基于多元表征深化小學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的策略

鄭琳

【摘要】本文論述深化小學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的教學(xué)策略：以動(dòng)作表征引入數(shù)學(xué)概念、以圖像表征探究概念、以符號(hào)表征確認(rèn)概念、以綜合表征內(nèi)化概念，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】多元表征小學(xué)數(shù)學(xué)概念理解 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）41-0125-02

數(shù)學(xué)概念是指客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系及空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，通常由名稱、例證、特征和定義四個(gè)部分組成。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中包含諸多數(shù)學(xué)概念，正確理解并掌握這些數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。學(xué)生數(shù)學(xué)概念的獲得，通常是動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征三種不同思維活動(dòng)相互作用的結(jié)果，表現(xiàn)為以線性方式從動(dòng)作表征到圖像表征，再通過抽象思維形成符號(hào)表征。教師在教學(xué)中靈活運(yùn)用多種表征方式，能夠幫助學(xué)生在抽象概念和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間建立更為緊密的聯(lián)系，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)概念。本文基于多元表征論述小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略，以期深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、以動(dòng)作表征引入數(shù)學(xué)概念

動(dòng)作表征是利用動(dòng)作反應(yīng)來描述數(shù)學(xué)概念的表征類型。在教學(xué)中，考慮到小學(xué)生的思維方式以直觀形象思維為主，教師可以使用直觀的動(dòng)態(tài)操作對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行塑造和演示，一方面增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的形象性，讓學(xué)生在觀看或?qū)嵺`操作過程中迅速感知、體會(huì)蘊(yùn)含于動(dòng)作或?qū)嵨镏械臄?shù)學(xué)概念，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解；另一方面操作的直觀性，能夠給學(xué)生樹立正確的范例，使其在學(xué)習(xí)過程中通過模仿操作，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)線段》一課時(shí)，課前筆者讓學(xué)生各自準(zhǔn)備一根繩子。課中，筆者先出示一個(gè)繞著細(xì)繩的線軸，拉住細(xì)繩的一頭，讓線軸從手中落下，展示線軸落下將細(xì)繩拉直并形成一條直線的過程。然后讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的繩子隨意放在桌子上，并觀察繩子的形狀，對(duì)比其與線軸垂直細(xì)繩之間的區(qū)別。學(xué)生經(jīng)過觀察表示，自己隨意擺放在桌面上的繩子是彎曲的，跟線軸垂直細(xì)繩相比不夠筆直。于是筆者提問：“如何將自己的繩子變直？”學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)迅速回答“用手拉直”，然后嘗試操作驗(yàn)證。最后筆者總結(jié)線段的描述性定義：當(dāng)把繩子拉直時(shí)，兩只手之間的那段繩子便可以視為線段。為進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)線段定義的理解，筆者分別拉直一根繩子的一部分，或者按住繩子的一頭，向不同方向拉直繩子，讓學(xué)生判斷此時(shí)繩子的哪一部分可以定義為線段，并指出該線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

在本次教學(xué)中，筆者充分利用動(dòng)作進(jìn)行線段定義的表征，如用線軸的下落動(dòng)作生動(dòng)演示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成線的過程，讓學(xué)生通過拉直繩子操作確認(rèn)“線段是直的”這一特征；設(shè)計(jì)“判斷繩子哪一部分屬于線段”這一活動(dòng)，目的是幫助學(xué)生理解線段有始有終、有限長(zhǎng)度、可以測(cè)量等本質(zhì)特征。在一系列引導(dǎo)和操作實(shí)踐中，學(xué)生逐漸明晰動(dòng)作表征與概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成對(duì)線段的直觀印象，初步認(rèn)識(shí)線段的外部特征，以及掌握線段的概念。

二、以圖像表征探究概念

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不應(yīng)止步于具體實(shí)物或者直觀動(dòng)作，而要逐漸轉(zhuǎn)向抽象化，一步步靠近數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。但小學(xué)生受認(rèn)知水平和思維方式局限，無法直接實(shí)現(xiàn)這一要求，教師可以從實(shí)物或動(dòng)作中抽象出較為形象的圖形、形狀等，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察具體的圖像信息，再將這些圖像轉(zhuǎn)化為某些數(shù)學(xué)思想的表征，就形成了圖像表征。

