大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教學(xué)探討

摘要：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革絕不僅僅是內(nèi)容體系、難易程度的改革，而是要通過這種改革提高學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界與素養(yǎng)。從這個(gè)意義上來說，將數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必要的。

關(guān)鍵詞：微積分;課堂教學(xué);數(shù)學(xué)思想

微積分是大學(xué)里很多專業(yè)的必修課。國內(nèi)使用最多的微積分教材是同濟(jì)大學(xué)主編的《高等數(shù)學(xué)》，該教材經(jīng)過若干次修訂，在內(nèi)容的深度與廣度方面都有所加強(qiáng)。該教材與西方教材存在著顯著的差別。以Steward的《微積分》為例，這套教材之所以獲得巨大成功，以致占領(lǐng)了北美大學(xué)微積分教材70%以上的市場，與該教材通俗易懂且具有濃郁的應(yīng)用色彩不無關(guān)系。然而，作為一本取得巨大成功的教材，為什么國內(nèi)很少采用它作為大學(xué)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教材？它有什么值得我們借鑒的地方？我國微積分教材以及微積分教學(xué)有什么可改進(jìn)之處？這正是本文要探討的問題。

一、教什么樣的數(shù)學(xué)

很多教師認(rèn)為，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，會(huì)計(jì)算導(dǎo)數(shù)與積分、能簡單地應(yīng)用它們解決問題就夠了，這種觀點(diǎn)深刻地反映在微積分課堂教學(xué)中。非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生該學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)？教師該教什么樣的數(shù)學(xué)？或者準(zhǔn)確點(diǎn)說，學(xué)生該如何學(xué)數(shù)學(xué)？教師該如何教數(shù)學(xué)？這涉及我們需要培養(yǎng)什么樣的大學(xué)生的問題。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)不僅反映在學(xué)生將來能將課堂上學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)依樣畫葫蘆地運(yùn)用到工作中，更重要的是能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法解決問題。對(duì)于創(chuàng)新型人才而言，最重要的能力不是掌握已經(jīng)被人熟知的數(shù)學(xué)應(yīng)用方法，而是發(fā)現(xiàn)未知的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的方法。如以下公式求解：

從這個(gè)意義上說，掌握數(shù)學(xué)的思想方法比掌握數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用更重要，前者屬于更高境界的數(shù)學(xué)。從這個(gè)意義上來看，Steward的《微積分》并不是無可挑剔，該書對(duì)于數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用的介紹可謂酣暢淋漓，但或許出于淺顯易懂的緣故，對(duì)于微積分內(nèi)在的思想與方法論的闡釋則稍嫌欠缺。該教材的內(nèi)容對(duì)于大多數(shù)非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生也許夠了，但對(duì)于相當(dāng)一部分希望將來在科學(xué)研究上有所造就的學(xué)生來說顯然有些膚淺。該教材的另一個(gè)弱點(diǎn)是內(nèi)容過于龐雜，很難在現(xiàn)有的課時(shí)內(nèi)完成全部內(nèi)容的教學(xué)。上述兩個(gè)原因或許正是我國大學(xué)很少采用該教材的原因，但瑕不掩瑜，它的確是一本難得的優(yōu)秀的微積分教材。我們需要教什么樣的數(shù)學(xué)？這個(gè)問題并不難回答，簡而言之：教有用的數(shù)學(xué)！問題在于什么是有用的數(shù)學(xué)？知識(shí)本身無所謂有用與無用。學(xué)習(xí)者會(huì)用，知識(shí)對(duì)于他就是有用的;學(xué)習(xí)者不會(huì)用，知識(shí)對(duì)于他就是無用的

二、微積分教材及教學(xué)可以做哪些改進(jìn)

中美教材相比各有千秋。我國的微積分教材理論性偏強(qiáng)，美國的教材實(shí)用性偏強(qiáng)。數(shù)學(xué)教育歷來有兩種不同的觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)是提倡數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)自身的理論，可以不必過多考慮應(yīng)用性。持這種觀點(diǎn)者的理論依據(jù)是：數(shù)學(xué)作為一門思維科學(xué)，它的教育功能是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，具有相當(dāng)廣泛的普適性。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)用性，尤其對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更應(yīng)如此。這種觀點(diǎn)的依據(jù)是：非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了用數(shù)學(xué)，他們只要知道怎么應(yīng)用數(shù)學(xué)就夠了。這兩種觀點(diǎn)都有失偏頗。就微積分而言，它產(chǎn)生于自然科學(xué)，然而處理問題的方式又是純數(shù)學(xué)化的，單純地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論或數(shù)學(xué)應(yīng)用都是片面的，應(yīng)該在尊重歷史的基礎(chǔ)上兩者兼顧。此外，數(shù)學(xué)的理論性與思想性是不同的概念，理論化程度高不表示思想性高。所以，微積分教材可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：

（1）強(qiáng)化思想性。微積分的思想不僅對(duì)于解決實(shí)際問題具有舉足輕重的意義（如在應(yīng)力分析中，往往局部地用切平面取代目標(biāo)曲面），它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響也是深遠(yuǎn)的。例如，局部“以直代曲”的思想不僅對(duì)于微分幾何、拓?fù)洚a(chǎn)生了重大影響（如切叢的概念、向量叢的概念都與此有關(guān)），也影響了代數(shù)（如李群的李代數(shù)、導(dǎo)子等）。教材與教師的課堂教學(xué)應(yīng)該充分展示微積分的這一精髓。

