結(jié)構(gòu)化視角下“集合問題”的教學(xué)思考與實踐

李國良

【摘 要】眾所周知，小學(xué)數(shù)學(xué)的知識是有結(jié)構(gòu)的，學(xué)生的認(rèn)知也是有結(jié)構(gòu)的。教師需要站在學(xué)生的角度幫助其形成知識“串”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整體化，最終使他們得到的不僅是數(shù)學(xué)“知識鏈”，更多的是數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)能力的提升，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)思想與方法。筆者試著通過對“集合問題”知識點的分析、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查來整體設(shè)計與架構(gòu)，實施有結(jié)構(gòu)化的集合問題的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化 集合 思考

結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為事物是一個復(fù)雜的整體，任何一個組成部分都處于整體的關(guān)系網(wǎng)內(nèi)。怎樣運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維來構(gòu)建課堂，發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力，筆者對“集合問題”一課進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)嘗試。

一、分析教材內(nèi)容，明確集合問題的前世今生

所謂集合就是把指定具有某種性質(zhì)的事物看作一個整體，每一個事物稱為集合的元素。集合作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，能簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，是最基本的思想方法，它在小學(xué)數(shù)學(xué)的四個領(lǐng)域里均有涉及與運(yùn)用。

1.尋找集合知識的延伸點

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透的集合主要有并集（A∪B）、交集（A∩B）、子集（A∈B）。根據(jù)不同集合中元素的特征把集合之間的關(guān)系表述為并列關(guān)系（無共同元素）、重疊關(guān)系（有部分共同元素）和包含關(guān)系（一個集合的元素包含另一個集合的元素）。

在一年級新入學(xué)的準(zhǔn)備課中，把3張凳子、4個垃圾桶用封閉的曲線圍起來，直觀地表示數(shù)的概念，這是早期集合思想的滲透。教材中第一次出現(xiàn)集合圈是在一年級下冊“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”單元中，要求把12個數(shù)按照個位上是5或0分別進(jìn)行分類（如圖1），也就是組成兩個集合，這兩個集合是12個數(shù)集合的子集，這些數(shù)是互斥的，存在著并列關(guān)系。三年級上冊“長方形與正方形”單元，在研究長方形與正方形的特征后總結(jié)：正方形是特殊的長方形，用圖表示就是長方形里包含了正方形（如圖2）。在學(xué)習(xí)“集合”單元知識后，用集合圈來表征數(shù)與數(shù)、圖形與圖形等關(guān)系的知識點明顯增加，如四邊形的分類，三角形的分類，長方體、正方體的關(guān)系，公因數(shù)、公倍數(shù)，角的分類，數(shù)的分類，等等。其中四邊形的分類較為復(fù)雜（如圖3），平行四邊形和梯形分別是四邊形的子集，長方形、正方形又是平行四邊形的子集，有包含關(guān)系，平行四邊形與梯形在整個四邊形集合里沒有包含關(guān)系，按并列方式存在。

通過對教材的簡單梳理后需思考三個問題：一是在一、二年級用集合來表示分類、關(guān)系時，不存在包含關(guān)系，它們的關(guān)系容易理解，教師可以適當(dāng)?shù)貪B透集合的思想;二是三年級研究正方形是特殊的長方形時，這種關(guān)系理解起來容易，但學(xué)生無法用集合圈來表示它們之間的關(guān)系，其探究過程比重疊問題來得更難;三是從三年級的集合問題直接過渡到四年級的四邊形分類缺少必要的知識鋪墊，學(xué)生很難真正懂得其中的關(guān)系。因此，在教學(xué)集合問題時有必要對集合問題進(jìn)行系統(tǒng)的研究，使集合問題在學(xué)生的大腦中建構(gòu)起結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò)。

2.剖析集合單元的知識點

“集合”作為數(shù)學(xué)廣角單元的唯一知識點，由1個例題和8個習(xí)題組成。例題中呈現(xiàn)了跳繩和踢毽子比賽名單有重復(fù)的統(tǒng)計表，通過學(xué)生自主觀察、動手表征等方法讓人一眼就看出參加兩項比賽的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)用集合圈（維恩圖）的形式最直觀，隨后認(rèn)識各部分名稱并通過計算來求出人數(shù)。習(xí)題中的7道題目按例題的模型進(jìn)行編排，只是形式上有所變化，但最后一題有明顯的不同（如圖4），出現(xiàn)了包含關(guān)系（子集），解決這一問題需要從眾多的信息中提取并甄別來進(jìn)行集合圈的表示和解答。

