以問促教，以問促思

曹小珍

摘要：巧妙設(shè)問，以問促教，以問促思，能夠盤活僵化的數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)有效教學(xué)的生成，激發(fā)學(xué)生思維的積極性。本文就2015年安徽省中考數(shù)學(xué)試題中一道壓軸題入手，不斷啟發(fā)追問，開闊學(xué)生思路，發(fā)展學(xué)生思維，使學(xué)生在不斷思考和實(shí)踐解題過程中逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)?壓軸題?以問促教?以問促思

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，

過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。

（1）求證：AD=BC。

（2）求證：△AGD∽△EGF。

（3）若AD、BC所在的直線互相垂直，求AD[]EF的值。

二、題型立意分析

本題屬于幾何綜合題。在四邊形對(duì)邊相等的基礎(chǔ)上，巧妙地將中垂線、全等相似結(jié)合在一起，圖形結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔美觀，充分體現(xiàn)了幾何圖形靈活多變的魅力。三個(gè)問題的設(shè)置體現(xiàn)了由易到難、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的特征。在解題中引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手畫圖、觀察、思考過程中探究圖形的本質(zhì)特征，感受問題之間的緊密聯(lián)系。本題還具有中考?jí)狠S題起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、探究性強(qiáng)、區(qū)分度高等特點(diǎn)，考查學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力。

三、教學(xué)活動(dòng)分析

（一）教學(xué)片段1：多維角度審題，重視圖形生長(zhǎng)過程

教師先出示題目的題干部分。

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀題干，你認(rèn)為題干中哪些語句比較關(guān)鍵？

生1：點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G。另外，附加∠AGD=∠BGC。

師：請(qǐng)大家在四邊形ABCD的基礎(chǔ)之上按照題干要求將圖完整地畫出來，說說你對(duì)題意的理解。

生2：線段GE、GF是線段AB、CD的中垂線，故GC=GD，GA=GB，△GDC和△GAB是共頂點(diǎn)的等腰三角形，聯(lián)合∠AGD=∠BGC，很容易得出△GAD與△GBC全等。

生3：由于∠AGD=∠BGC，觀察圖形可得出∠DGC=∠AGB，所以△GDC和△GAB是頂角相等的等腰三角形，所以它們必定相似。

師：大家對(duì)比畫圖前后的審題結(jié)果，你們能再談?wù)勛约簩?duì)這道題的思考嗎？

【教學(xué)分析】

學(xué)生解答壓軸題困難之一在于審題時(shí)抓不住問題的核心，尤其是容易忽略隱藏條件，因而導(dǎo)致難以找到突破口而一籌莫展。在剛才的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生通過自己畫圖，發(fā)現(xiàn)題目圖形是四邊形上下兩條對(duì)邊的中垂線相交形成兩個(gè)軸對(duì)稱的等腰三角形。再附加兩邊角相等形成全等圖形特征。初中生習(xí)慣于僅僅看題、觀察圖形，而不愿意動(dòng)手操作，但是復(fù)雜圖形所蘊(yùn)含的信息多且隱蔽，學(xué)生不容易捕捉到關(guān)鍵細(xì)節(jié)特征。審題環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)主要目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形生長(zhǎng)過程，找出圖形的本質(zhì)特征，明確圖形中存在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，為解題指引方向。數(shù)學(xué)家波利亞說過“審好題就是成功解題一半”。培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，無疑是提升其數(shù)學(xué)品質(zhì)的一個(gè)重要方面。

（二）教學(xué)片段2：循序漸進(jìn)，深挖題意

觀察題目第二個(gè)證明目標(biāo)，求證：△AGD∽△EGF。

師：證明三角形相似有哪些方法？結(jié)合以上結(jié)論，試試找出自己的解決方法。

生4：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

師：很好，結(jié)合本題條件特征，大家怎么解決問題呢？

生5：△GDC和△GAB是共頂點(diǎn)等頂角的等腰三角形，所以它們相似。GE、GF分別是底邊CD、AB的中線，由等腰三角形三線合一可得GE、GF分別平分底邊，平分頂角。