微分與積分的辯證思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的眾多分支中，也許是這種思想理論性較強(qiáng)的緣故，微積分教材通常避而不談。函數(shù)的連續(xù)性也蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，特別是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一般的高等數(shù)學(xué)教材只介紹結(jié)論，不講證明。筆者不主張?jiān)敿?xì)講解這些定理的證明，但閉區(qū)間所反映出的重要思想應(yīng)該對(duì)學(xué)生有所交代，況且這一思想并不難理解。

（2）適當(dāng)強(qiáng)化應(yīng)用性。在這個(gè)方面，Steward的《微積分》是一個(gè)很好的范本。這或許是它獲得成功的一個(gè)主要因素，它從一個(gè)方面說明應(yīng)用性是多么受歡迎。強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，并不意味著弱化教材的思想性，而是微積分思想在自然科學(xué)與社會(huì)實(shí)際問題中的延伸。如果能借鑒Steward編寫方式，適當(dāng)將微積分在自然科學(xué)中的各種應(yīng)用貫穿于教材的始終，不僅可以增加教材的趣味性與可讀性，也可以為讀者運(yùn)用微積分提供一些范例與練習(xí)的機(jī)會(huì)。

（3）強(qiáng)化現(xiàn)代化技術(shù)的運(yùn)用。微積分涉及許多計(jì)算，適當(dāng)介紹一些數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)機(jī)械化方法不無益處。例如，在運(yùn)用連續(xù)函數(shù)介值定理求方程根時(shí)，完全可以引入機(jī)械化方法，因?yàn)榍蠓匠谈^程本身就是一個(gè)程式化過程。又如，牛頓切線法也是一個(gè)程式化過程，通過這兩種求根方法的機(jī)械化過程，還可以直觀比較二分法與牛頓切線法運(yùn)用于具有凹凸性的單調(diào)函數(shù)時(shí)的優(yōu)劣。在微積分教學(xué)中，最困難的計(jì)算非積分莫屬，然而借助數(shù)學(xué)軟件計(jì)算積分已經(jīng)不是難事。所以，微積分教材完全沒有必要在積分計(jì)算環(huán)節(jié)花費(fèi)太多的篇幅，教師的課堂教學(xué)似乎也沒有必要過分強(qiáng)調(diào)積分技巧的訓(xùn)練，適當(dāng)介紹基本的積分方法就可以了。

三、學(xué)生是否需要掌握嚴(yán)格的極限語言

很多微積分教材都不介紹極限的δ-ε語言，這可能緣于該語言有些抽象，比較難以掌握。很多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在學(xué)完δ-ε語言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的內(nèi)涵。國內(nèi)外要求較高的微積分教材（如同濟(jì)大學(xué)編寫的《高等數(shù)學(xué)》）有所介紹，但僅限于初步了解。那么，作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生有沒有必要了解甚至掌握極限的δ-ε語言？要說清楚這個(gè)問題，首先需要弄清楚極限的δ-ε語言在微積分中發(fā)揮的作用。的確，直觀的極限概念并不難理解，學(xué)生不學(xué)習(xí)極限的δ-ε語言對(duì)于計(jì)算導(dǎo)數(shù)、積分并不會(huì)帶來太大的影響，也不妨礙對(duì)微積分概念的理解。然而，直觀的極限描述并非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言，它無法參與數(shù)學(xué)論證，δ-ε語言是微積分的基本語言，說一個(gè)不懂δ-ε語言的人懂微積分是不可想象的。當(dāng)年牛頓之所以遭到貝克萊大主教的質(zhì)疑并引發(fā)歷史上著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，正是因?yàn)槲⒎e分缺少一個(gè)嚴(yán)格的科學(xué)語言，人們以形式邏輯來理解微積分從而導(dǎo)致危機(jī)的產(chǎn)生，直到柯西將極限概念嚴(yán)格化，也就是用今天所說的δ-ε語言定義極限，才使得爭論煙消云散。由此可見δ-ε語言對(duì)于微積分的重要性。δ-ε語言的確有一定的抽象性，但不能因?yàn)槌橄缶捅芏徽?。事?shí)上，只要方式得當(dāng)，學(xué)生并非不能掌握δ-ε語言。這種語言的基本思想即使在日常生活中也是常見的它現(xiàn)實(shí)的模型就是在一定精度范圍內(nèi)的誤差估計(jì)。例如要制造一個(gè)給定體積的球形產(chǎn)品，使得體積誤差不能超過一定的范圍，工人如何判斷誤差有沒有超過給定的精度？顯然是通過卡尺測量球的直徑，只要直徑的誤差在適當(dāng)范圍內(nèi)，就能保證體積的誤差在給定的誤差范圍內(nèi)。如果從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)逐步引入δ-ε語言，而不是簡單地給出一連串的數(shù)值檢驗(yàn)，學(xué)生是不難理解這種特殊的語言的。即使是一個(gè)基礎(chǔ)一般的普通學(xué)生，也不難理解生活中的這類誤差估計(jì)，問題在于當(dāng)教師從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)概括抽象出嚴(yán)格的δ-ε語言時(shí)，學(xué)生往往很難逾越從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)的抽象障礙。但只要從實(shí)際的問題情景出發(fā)，讓學(xué)生逐步感知、概括，最終是不難抽象出δ-ε語言的。不過作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生，確實(shí)沒有必要作過多的極限證明，掌握δ-ε語言的本質(zhì)就足夠。

四、結(jié)語

本文闡述了非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)教材以及課堂教學(xué)應(yīng)該注意的一些問題，指出非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教學(xué)同樣需要體現(xiàn)其思想性，探討了如何在數(shù)學(xué)的理論性與實(shí)用性之間找到平衡。文章認(rèn)為，將數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必要的。

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安建宇 2000年5月 男 ? ? 族別：漢族 新疆省哈密市 大連大學(xué)