經(jīng)歷探究過(guò)程 感悟數(shù)學(xué)思想

劉小艷

【摘要】本文結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例，闡述通過(guò)探究倍量關(guān)系感悟數(shù)形的魅力，尋找等量關(guān)系感悟轉(zhuǎn)化的便捷，把脈內(nèi)在關(guān)系感悟函數(shù)的神奇的策略，引導(dǎo)學(xué)生在探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法探究教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）41-0118-02

引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)知識(shí)的探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)的同時(shí)，受到數(shù)學(xué)思想的熏陶，是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的方向和趨勢(shì)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)智慧謀劃，轉(zhuǎn)變觀念，改進(jìn)教學(xué)，不僅要關(guān)注教材的編寫(xiě)、知識(shí)架構(gòu)等要素，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的知識(shí)水平、經(jīng)驗(yàn)積累和數(shù)學(xué)思維狀態(tài)等情況，科學(xué)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生參與、思考、合作、分享、質(zhì)疑、爭(zhēng)辯的學(xué)習(xí)情境，促使學(xué)生更積極、快樂(lè)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)教學(xué)朝著新課標(biāo)所要求的方向和更適合學(xué)生的方向邁進(jìn)。

一、探究倍量關(guān)系，感悟數(shù)形的魅力

數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)于小學(xué)生研究較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題大有益處，很多時(shí)候能起到事半功倍的效果。如在解決倍量關(guān)系等較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，教師就可以有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，一方面引導(dǎo)學(xué)生用直觀、形象的線段圖或長(zhǎng)方形圖、圓圈圖等，表示數(shù)量以及數(shù)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生在畫(huà)圖過(guò)程中較好地感知倍量關(guān)系，明晰數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面通過(guò)直觀圖指導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從中探尋問(wèn)題的突破點(diǎn)，使各種數(shù)量關(guān)系清晰化、明朗化。隨著問(wèn)題研究的深入，學(xué)生的思維得以發(fā)展，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有所擴(kuò)充和積累。

例如，四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到以下問(wèn)題：琳琳家有一籃子桔子，第一天吃了總個(gè)數(shù)的一半少3個(gè)，第二天吃了余下的一半少2個(gè)，第三天吃了6個(gè)，發(fā)現(xiàn)籃子里一個(gè)桔子也沒(méi)有了。問(wèn)琳琳家原來(lái)一共有多少個(gè)桔子？

看到問(wèn)題后，很多學(xué)生直呼“太難了”。的確，對(duì)于小學(xué)四年級(jí)學(xué)生而言，要解讀清楚如此復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，難度比較大。此時(shí)，教師要化繁為簡(jiǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用最直觀的線段圖來(lái)描繪習(xí)題中的各種數(shù)量關(guān)系（如圖1所示），于是，原本錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系一下子就簡(jiǎn)單明晰了。

很快，學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中便梳理好了題目中的數(shù)量關(guān)系：第3天6個(gè)（曲線部分），它超過(guò)余下一半2個(gè)，那么余下的一半就是6-2=4（個(gè)），發(fā)現(xiàn)余下的則是4+4=8（個(gè)），或4×2=8（個(gè)），這8個(gè)桔子不是總數(shù)的一半，它還包含超過(guò)總數(shù)一半3個(gè)，所以總數(shù)的一半是8-3=5（個(gè)），再算出總數(shù)就是5×2=10（個(gè)）。

教師通過(guò)畫(huà)線段圖的方式引導(dǎo)學(xué)生厘清習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系，成為解決復(fù)雜倍量關(guān)系問(wèn)題的關(guān)鍵所在。由此看來(lái)，小小的線段圖可謂蘊(yùn)含著莫大的學(xué)問(wèn)。這就需要教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生去分析倍量關(guān)系，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的解題圖。借助解題圖學(xué)生能更精準(zhǔn)地厘清數(shù)量關(guān)系，從而助推學(xué)習(xí)走向深入，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中感知數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢(shì)，逐步提高分析問(wèn)題的能力，從而有效提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、尋找等量關(guān)系，感悟轉(zhuǎn)化的便捷

等量關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的關(guān)系之一，它揭示了數(shù)量之間的相等關(guān)系，這也為學(xué)生更科學(xué)地分析數(shù)量關(guān)系、解決問(wèn)題提供了有力的依據(jù)。為此，教師要靈活設(shè)計(jì)問(wèn)題，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去分析和思考問(wèn)題，讓他們?cè)诶迩宓攘筷P(guān)系的過(guò)程中，跳出思維的局限，較好地解決問(wèn)題，并逐漸受到數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的熏陶，感知該方法的便捷優(yōu)勢(shì)。

例如，在四年級(jí)“升和毫升”的練習(xí)課中，有這樣一道有趣的習(xí)題：李明明把800毫升的果汁，倒入2個(gè)大杯和4個(gè)小杯中，剛好倒?jié)M，發(fā)現(xiàn)1個(gè)大杯的容量比2個(gè)小杯之和少40毫升，1個(gè)大杯的容量是多少毫升？1個(gè)小杯的容量是多少毫升？