筆者認(rèn)為，單元的最后一道練習(xí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣故强尚械?，它可以提升學(xué)生的發(fā)展能力。但這一題目的呈現(xiàn)有兩個問題值得商榷：一是與先前一直用共同的元素來表征題目的意思并進(jìn)行計算有明顯的區(qū)別，造成了思維的斷層;二是題目中直接呈現(xiàn)了包含關(guān)系的集合圖，學(xué)生缺少對知識的探究過程，難以理解其本質(zhì)內(nèi)涵。因此，我們覺得，在新課的研究過程中結(jié)合交集（有共同元素）的知識點滲透空集與子集思想，讓學(xué)生完整建構(gòu)起小學(xué)中常見的集合圖，能為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形的分類、數(shù)的分類打下基礎(chǔ)。

二、調(diào)查學(xué)生基礎(chǔ)，把握集合問題的認(rèn)知起點

1.調(diào)查方法與對象

為使調(diào)查具有一定的真實性與可靠性，筆者采取了無記名、不暗示的形式進(jìn)行書面問卷調(diào)查，選定了城區(qū)和鎮(zhèn)屬三所學(xué)校各2個班的學(xué)生，每道題目均在5分鐘內(nèi)完成。

2.調(diào)查內(nèi)容與結(jié)果分析

筆者設(shè)計了不同維度的3道題目，每一項調(diào)查內(nèi)容由2個班級的學(xué)生完成測試。

調(diào)查一：統(tǒng)計表轉(zhuǎn)化成維恩圖的能力

出示一張統(tǒng)計表（如圖5），組織學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計表的信息填入維恩圖中，表示出各部分的名稱，主要是調(diào)查學(xué)生對維恩圖各部分意義的了解情況。梳理后發(fā)現(xiàn)，完全正確的占63.2%，把6個學(xué)生名單正確地填入集合圈的占84.1%，其中典型錯誤主要是無法寫出只參加跳繩和只參加跑步的兩個集合的名稱，占了21.0%。

調(diào)查二：對維恩圖的理解程度

給定維恩圖并標(biāo)注出部分信息（如圖6），讓學(xué)生通過集合圖說出每一部分所表示的意思，主要是了解學(xué)生能否讀懂、理解維恩圖。統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，有50.6%的學(xué)生能正確地回答，92.1%的學(xué)生能正確填寫跳繩和跑步的人數(shù)，其中有3個學(xué)生直接寫5人和4人，有2個學(xué)生列出3+2與2+2。但在描述只參加跳繩和只參加跑步的兩個空格中，錯誤率反而高于調(diào)查一，占40.8%。

調(diào)查三：表征維恩圖的水平層次

此問卷與調(diào)查一有相似之處，但更加開放，結(jié)合教材的內(nèi)容給出統(tǒng)計表，設(shè)置3道思考性問題，主要了解學(xué)生讀取信息的能力和用怎樣的方法來表征統(tǒng)計表中信息。（如圖7）

問題一：在計算參加跳繩與跑步的總?cè)藬?shù)中，正確率是64.6%，其中有44.3%的學(xué)生用5+3-2=6人來計算，錯誤中出現(xiàn)最多的是5+3=8人，占20.3%。

問題二： 86.1%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)小明和小麗重復(fù)參加了兩項比賽，其中26.6%的學(xué)生表達(dá)不到位，如：有一些人既跳繩又跑步，有人重復(fù)了，等等;有11.4%的學(xué)生在比較跳繩與跑步之間的人數(shù)差異。

問題三：統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，用維恩圖表示的有49人，占62.0%，其中33人正確，16人錯誤，在正確的表征中有6人直接用數(shù)量來解釋;10人用表格的方式來解釋題意，占12.7%;在38.0%的錯誤中有22.8%的學(xué)生空白或沒有完成，10.1%的學(xué)生各部分?jǐn)?shù)量表示錯誤。

