并最終把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要研究方法．

4 結(jié)束語

長期的教學(xué)實踐證明了“唯‘變’不變”的真理，歷經(jīng)幾次教改，變式教學(xué)一直都扮演著數(shù)學(xué)教學(xué)“催化劑”的重要角色，在概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中，它既是指向數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)的有效手段，也是指向培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑．隨著這一輪教改逐步走入深水區(qū)，變式教學(xué)也必將為“加快教學(xué)縱深發(fā)展、促進學(xué)生多向思維”提供更強大的助力．