注重思維可視 促進(jìn)算理巧辨

摘 要：多元表征是適應(yīng)新課程改革的一種現(xiàn)代化教學(xué)方法，具備新穎性和趣味性強(qiáng)的特點(diǎn)，同時(shí)也迎合了素質(zhì)教育多元化的要求。為保證多元表征的應(yīng)用質(zhì)量，教師需要做好綜合研究與充分考量，避免教學(xué)形式化，同時(shí)也要防止多元表征過度應(yīng)用，否則很容易流于表面，而忽視當(dāng)中所蘊(yùn)藏的學(xué)習(xí)資源，充分體現(xiàn)多元表征對(duì)教育發(fā)展的促進(jìn)和改革助推作用。

關(guān)鍵詞：思維;小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué);學(xué)習(xí)資源

一、 嘆：直面現(xiàn)狀追原因

經(jīng)調(diào)查了解學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域當(dāng)中有關(guān)數(shù)的運(yùn)算的實(shí)際情況，在各個(gè)學(xué)段都發(fā)現(xiàn)學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，有的錯(cuò)誤逐年積累，一直影響著學(xué)生其他方面的學(xué)習(xí)，甚至阻礙學(xué)生思維的發(fā)展。因此，筆者提出教師應(yīng)重視學(xué)生的計(jì)算能力和計(jì)算錯(cuò)誤，探究原因，基于表征等學(xué)習(xí)方式，讓計(jì)算的算理可視，可辨，從而提升學(xué)生的計(jì)算能力。

（一）表征紛亂目的不清：思維與實(shí)際脫離

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念的理解和解決的過程很多同學(xué)只會(huì)模仿，但是卻不能表達(dá)自己對(duì)算理的理解。

（二）表征運(yùn)用的形式單一：算法無算理支撐

教師知道表征能力培養(yǎng)的必要性，但卻沒有引發(fā)學(xué)生的關(guān)注，畫示意圖、線段圖、列表等豐富表征形式被學(xué)生看成了額外的“任務(wù)”，教師面對(duì)單一的表征也束手無策，導(dǎo)致學(xué)生在理解計(jì)算算理時(shí)缺乏可視的直觀圖支撐，逐漸使學(xué)生缺失了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和表達(dá)的創(chuàng)造力。

（三）表征內(nèi)容使用效率低：表征與教學(xué)相離

有的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)表征很感興趣，例如乘法的計(jì)算，有余數(shù)的除法等學(xué)生想象力極豐富，但是教師缺乏梳理統(tǒng)整，或是評(píng)價(jià)的時(shí)候缺乏遵循一定的“序”，使得表征作品使用效率降低，這與老師的評(píng)價(jià)有關(guān)，也與教師的生本觀有關(guān)。

二、 思：小學(xué)階段“多元表征”學(xué)習(xí)價(jià)值的再思考

計(jì)算教學(xué)的錯(cuò)誤總伴隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)存在，學(xué)生因運(yùn)算意義不理解從而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤總存在，這說明我們的教學(xué)存在問題。學(xué)生表征算理能力缺失也會(huì)不利于學(xué)生的思維能力的提升。

（一）積累表征經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)運(yùn)算意義更清晰

兒童心理學(xué)認(rèn)為：小學(xué)生思維特點(diǎn)以形象思維為主，獲取知識(shí)在形象感受、感知的基礎(chǔ)上逐步建立表象而形成概念的。而人教版新教材重視對(duì)算理的理解，強(qiáng)調(diào)對(duì)運(yùn)算意義和價(jià)值的理解，讓學(xué)生依托多元素材表征積累表象經(jīng)驗(yàn)，明晰表征運(yùn)算的意義，可以更加豐富、更加深刻地理解運(yùn)算，對(duì)學(xué)生構(gòu)建運(yùn)算模型有重要作用。

（二）論透多元表征，溝通數(shù)學(xué)思維立模型

人教版數(shù)學(xué)新教材有關(guān)數(shù)的運(yùn)算包含了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算意義、計(jì)算法則和運(yùn)算定律、四則混合運(yùn)算三個(gè)部分。在新教材中也多處將例題對(duì)比編排，就是為了讓學(xué)生在對(duì)比中辨析運(yùn)算的意義，在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生基于圖形表征、文字表征、符號(hào)表征、動(dòng)作表征等多元表征，展開充分的討論、辨析，學(xué)透、論透計(jì)算的意義，明晰算理，碰撞思維，激發(fā)靈感，在同桌、小組、全班等多樣的形式當(dāng)中，來發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升運(yùn)算能力。

