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    為運(yùn)算找出路 發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)①
    ——以2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第22題為例

    2021-02-23 00:58:08郭建華寧連華張?jiān)骑w
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年12期
    關(guān)鍵詞:斜率定點(diǎn)運(yùn)算

    郭建華 于 健 寧連華 張?jiān)骑w

    (1.江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005; 2.南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210023;3.南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心 210017)

    1 問題提出

    圓錐曲線是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型,具有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì),在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想,其中圓錐曲線綜合題是每年高考的必考題型,它也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一.雖然學(xué)生在考前都做了大量的習(xí)題,但是考生在考場上遇到圓錐曲線綜合題時(shí),還是束手無策、舉步維艱.“會(huì)而不對,對而不全,全而不優(yōu)”的現(xiàn)象普遍存在,究其原因是學(xué)生害怕其“運(yùn)算”,具體表現(xiàn)為對運(yùn)算對象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思路的探究、運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)和運(yùn)算路徑的選擇上存在不足.因此,在平時(shí)的教學(xué)中教師要不斷為學(xué)生創(chuàng)造自主探究的機(jī)會(huì),調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官,在做中學(xué)、學(xué)中悟、悟中思,加強(qiáng)對運(yùn)算能力的培養(yǎng).教師在常態(tài)課堂教學(xué)中應(yīng)多關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算過程,指導(dǎo)和幫助學(xué)生為“運(yùn)算”找出路,通過運(yùn)算教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,從而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

    日前,筆者所在學(xué)校高三的一次月考中,選用了2020年山東省數(shù)學(xué)高考第22題作為壓軸題,學(xué)生的卷面反應(yīng)與教師的預(yù)期差距較大,結(jié)果不甚理想.筆者借此機(jī)會(huì)進(jìn)行了一些思考,并嘗試在課堂上和學(xué)生一起探究,反饋效果較好.現(xiàn)將拙見整理成一些文字,望得到讀者的指正.

    2 真題再現(xiàn)

    (1)求C的方程;

    (2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

    本題以考查橢圓中的定點(diǎn)問題為載體,其背景熟悉、表達(dá)簡練、內(nèi)涵深刻.試題蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的考查,能較好地甄別學(xué)生的思維水平和檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及學(xué)習(xí)潛能.

    試題的命題特色如下:一是動(dòng)靜結(jié)合,化動(dòng)為靜;二是化繁為簡,實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突破.這兩點(diǎn)既是本題的亮點(diǎn),也是難點(diǎn).

    3 解法探究

    處理圓錐曲線問題一般要經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié):首先要明晰解決的目標(biāo)是什么樣的幾何問題;其次要尋找解決目標(biāo)所需要的代數(shù)條件是什么,再把幾何問題代數(shù)化(有時(shí)候這個(gè)代數(shù)化的過程不是很直觀,需要把幾何問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的幾何問題后再進(jìn)行代數(shù)化);第三步是利用已知的題設(shè)條件,分析這些條件的關(guān)聯(lián),研究并解決轉(zhuǎn)化之后的代數(shù)問題;最后要返回去研究幾何問題[1].

    (2)這是一道與定點(diǎn)有關(guān)的問題,定點(diǎn)在哪兒,哪兒有定點(diǎn)?這是本題求解的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn).根據(jù)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),定點(diǎn)一般存在于變化的直線或曲線中.注意到本題中的曲線為定的,而動(dòng)的直線有四條,即:AM,AN,AD,MN,其中前三條都經(jīng)過定點(diǎn)A,我們要找的定點(diǎn)不在這三條直線上,它最有可能在動(dòng)直線MN上.利用教學(xué)軟件GeoGebra演示,發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線MN的確過定點(diǎn)E,如圖1.

    圖1

    為了更利于學(xué)生理解直線MN過定點(diǎn),設(shè)計(jì)其思維導(dǎo)圖如下:

    只有想得到,才能算得好.下面重點(diǎn)從運(yùn)算的視角針對(2)中直線MN過定點(diǎn)問題做一些探究.