例如，教學(xué)《認(rèn)識(shí)線段》一課，當(dāng)學(xué)生初步了解線段的概念后，筆者讓學(xué)生想一想線段如何表示，多數(shù)學(xué)生立刻用手捏住自己提前準(zhǔn)備好的繩子，將其拉直。這表明，學(xué)生的思維仍停留在動(dòng)作表征的階段。接下來，筆者循循善誘：“除了用拉直繩子的動(dòng)作表示，還有其他的方法嗎？”學(xué)生一時(shí)有些為難，思考了一會(huì)后，陸續(xù)有學(xué)生提出：“可以在紙上畫出來?！惫P者馬上鼓勵(lì)他們?cè)囈辉嚕蟛糠謱W(xué)生都能畫出筆直的直線，但真正畫出合格的線段只有寥寥幾個(gè)。原因在哪里呢？原來許多學(xué)生在畫直線表示線段時(shí)，忘記標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)。當(dāng)筆者揭示這一答案時(shí)，學(xué)生恍然大悟：原來直線不是線段，線段必須有起點(diǎn)和終點(diǎn)。明確這一概念后，筆者又向?qū)W生展示一張折疊過一次的白紙，令其思考這道折痕是否可以稱為線段。學(xué)生思考后認(rèn)為這道折痕屬于線段，因?yàn)樗侵钡?，且白紙明確的兩端可以視為起點(diǎn)和終點(diǎn)。通過以手拉直繩子的具體實(shí)物，到用簡(jiǎn)筆畫表示線段，再到?jīng)]有兩端標(biāo)記的折痕線段，筆者一步步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)線段的概念進(jìn)行探究分析，將其逐步抽象處理，讓學(xué)生能夠深入理解線段各部分的名稱、特征和作用，從動(dòng)作表征逐漸過渡到圖像表征，構(gòu)筑起線段的圖像模型，深刻理解線段的本質(zhì)屬性。

教師利用圖像表征還可以反其道而行之，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生日常生活中熟悉的事物，讓學(xué)生通過直觀表象迅速理解概念。例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義》一課時(shí)，為幫助學(xué)生理解“把一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)物體平均分為若干份，取其中一份或幾份，可以用分?jǐn)?shù)表示”這一概念，筆者先利用課件展示了一張披薩，將“單位1”這一概念圖像化和生活化；然后再用動(dòng)畫演示“切成平均的10片”的過程，將分母的概念形象化；最后在動(dòng)畫中用“抽出其中一片”來演示分子的概念，使認(rèn)知過程具備了動(dòng)態(tài)的視覺化形象，這種變抽象為具象的圖像表征，降低了學(xué)生認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)單位和意義”的難度，能讓學(xué)生更好地掌握分?jǐn)?shù)的概念。

三、以符號(hào)表征確認(rèn)概念

通過動(dòng)作表征和圖像表征獲得的概念往往停留在表象層面，學(xué)生能夠熟練說出概念的內(nèi)容，卻無法運(yùn)用概念闡釋更多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和實(shí)例。因此，進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師需抓住概念的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分析那些具有特例性質(zhì)的表象，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的邏輯規(guī)則，并將其概括成普適性的抽象概念，再用更簡(jiǎn)潔的符號(hào)化模型來表述，形成符號(hào)思維，建立符號(hào)表征模式，最終確認(rèn)數(shù)學(xué)概念。