∠DGC=∠AGB∠DGF=∠AGE∠AGD =∠BGC。

再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于對(duì)應(yīng)邊之比，可得

師：很好，大家利用等腰三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，再巧妙利用比的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成

△AGD和△EGF對(duì)應(yīng)邊的比。大家再思考和拓展一下，如果僅僅將題目中的中點(diǎn)E、F條件改變一下，△AGD∽△EGF仍然成立，你會(huì)怎么改編？

生：……

師：如果點(diǎn)E、F分別分CD、AB的比相等時(shí)（如圖2），△AGD∽△EGF仍成立嗎？

【教學(xué)分析】

證明二次相似對(duì)于學(xué)生是個(gè)難點(diǎn)，第二問的設(shè)置是常見的二次相似模型。第二問中我們應(yīng)用了二次相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比等于對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)高（中線、角平分線）之比，再利用比的性質(zhì)轉(zhuǎn)化。在滬科版課本習(xí)題設(shè)置中，相似三角形對(duì)應(yīng)高（中線、角平分線）的比等于對(duì)應(yīng)邊之比的練習(xí)、強(qiáng)化不是很多，通常是一次相似，再利用相似比轉(zhuǎn)化計(jì)算。為了突出難點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)了拓展設(shè)問，強(qiáng)化方法應(yīng)用。

師：請(qǐng)大家將自己的思維過程列一個(gè)線索圖。

學(xué)生整合自己的思路，畫出自己的思維線索圖。

老師總結(jié)：本題第一問起點(diǎn)低，我們采用順向思維由因索果利用全等解決。第二問我們從結(jié)論出發(fā)，尋找條件，結(jié)合已有條件，應(yīng)用綜合法，兩用二次相似。我們可以列出如下思維線索圖：

【教學(xué)分析】

做十道題不如透徹解決一道題，學(xué)生做題速度快，不善于深入思考，僅僅為做題而做題，這樣會(huì)失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心力。而壓軸題的目的在于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解決問題的思想方法。本題第一問雖然簡(jiǎn)單，但是它是一個(gè)入口，從這里進(jìn)去之后，學(xué)生能找到更多的相關(guān)要素，并且第一題結(jié)論是第二問、第三問的條件。壓軸題往往通過設(shè)問為后續(xù)問題搭梯子。讓學(xué)生對(duì)比兩題不同的解決策略，要求學(xué)生列出思維線索圖，目的在于引導(dǎo)學(xué)生有層次、有邏輯地思考問題和解決問題，促進(jìn)學(xué)生思維深度發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。鼓勵(lì)學(xué)生改編題目條件，拓寬學(xué)生思維，不被定式約束。解題教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)一道題，對(duì)問題的本質(zhì)進(jìn)行研究。建構(gòu)幾何模型，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）教學(xué)片段3：巧構(gòu)輔助線，一題多解

師：第三問中的條件AD、BC所在的直線互相垂直有什么作用？AD/EF的值與第二問兩三角形相似有什么關(guān)聯(lián)？

生6：延長(zhǎng)線段AD、BC相交于點(diǎn)H（如圖3），這樣相互垂直條件更加直觀，可以觀察到△HAB是直角三角形。由∠HAB+∠HBA=90°

∠GAB+∠GBA=90°，得到△GAB為等腰直角三角形。

師：還有其他途徑嗎？

生：……

師：題目條件中AD與BC所在直線垂直，大家延長(zhǎng)線段AD與BC相交，這樣形成的直角更直觀。類比這種方法，大家還能想出其他的想法嗎？

大家積極思索、討論。

生8：（如圖4）構(gòu)造平行線，過點(diǎn)D作HD∥BC，連接HD、BH、AH，得HD⊥AD。

生9：（如圖5）過點(diǎn)E、F分別作EM∥AD，F(xiàn)M∥BC，得△EFM為直角三角形。

生10 ：（如圖6）過點(diǎn)A作AQ∥BC交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，得AD⊥AQ。