（三）優(yōu)化多元表征，豐富運(yùn)算策略促發(fā)展

在教學(xué)中學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解以及表征能力會(huì)大不相同，表征的形式也會(huì)不同，從而形成多元的學(xué)習(xí)素材。教師應(yīng)尊重學(xué)生的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，同時(shí)讓學(xué)生捕捉不同方法的思維亮點(diǎn)，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新靈感，豐富運(yùn)算策略。同時(shí)教師也不必索要多樣化的多元表征，不必為了體現(xiàn)多元而多元，為了追求呈現(xiàn)的素材的華麗，不必走低層次表征路線，而應(yīng)該實(shí)實(shí)在在去關(guān)注有價(jià)值的學(xué)習(xí)素材。

三、 行：“多元表征”在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的實(shí)踐探索

“計(jì)算教學(xué)”學(xué)習(xí)分布在每?jī)?cè)教學(xué)中，首先對(duì)于整個(gè)小學(xué)階段學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，整理小學(xué)階段的“計(jì)算教學(xué)”學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的一些方法。

（一）追根溯源：整體解讀明目標(biāo)

1. 一讀課改，明確要求

計(jì)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的技能，《2011課程標(biāo)準(zhǔn)》把計(jì)算能力作為數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，計(jì)算能力有助于學(xué)生自身發(fā)展，有助于學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的重要能力。計(jì)算也貫穿著數(shù)學(xué)教學(xué)的始終?；诙嘣碚鞯膶W(xué)習(xí)是基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)利用認(rèn)知規(guī)律，組織引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，其本質(zhì)內(nèi)涵是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行心理多元認(rèn)知編碼并與之建立對(duì)應(yīng)、建構(gòu)意義聯(lián)系，逐步建構(gòu)“內(nèi)化—聯(lián)系—外化”的深度學(xué)習(xí)生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。

2. 二理教材，把握要點(diǎn)

新教材、新課標(biāo)對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”做出的改變，是從重視算法的掌握、運(yùn)算技能的熟練，轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注算理、運(yùn)算意義的建構(gòu)。這樣的改變這有利于學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。因此筆者對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行梳理，通過整理和統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)并非所有的計(jì)算課都需要學(xué)生來進(jìn)行表征，計(jì)算教學(xué)的難度呈螺旋式上升，部分內(nèi)容是前期學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，部分內(nèi)容是新的，需要借助多元表征等其他學(xué)習(xí)方式幫助學(xué)生明晰算理，表述過程，充分溝通聯(lián)系。

3. 三尋聯(lián)系，關(guān)注方式

通過前后教材的聯(lián)系對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)多元表征是學(xué)生理解算理的一個(gè)學(xué)習(xí)方式，但并不是所有的計(jì)算都需要進(jìn)行表征的，呈現(xiàn)的形式也不能一味單一，而是要以學(xué)生的實(shí)際、教學(xué)的實(shí)際和見解的表達(dá)方式多維度結(jié)合進(jìn)行思考的。

（二）實(shí)踐探索——課堂踐行覓優(yōu)化

基于多元表征提升學(xué)生的計(jì)算能力，深度學(xué)習(xí)算力，讓學(xué)生思維可視，算理可辨，提升計(jì)算的靈活性、自主性、準(zhǔn)確性，下面是筆者思考和實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的有效的策略嘗試：

1. 策略一：巧借“前測(cè)”暴露原認(rèn)知，讓學(xué)生思維可視

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上?；诖?，教師在課前通過設(shè)計(jì)合理的前測(cè)學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行分析和表達(dá)，然后教師根據(jù)學(xué)生的情況精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，這樣的設(shè)計(jì)將會(huì)更加有效和有針對(duì)性。回顧整個(gè)實(shí)踐的過程，筆者認(rèn)為呈現(xiàn)學(xué)生的前測(cè)資源著重需關(guān)注三點(diǎn)：

（1）巧示多樣圖示表征，了解學(xué)生起點(diǎn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，學(xué)生的知識(shí)水平和認(rèn)知基礎(chǔ)也影響著進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，教師需要了結(jié)學(xué)生的真實(shí)水平和能力。來自前測(cè)的多樣的圖示表征，能夠展示學(xué)生的原認(rèn)知，教師可以充分了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生之間也可以互相了解和學(xué)習(xí)。