    3.1 理解運(yùn)算對象,為運(yùn)算找出路

    對于第(2)問,其中一部分同學(xué)的想法:先求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),寫出直線MN的方程,再依據(jù)直線MN方程的結(jié)構(gòu)特征探究它是否過定點(diǎn).由于直線MN的斜率和它在y軸上的截距都是與k有關(guān)的變量,二者之間的關(guān)系比較隱蔽,學(xué)生未能理解運(yùn)算對象間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),導(dǎo)致解題失?。浣夥ㄈ缦拢?/p>

    解法1:如圖2,當(dāng)直線AM的斜率存在時(shí),設(shè)直線AM:y=k(x-2)+1,M(x1,y1),N(x2,y2),代入橢圓C的方程,消去y得

    圖2

    (1+2k2)x2+(4k-8k2)x+8k2-8k-4=0①,

    由題意得2為方程①的一個(gè)根,

    又AM⊥AN,

    由直線MN:y-y1=kMN(x-x1)得

    大部分同學(xué)寫到這里就做不下去了.

    教師可利用這個(gè)契機(jī),讓學(xué)生重新認(rèn)識直線過定點(diǎn)的問題,并聯(lián)想與定點(diǎn)相關(guān)的直線方程的形式:(1)點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0),直線過點(diǎn)(x0,y0);(2)將直線方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)λ為主元的方程,即λ(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0,直線過兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn);(3)斜截式:y=kx+b.讓學(xué)生思考:如果直線過定點(diǎn),那么該定點(diǎn)與k,b存在怎樣的關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題,讓學(xué)生動(dòng)手操作,得出結(jié)論:(1)當(dāng)b為定值時(shí),直線過定點(diǎn)(0,b);(2)當(dāng)b=mk時(shí),直線過定點(diǎn)(-m,0);(3)當(dāng)b=mk+n時(shí),直線過定點(diǎn)(-m,n),這種情況更具有一般性.于是上述學(xué)生的困難,便迎刃而解.其解法如下:

    整理得(2t-m)k2-(3m+3t+3)k-2t+m=0,

    于是得直線MN:

    如圖3,當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),

    圖3

    由于|AE|為定值,并且AE為直角△ADE的斜邊,所以AE中點(diǎn)Q滿足|DQ|為定值,即

    3.2 掌握運(yùn)算方法,為運(yùn)算找出路

    也有同學(xué)這樣想:既然目標(biāo)是探究直線MN過定點(diǎn),設(shè)直線MN:y=kx+m進(jìn)行求解,但依然會(huì)被運(yùn)算擋道.其解法如下.

    即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0①,

    當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),

    設(shè)其方程為y=kx+m,并聯(lián)立橢圓C的方程,

    消去y得 (1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0,

    由韋達(dá)定理得

    將y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①中得

    (1+k2)x1x2+(mk-k-2)(x1+x2)

    +(m-1)2+4=0④,

    再將②、③代入④中,得

    +(m-1)2+4=0,

    上式可化為4k2+3m2+8mk-2m-1=0⑤.

    一部分學(xué)生費(fèi)了九牛二虎之力得到⑤式,后面就不知道如何計(jì)算了.

    教師提出問題:觀察運(yùn)算對象所滿足方程的結(jié)構(gòu)特征,同學(xué)們能想到什么?停頓,讓學(xué)生分析和思考.學(xué)生2提出了自己的想法:把⑤式看做以k為“主元”的一元二次方程,其判別式Δ=16(m+1)2>0(m≠-1,否則直線MN過點(diǎn)A),

    利用求根公式求得

    于是⑤式可化為

    即(2k+3m+1)(2k+m-1)=0⑥,

    由于點(diǎn)A不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,

    于是2k+3m+1=0,

    在學(xué)生2的啟發(fā)下,學(xué)生3也提出自己的想法:其實(shí),對⑤式的處理其本質(zhì)是“降次”,而因式分解又是“降次”的工具,利用兩次因式分解便可完成,即4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=0,從而得⑥式.后面的解答同解法1.通過求根公式、因式分解等方法的選擇,將運(yùn)算目標(biāo)分解并有機(jī)地融合到代數(shù)運(yùn)算體系中,感悟因式分解在運(yùn)算中的必要性,從而為運(yùn)算找到出路.其目的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題能力,積累問題解決的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生的認(rèn)知水平.

    3.3 借助平移變換,為運(yùn)算找出路

    圖4

    設(shè)M′(x3,y3),N′(x4,y4),由OM′⊥ON′,

    當(dāng)直線M′N′斜率存在時(shí),設(shè)直線M′N′:

    y=kx+m(m≠0),即點(diǎn)O不在直線M′N′上,

    聯(lián)立直線M′N′與橢圓D的方程,

    消去y并整理得

    (1+2k2)x2+(4mk+4k+4)x+2m2+4m=0,

    由韋達(dá)定理,得

    將y3=kx3+m,y4=kx4+m代入①中,

    整理可得

    (1+k2)x3x4+mk(x3+x4)+m2=0④,

    上式可化簡為m(3m-4k+4)=0⑤,

    當(dāng)直線M′N′的斜率不存在時(shí),易證直線M′N′也過定點(diǎn)E′,

    即直線MN過定點(diǎn)E,以下同解法1.