從上述三個問題中，可以發(fā)現(xiàn)：一是約有60%的學(xué)生初步了解并掌握了一些維恩圖的知識，能正確地把統(tǒng)計表中的信息轉(zhuǎn)化為維恩圖，并能解釋各部分的意義，說明他們已經(jīng)具備了一定的語言轉(zhuǎn)譯能力，讓各部分的概念變得更為直觀與清晰，同時，也基本具備了對隱性邏輯關(guān)系顯性化的表達(dá)，初步掌握了參加某項的人數(shù)與只參加一項的人數(shù)和兩項都參加人數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別;二是這3份問卷調(diào)查中，不管是哪個區(qū)域的學(xué)生都有近30%的人數(shù)對只參加一個項目的集合意義理解不夠，無法正確把握哪部分是參加一個項目，哪部分是只參加一個項目;三是這3類學(xué)生中，對交集部分的理解比較到位，明白他們是重復(fù)參加的人員。

筆者認(rèn)為，通過對集合問題認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查給教學(xué)提供了思路：一是可以大膽借助大部分學(xué)生能建構(gòu)起維恩圖的基礎(chǔ)，直接從統(tǒng)計表過渡到對維恩圖的理解;二是在理解維恩圖各部分意義的基礎(chǔ)上，與算式的多樣化進(jìn)行有機(jī)融合;三是拓展對交集部分（重疊元素）的理解，部分元素重疊，沒有元素重疊，一個集合圈內(nèi)的全部元素重疊，架構(gòu)起集合問題的結(jié)構(gòu)化知識體系。

三、開展教學(xué)實踐，架構(gòu)集合問題的整體意識

根據(jù)對教材的系統(tǒng)分析和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的全面調(diào)查，筆者在整體思路的構(gòu)建下開展了教學(xué)實踐與研究。

1.在自主表征中把握維恩圖的本質(zhì)意義

數(shù)學(xué)中的問題情境多以文字、表格、圖示等形式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生從情境中收集、甄別信息，從而處理信息顯得尤為重要。課始，出示兩張統(tǒng)計表（如表1、表2）并設(shè)問：這兩個班級分別有多少人參加比賽？通過觀察，發(fā)現(xiàn)兩個班級有個顯著區(qū)別：三（2）班有重復(fù)的人數(shù)。接著，組織學(xué)生用自己喜歡的方式來表征三（2）班參加比賽的情況：有什么好的方法讓別人一眼就能知道三（2）班參加比賽的情況和人數(shù)？根據(jù)學(xué)生的表征情況（如圖8）進(jìn)行討論，分別說說表示的意思。

生1：小明和小麗分別參加了兩個項目，寫在表格中間，而小張、小紅、小芳只參加了跳繩比賽，小王只參加了跑步比賽，一共有6個人。

生2：我用兩個圈來表示，兩個人都參加的寫在中間，小張、小紅、小芳只參加跳繩的和小王只參加跑步的寫在兩邊，一共有6個人。

隨后，組織討論：哪種方式能比較清楚、直觀地表現(xiàn)三（2）班參加比賽的情況？顯然學(xué)生把目光聚焦到維恩圖上，認(rèn)為這個圖既方便又簡潔，還直觀。接著，討論集合圈中每一部分的意義并結(jié)合算式進(jìn)一步鞏固意義，同時用統(tǒng)計表中的表述方法與維恩圖進(jìn)行關(guān)聯(lián)，明確它們之間的相同之處。

筆者覺得，教學(xué)時從認(rèn)知沖突入手有利于把問題集中到重復(fù)部分（共同元素），在充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過自主表征、討論，歸納出維恩圖能把共同元素清楚地表示出來，結(jié)合計算又感受到算式與圖示的另一種表征與轉(zhuǎn)換方式。通過這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生初步體會到集合的含義及集合的運(yùn)算，學(xué)會用集合思想方法解決簡單的實際問題。

2.在合作對比中建構(gòu)維恩圖的變化情況

在初步了解維恩圖的含義后，要深入掌握集合思想、結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)集合知識需要更多素材支撐。