（2）嘗試多元展示錯(cuò)誤，呈現(xiàn)學(xué)生疑點(diǎn)

在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，錯(cuò)誤不可避免。學(xué)生的認(rèn)知能力和知識(shí)的掌握程度不同，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果也不同學(xué)生因不掌握而出現(xiàn)的錯(cuò)誤需要老師加以關(guān)注，正確面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，并積極進(jìn)行深入的分析，讓錯(cuò)誤成為孩子學(xué)習(xí)的資源。

（3）個(gè)性展示充分交流，放大學(xué)生難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生有自由的空間和靈活解決問題的方式，激發(fā)學(xué)生個(gè)性化地學(xué)習(xí)，同時(shí)在感悟中體會(huì)方法的最優(yōu)化，教師還可以捕捉不同思維方法的亮點(diǎn)和閃光點(diǎn)，讓學(xué)生充分展示。在交流當(dāng)中，也將計(jì)就計(jì)地將難點(diǎn)放大，從而營(yíng)造大家共同解決問題的良好氛圍。教師要有所為，理清何時(shí)為，如何為的問題，盡量為學(xué)生搭建交流平臺(tái)，留出學(xué)習(xí)的空間與時(shí)間，展現(xiàn)外化的思維。讓學(xué)生當(dāng)小老師講算法和算理，生生間、師生間互相傾聽、交流、追問辯論，使得原本錯(cuò)誤的方法越辯越清晰，模糊的概念越來越清晰，知識(shí)從表面的到達(dá)會(huì)逐步走向深入，從而逐步感悟到計(jì)算的本質(zhì)。

2. 策略二：巧辯“多元表征”引發(fā)沖突，讓算理思維可視

《2011版課標(biāo)》中指出教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)，共同發(fā)展的過程，要突出學(xué)生的主體地位，就要體現(xiàn)學(xué)生在自主的基礎(chǔ)上互動(dòng)的過程。讓學(xué)生基于一定的學(xué)習(xí)素材、多元表征爭(zhēng)辯起來，激活思維，求異創(chuàng)新，發(fā)揮潛能。

辨析環(huán)節(jié)是有效學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生是否真正理解算理、真正掌握方法的關(guān)鍵，是否能夠?qū)⑿陆?jīng)驗(yàn)與原認(rèn)知進(jìn)行有效溝通，內(nèi)化，構(gòu)建學(xué)生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，辨析是重要學(xué)習(xí)方式。經(jīng)過多次實(shí)踐，筆者認(rèn)為要關(guān)注以下三點(diǎn)：

（1）布置多元表征任務(wù)，生長(zhǎng)點(diǎn)創(chuàng)生經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)有重要的啟發(fā)和方法性的作用。以學(xué)生的多元表征為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，請(qǐng)學(xué)生自主思考、理解新知，基于開放多元的任務(wù)布置，從而給后續(xù)辨析鋪墊。同時(shí)，借助多元表征，催生新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生能動(dòng)而深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)習(xí)里生長(zhǎng)。

圖1 小學(xué)數(shù)學(xué)基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)的多元表征課堂示意圖

（2）組織多元表征討論，體驗(yàn)點(diǎn)豐富經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生的有效的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，是建立在學(xué)生有意義的理解的基礎(chǔ)之上的，學(xué)生經(jīng)歷討論，將從外在的，他人的經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行內(nèi)化，認(rèn)同后，會(huì)并入自己的學(xué)習(xí)系統(tǒng)。基于學(xué)生的多元表征，教師搭建討論平臺(tái)，一方面引導(dǎo)學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，同時(shí)創(chuàng)設(shè)分享機(jī)會(huì)，將自己的學(xué)習(xí)思考更加清晰化、明確化、外顯化。

（3）巧辯多元表征成果，融通點(diǎn)內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要與原認(rèn)知發(fā)生聯(lián)系，才能讓他們獲得的經(jīng)驗(yàn)具有實(shí)質(zhì)性的意義，才能真正內(nèi)化。通過課堂爭(zhēng)辯，辨析，使學(xué)生從直觀的感知，表面的具體的理解上升到對(duì)本質(zhì)意義的理解，從而有助于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律的理解。在爭(zhēng)辯的過程中，學(xué)生能從一種表征方式轉(zhuǎn)換到另一種表征方式，就會(huì)逐漸對(duì)各種表征方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在融通點(diǎn)對(duì)新知進(jìn)行真正的內(nèi)化。