例如，完成人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)》一課中長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算教學(xué)后，針對(duì)正方形周長(zhǎng)計(jì)算這一內(nèi)容，筆者沒有直接給學(xué)生講解做法、展示公式，而是先展示一個(gè)長(zhǎng)為20厘米、寬為10厘米的長(zhǎng)方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對(duì)比圖像，回憶長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的概念，然后鼓勵(lì)他們想一想、試一試正方形的周長(zhǎng)怎樣計(jì)算。部分學(xué)生根據(jù)自己的理解直接將正方形四條邊的邊長(zhǎng)相加，算式為：10+10+10+10＝40。這一算法表明學(xué)生理解了正方形周長(zhǎng)的概念，但并未真正理解正方形作為一種特殊圖形所具有的獨(dú)特特征；部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了正方形相鄰兩邊相等的特征，因此列出算式：（10+10）×2＝40，這一算法表明學(xué)生雖然發(fā)現(xiàn)了正方形的圖形特征，但受長(zhǎng)方形周長(zhǎng)算法的影響，采用了“相鄰兩邊相加×2”的計(jì)算方式，忽略了兩種算法之間的邏輯規(guī)則，未能實(shí)現(xiàn)正方形周長(zhǎng)概念的確認(rèn)。在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生認(rèn)真觀察正方形每條邊的邊長(zhǎng)。得到點(diǎn)撥后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形“四條邊相等”的特征，進(jìn)而給出計(jì)算方案：10×4＝40，這一算法體現(xiàn)學(xué)生能夠結(jié)合長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算方法和乘法的意義，明確正方形周長(zhǎng)可以通過“邊長(zhǎng)×4”求出。確立計(jì)算模型后，筆者將文字抽象成數(shù)學(xué)符號(hào)，解釋正方形的邊長(zhǎng)可以用字母a表示，周長(zhǎng)則用字母C表示，正方形周長(zhǎng)公式可寫作C=4a，確認(rèn)了正方形周長(zhǎng)計(jì)算公式。

一般而言，符號(hào)是建立在理解的基礎(chǔ)上抽象而成的，理解的程度越深刻，符號(hào)表征便表現(xiàn)得越簡(jiǎn)潔清晰。教師在指導(dǎo)學(xué)生理解概念時(shí)，應(yīng)當(dāng)確保學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、由表象到內(nèi)涵、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過程，最后才形成抽象的概念。

四、以綜合表征內(nèi)化概念

當(dāng)學(xué)生歷經(jīng)動(dòng)作表征、圖像表征及符號(hào)表征之后，通常已經(jīng)能夠從數(shù)學(xué)的角度形成對(duì)概念的理解，此時(shí)教師需要靈活運(yùn)用三種思維方式幫助學(xué)生進(jìn)一步理解并內(nèi)化概念，以達(dá)到鞏固知識(shí)的目的。

例如，在完成了《認(rèn)識(shí)線段》一課的學(xué)習(xí)后，筆者設(shè)計(jì)了若干變式練習(xí)，展示幾組長(zhǎng)短不一、方向不同、或彎或直的圖形，讓學(xué)生識(shí)別和分類，要求將線段歸為一組，將非線段歸為一組。學(xué)生通過識(shí)別線段的操作，總結(jié)出線段的屬性與其方向和長(zhǎng)度無關(guān)，從排除非線段的操作發(fā)現(xiàn)線段的本質(zhì)特征與端點(diǎn)個(gè)數(shù)及圖形的形狀有關(guān)，進(jìn)一步理解線段外顯的可變性與內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不變性，鞏固了對(duì)線段概念的認(rèn)知。隨后，筆者再舉出三角形、長(zhǎng)方形、梯形、五邊形等圖形，讓學(xué)生數(shù)出其中包含的線段數(shù)量。學(xué)生進(jìn)行了確定端點(diǎn)、拆分多邊形的實(shí)踐活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)相同的線段數(shù)量能夠組成不同的圖形，不同的圖形可能是由相等數(shù)量的線段組成。這樣的發(fā)現(xiàn)也是對(duì)線段概念的進(jìn)一步鞏固，能將原本孤立的線段與圖形知識(shí)建立內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生自主構(gòu)筑幾何圖形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。筆者在上述的同一個(gè)教學(xué)活動(dòng)綜合運(yùn)用了動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征，其目的在于平衡三種表征之間的側(cè)重點(diǎn)及呈現(xiàn)順序，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中突出某一種表征而弱化其它表征的情況，幫助學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，以更好地掌握所學(xué)數(shù)學(xué)概念。

綜上所述，基于多元表征進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)作表征、圖像表征及符號(hào)表征過程，且注意各表征之間相互遞進(jìn)、彼此關(guān)聯(lián)的關(guān)系，使學(xué)生的思維從具象化、表象化逐步轉(zhuǎn)向抽象化，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解獲得不斷深化。

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【作者簡(jiǎn)介】鄭 琳（1974—），女，漢族，廣西玉林人，二級(jí)教師，現(xiàn)就職于玉林市福綿區(qū)新橋鎮(zhèn)中心小學(xué)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編黃健清）