    在平時(shí)的教學(xué)中要讓學(xué)生關(guān)注和了解一下平移變換的實(shí)質(zhì),即:平移變換僅改變圖形的位置,不改變它的形狀和大?。闷揭谱儞Q得到的⑤式明顯比解法2得到的⑤式簡潔,并且將變量m與k的線性關(guān)系由“隱性”變?yōu)椤帮@性”,降低了運(yùn)算難度.平移變換為該題求解提供了一個(gè)工具,也為簡化運(yùn)算找到一個(gè)新的出路.

    3.4 深度理解方程,為運(yùn)算找出路

    將①式變形為x2+2y2+4x+4y=0②,

    當(dāng)直線M′N′的斜率存在時(shí),設(shè)直線M′N′:

    將③代入②中,

    化簡并整理為

    設(shè)直線OM′,ON′斜率分別為k1,k2,

    由題意得k1,k2為方程④的兩個(gè)相異實(shí)根,

    又OM′⊥ON′,得k1·k2=-1,

    解法一出,同學(xué)們便自發(fā)地鼓掌,感嘆其思維深刻、解法巧妙、運(yùn)算簡潔.緊接著讓學(xué)生感悟、反思、梳理巧法背后所隱藏的思維路徑.

    在解法不斷優(yōu)化的過程中,讓學(xué)生感受“數(shù)”與“形”的對立統(tǒng)一,滲透運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

    4 結(jié)論推廣

    學(xué)生9提出:如果本題中直線AM與AN的斜率之積為某一定值,那么直線MN是否過定點(diǎn)?能否得到一個(gè)更一般的結(jié)論?學(xué)生9將問題的探究又向前推進(jìn)一步.經(jīng)過筆者和學(xué)生一起探索,得到如下結(jié)論.

    點(diǎn)M,N按向量n平移后分別對應(yīng)點(diǎn)M′,N′,由橢圓D得

    聯(lián)立方程①、②得

    b2x2+a2y2+2b2x0x+2a2y0y=0③,

    當(dāng)直線M′N′的斜率存在時(shí),

    將其代入③式得

    化簡并整理為

    a2(m+2y0)y2+(2b2x0-2a2y0k0)xy+b2(m-2k0x0)x2=0④,

    將④式兩邊同時(shí)除以x2(x≠0),得

    a2(m+2y0)k2+(2b2x0-2a2y0k0)k+b2(m-2k0x0)=0⑤,

    由題意得k1,k2為方程⑤的兩個(gè)相異實(shí)根,

    設(shè)平移前直線MN過定點(diǎn)E(x1,y1),由題意,得

    所以平移前直線MN過定點(diǎn)

    當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),易證點(diǎn)E也在直線MN上,綜上,直線MN過定點(diǎn)

    結(jié)論1的證法與結(jié)論2完全相同,本文不再贅述.

    通過對一般性結(jié)論的探索,讓學(xué)生體會(huì)平移法在解決圓錐曲線問題中的優(yōu)越性,讓學(xué)生感悟整體法在處理圓錐曲線運(yùn)算中的妙用.學(xué)生在探索優(yōu)化運(yùn)算的過程中,應(yīng)養(yǎng)成獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣,同時(shí)也應(yīng)學(xué)會(huì)與他人交流合作,建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神[2].

    教師繼續(xù)拋出探究問題,在雙曲線和拋物線中是否也存在類似的結(jié)論.供有興趣的同學(xué)開展課外研究性學(xué)習(xí).

    5 結(jié)語

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).它不僅是一種特殊的邏輯推理,而且能較好的甄別學(xué)生解決問題的能力.?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的四個(gè)方面“情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思”在這道高考題的探究中得到較好的體現(xiàn)和詮釋,為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)提供載體.由于解析幾何是運(yùn)用代數(shù)的方式解決幾何問題,涉及到“數(shù)”與“式”的靈活轉(zhuǎn)換和整合,“運(yùn)算”便成了問題解決過程中的“攔路虎”.因此,在平時(shí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從多元視角分析影響運(yùn)算的主要因素,加強(qiáng)對理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路等數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)的理解和運(yùn)用,不斷滲透數(shù)學(xué)思想和方法,從而發(fā)展“四基”和提高“四能”.通過提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng),讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題,用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流問題的習(xí)慣,將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

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