3. 策略三：直擊“數(shù)學(xué)本質(zhì)”展開表征，讓“形”不同而“理”為一

數(shù)學(xué)本質(zhì)包含對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的把握、對(duì)數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟。圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)展開的教學(xué)和學(xué)習(xí)是有價(jià)值的，學(xué)生才能從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)，獲得最扎實(shí)的知識(shí)，從而得到更好的發(fā)展。對(duì)算理、概念進(jìn)行表征也是如此，我們要摒棄花架子，有效突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

（1）靜態(tài)呈現(xiàn)想動(dòng)態(tài)——算法的描述與歸納

學(xué)生筆算48÷3時(shí)，首位相除有余與后一位數(shù)合起來接著除理解有困難，那么在探究首位相除無余的42÷2時(shí)，就應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷一位數(shù)除多位數(shù)的筆算過程，充分理解算理，掌握筆算方法。借助操作表征，將動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的寫商過程，再通過深入算理→筆列口說→理到法成，將除數(shù)是一位數(shù)的除法的計(jì)算算理從靜態(tài)的想動(dòng)態(tài)的。讓學(xué)生經(jīng)歷算法的探究以及總結(jié)描述的全過程。

（2）數(shù)形溝通來說理——難點(diǎn)易錯(cuò)處的預(yù)測(cè)

“數(shù)”是指數(shù)及數(shù)量關(guān)系，“形”主要指直觀圖形，數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、互相利用幫助學(xué)生建立數(shù)感，提高思維能力。在計(jì)算教學(xué)中，難點(diǎn)易錯(cuò)處數(shù)形溝通，讓學(xué)生深度探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，更好地理解算理，掌握算法。例如學(xué)習(xí)52÷2時(shí)，學(xué)生思考重點(diǎn)是：當(dāng)十位除以2，余下的1個(gè)十后怎么辦？在數(shù)式中，4和12分別是怎樣寫的。借助小棒表征后，學(xué)生能充分理解算理，分步呈現(xiàn)豎式的計(jì)算過程，并能輔助學(xué)生獨(dú)立說出每一步的計(jì)算結(jié)果的含義。

（3）巧用練習(xí)契機(jī)點(diǎn)——建立模型水到渠成

2011版的課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中明確提出了模型思想，模型思想也越來越多被運(yùn)用到課堂教學(xué)當(dāng)中，教師通過多種途徑來建立模型，例如情境感知、活動(dòng)體驗(yàn)等，同時(shí)也可以通過巧妙設(shè)計(jì)練習(xí)，抓住時(shí)機(jī)也可以建立數(shù)學(xué)模型，滲透模型思想。教師的練習(xí)設(shè)計(jì)，從圖→式，從式→圖，從口算→筆算→驗(yàn)算→估算→建?！偨Y(jié)，多元巧設(shè)，理法合一。

四、 望：數(shù)學(xué)課堂“多元表征”學(xué)習(xí)方式應(yīng)用的思考

（一）展現(xiàn)數(shù)學(xué)表征的過程使其更具科學(xué)性

近年來，隨著認(rèn)知心理學(xué)被引人數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，學(xué)習(xí)主體的內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)及其變化規(guī)律的研究逐漸成為人們關(guān)注的話題。表征已經(jīng)成為數(shù)學(xué)解題理論中的核心概念。尋找數(shù)學(xué)表征的基本規(guī)律已經(jīng)成為提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。因此合理展現(xiàn)信息表征的過程使其更具科學(xué)性需要進(jìn)一步反思。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)表征的交流逐步提升其價(jià)值

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，表征能力能夠優(yōu)化問題結(jié)構(gòu)，降低解決難度，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題。同時(shí)優(yōu)化表征信息的方式，使其逐步拓展學(xué)生的抽象思維，幫助學(xué)生構(gòu)建更加合理準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)問題解決的模型，提升數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的重要的數(shù)學(xué)能力，從而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此交流學(xué)生的表征，提高表征價(jià)值也需要數(shù)學(xué)教師不斷地思考。

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作者簡(jiǎn)介：

阮麗華，浙江省杭州市，杭州市袁浦小學(xué)。