同學(xué)們思維發(fā)散開了，展示了很多不同構(gòu)造輔助線的方法（如圖7）。

師：很好，大家利用平行線結(jié)合中位線、全等能從不同的角度去解決第三問。由△AGD≌△BGC聯(lián)系旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，大家再來觀察一下圖形之間的關(guān)聯(lián)。

生11：△BGC可以看成是△AGD旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的（如圖8），旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)G，對(duì)應(yīng)邊分別是AG與BG、GD與GC、AD與BC。故AD與BC的夾角是旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)AD與BC所在直線夾角為90°時(shí)，則∠AGB=∠DGC=90°，因而△GDC、△GAB為等腰直角三角形，再應(yīng)用相似比得出結(jié)果。

師：那如果AD與BC所在直線夾角不是90°，而是60°，120°，大家能算出AD與EF的比值嗎？如果它們的夾角用一個(gè)字母α表示，那結(jié)果怎么表示？

學(xué)生回答歸納得出EF與AD的比值可以用三角函數(shù)表示。

【教學(xué)分析】

學(xué)生獨(dú)立面對(duì)幾何綜合題時(shí)往往花費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間而不得要領(lǐng)，但是老師一點(diǎn)撥，他們就豁然開朗，然后就是懊惱不已，后悔自己沒想到關(guān)鍵點(diǎn)。再然后是不斷刷題，沉迷于題海，辛苦不堪，但收獲甚微。是什么導(dǎo)致這樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？我想還是教師過多地停留在教授“知識(shí)”的層面上，解題教學(xué)過于泛泛而談，只講解答案，就題講題，就像豬八戒吃人參果，囫圇吞棗，不知其味。因而對(duì)于解題教學(xué)，教師要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)一道題， 引導(dǎo)學(xué)生從多種視角審題，不僅關(guān)注關(guān)鍵語句，還要啟發(fā)學(xué)生從圖形的生長(zhǎng)過程、所求結(jié)論綜合分析和探究題目來求解。更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生走出一道題，組織學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)進(jìn)行研究，類比自己做過相似的習(xí)題或者相似的解題方法，追根溯源更深層次地探究多種解法。只有教師引導(dǎo)學(xué)生開動(dòng)大腦，不斷總結(jié)歸納，學(xué)生才會(huì)形成自己的數(shù)學(xué)思想方法。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)就能得到提高。

（四）教學(xué)片段4：變式拓展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

師：大家在剛才的學(xué)習(xí)中，很有自己的思想，老師為你們點(diǎn)贊。帶著剛才的經(jīng)驗(yàn)，大家再次觀察圖形，想一想，我們可以從哪些角度看待這個(gè)綜合圖形的形成過程？應(yīng)用本題解題指導(dǎo)思想，你能解決類似問題嗎？

【學(xué)生回答匯總】

可以看成是對(duì)邊相等的四邊形中，作不相等對(duì)邊的中垂線形成的兩個(gè)共頂點(diǎn)、等頂角的兩個(gè)等腰三角形;

可以看成共頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形旋轉(zhuǎn)得到的圖形;

可以看成是兩側(cè)的三角形旋轉(zhuǎn)得到的圖形。

【變式拓展習(xí)題】

（1）已知：如圖9所示，△AED和△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)M、N、Q分別是DE、BC、BD的中點(diǎn)，

求證：△QMN是等腰直角三角形。

（2）如圖10所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，

AD與BC夾角為α，

求FE/AD。

【教師感悟】

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度和敏捷性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不能成為口號(hào)。學(xué)生必須從不斷的實(shí)踐中提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)，而中考?jí)狠S題具有起點(diǎn)低、落點(diǎn)高、開放性強(qiáng)、綜合度高的特點(diǎn)。初三數(shù)學(xué)教學(xué)以壓軸題為載體，不斷啟發(fā)追問以開闊學(xué)生思路，學(xué)生思維才能得以發(fā)展。在壓軸題教學(xué)中，老師要捕捉到學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維模糊區(qū)，實(shí)時(shí)跟進(jìn)學(xué)生思維，合情合理地進(jìn)行啟發(fā)式追問，使學(xué)生在不斷思考和實(shí)踐解題過程中逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。