接著，出示三（1）班和三（3）班參加比賽情況的統(tǒng)計表（如表1、表3），組織學(xué)生仔細(xì)觀察并用維恩圖來表征（男女生分別完成一項），針對表征情況選擇有代表性的作品（如圖9、圖10）進(jìn)行討論。

師：大家能看懂嗎（圖9、圖10）？為什么這樣來表示呢？

生3：因為三（1）班參加跳繩與跑步比賽的人沒有重復(fù)，所以重復(fù)部分是0人，跳繩比賽有4人參加，跑步比賽有3人參加，一共7人參加。

生4：三（1）班參加跑步與跳繩比賽的人沒有重復(fù)，他們之間沒有關(guān)系，可以分成兩個集合，一個是跳繩比賽的集合，一個是跑步比賽的結(jié)合，一共7人參加。

師：這兩種表示方式有聯(lián)系嗎？

生5：有聯(lián)系的，因為第一種表示方法沒有重復(fù)的是0個，而第二種表示方法沒有重復(fù)的也是0個。

生6：這兩種方法都表示參加跳繩和跑步比賽的人沒有重復(fù)。

師（小結(jié)）：把第一種表示方法中重復(fù)部分0人慢慢擦去，就變成了第二種表示方法，這兩種表示方法的意思是相通的，都沒有重復(fù)部分，卻是不同的表征方式。

師：三（3）班這樣的表示方法（如圖11、圖12），能看懂嗎？它們分別表示什么意思？

生7：參加跑步的3個人都參加了跳繩比賽，只參加跑步的人沒有，就是0。

生8：參加跳繩比賽的人包含了參加跑步的3人，而小海和小陳只參加了跳繩比賽。

師：看著這個圖（如圖12），你想到了什么？

生9：想到了長方形與正方形的關(guān)系，正方形是特殊的長方形。

師：那這個特殊在哪里呢？

生10：小萍、小鐘、小高是特殊的，他們既參加了跳繩又參加了跑步比賽，沒有人只參加跑步的。

……

隨后，組織學(xué)生研究圖8、圖9、圖10、圖11、圖12的聯(lián)系和區(qū)別。經(jīng)過討論，大家一致認(rèn)為參加跳繩和跑步的人數(shù)都可以用集合圖來表示，但集合圈因重疊部分的數(shù)量和參加項目的不同，它們表征的形式有所差異，關(guān)系也不一樣。

筆者認(rèn)為，在理解維恩圖各部分名稱、意義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用共同元素的變化情況，把小學(xué)所涉及的集合知識點進(jìn)行整體的滲透，不僅拓展了集合的意義，使學(xué)生感悟到集合元素的互異性和無序性，而且使集合的知識呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，從并列關(guān)系到重疊關(guān)系再到包含關(guān)系，讓學(xué)生在大腦中完整地建構(gòu)起三個集合圖，能為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.在前后聯(lián)系中認(rèn)識集合圖的廣泛應(yīng)用

眾所周知，一、二年級一直滲透著集合思想，教學(xué)時呈現(xiàn)已涉及集合知識點的內(nèi)容，可調(diào)動學(xué)生的經(jīng)驗，幫助其加深對集合意義的理解。

教學(xué)最后，出示教材中的兩個重疊問題，組織學(xué)生用集合圖來表征，討論每部分所表示的意義及數(shù)量，并思考與所學(xué)知識的聯(lián)系。我們認(rèn)為，學(xué)生對集合有了整體的建構(gòu)后，教師需適當(dāng)安排練習(xí)進(jìn)行鞏固，便于正確把握教材的核心思想，這樣的練習(xí)能讓學(xué)生進(jìn)一步明白重復(fù)部分的量就是交集、求總數(shù)就是并集的思想，促使他們向更深層次開展學(xué)習(xí)，提升表征知識和反思思維的能力。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。因此，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維對“集合問題”進(jìn)行整體設(shè)計正是對這一理念的詮釋，它能讓學(xué)生全方位、多角度、立體化地分析與思考這類問題，強(qiáng)化集合中各部分之間的關(guān)系與特定的意義，真正建立起有效的知識系統(tǒng)。