在做這道題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，嘗試用轉(zhuǎn)化思想去分析問(wèn)題，解讀其中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維能力的升級(jí)。分析這道習(xí)題，有“大杯”和“小杯”的不同論述，無(wú)形中增大了學(xué)生厘清問(wèn)題的難度，對(duì)此，教師可引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)分析大杯容量與小杯容量之間的關(guān)系，讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，使問(wèn)題變成學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)的、研究過(guò)的問(wèn)題，以此助推學(xué)習(xí)的順利開(kāi)展。具體方法如下。

首先，解讀文本。教師先指導(dǎo)學(xué)生閱讀習(xí)題，在閱讀中抓住關(guān)鍵句“1個(gè)大杯的容量比2個(gè)小杯之和少40毫升”，此時(shí)，教師可追問(wèn)學(xué)生：“對(duì)于這句話，你是怎么理解的？”問(wèn)題促使學(xué)生把注意力和思考的焦點(diǎn)都集中到這句話上。很快就有學(xué)生分享了自己的解讀思路：“1個(gè)大杯比2個(gè)小杯少40毫升，我認(rèn)為可以把大杯變成小杯，也就是說(shuō)，1個(gè)大杯變成2個(gè)小杯，不過(guò)不是正好相等的量，而是少40毫升。所以，2個(gè)大杯都換成小杯，就是2×2=4，4個(gè)小杯，還少40×2=80（毫升）?！痹撋奈谋窘庾x為其他學(xué)生的學(xué)習(xí)思路開(kāi)啟了一扇智慧之門(mén)。其他學(xué)生沿著這條思路繼續(xù)思考，并在演算中很快就明白了轉(zhuǎn)化的原理，整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)也因此變得更加順暢和有活力。

其次，學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化。解讀文本是學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的前奏，也是基礎(chǔ)和保障。在實(shí)際教學(xué)中，教師在學(xué)生閱讀習(xí)題、把握住關(guān)鍵句之后，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化。

師：剛才有同學(xué)對(duì)大小杯之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，你能沿著這條思路繼續(xù)思考嗎？

學(xué)生在回憶前面同學(xué)的分析后，再度閱讀習(xí)題中的關(guān)鍵句。

生1：把大杯都變成小杯，2個(gè)大杯就相當(dāng)于4個(gè)小杯，還少80毫升。這樣一來(lái)，原來(lái)倒?jié)M的2個(gè)大杯和4個(gè)小杯，就變成了8個(gè)小杯，但是還少80毫升。所以，我們可以補(bǔ)上80毫升，這樣就需要800+80=880（毫升）了，那么1小杯的容量就是880÷8=110（毫升）了，1個(gè)大杯的容量則是110×2-40=180（毫升）。

師：他的思考，你聽(tīng)得明白嗎？可以嘗試用示意圖展開(kāi)分析。

學(xué)生根據(jù)自己的思考和這位同學(xué)的分析畫(huà)出示意圖，再度進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)這位同學(xué)的分析是正確的，過(guò)程也是合理的。

生2：老師，其實(shí)我們還可以來(lái)驗(yàn)算的。2個(gè)大杯、4個(gè)小杯一共是180×2+110×4=360+440=800（毫升），符合題目中的條件，說(shuō)明我們的思考和計(jì)算都是正確的。

師：很好！自覺(jué)驗(yàn)算是一種好習(xí)慣。你還有其他的思考嗎？

生2：當(dāng)然，也可以把小杯變成大杯，根據(jù)“1個(gè)大杯比2個(gè)小杯少40毫升”這句話的意思，2個(gè)小杯相當(dāng)于1個(gè)大杯，不過(guò)不是少40毫升，而是多出40毫升，這是最容易出錯(cuò)的地方。所以4個(gè)小杯變成2個(gè)大杯，還多出40×2=80（毫升），最終是4個(gè)大杯多80毫升，也就是說(shuō)果汁的總量是800毫升。計(jì)算過(guò)程如下：4÷2=2（個(gè)），這是大杯；2+2=4（個(gè)），這是大杯；40×2=80（毫升），800-80=720（毫升），720÷4=180（毫升），這是1個(gè)大杯的容量；（180+40）÷2=110（毫升），這是1個(gè)小杯的容量。我覺(jué)得這樣的思路和計(jì)算也是可行的，兩種方法的答案是一樣的。

……

師：經(jīng)過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，你有哪些收獲？

生3：把有關(guān)系的大小杯進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成同一種杯子才能更好的計(jì)算。

師：是的！要抓住關(guān)鍵句去思考，并把其中一種杯子轉(zhuǎn)化為另一種杯子，這樣學(xué)習(xí)起來(lái)就簡(jiǎn)單多了。

用轉(zhuǎn)化思想去分析、研究問(wèn)題，在小學(xué)數(shù)學(xué)中比比皆是。要讓學(xué)生科學(xué)地去分析問(wèn)題，正確地運(yùn)用這一策略，需要教師給予學(xué)生必要的學(xué)習(xí)引導(dǎo)，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中自覺(jué)接受轉(zhuǎn)化思想的洗禮，了解轉(zhuǎn)化策略的原理，并學(xué)會(huì)使用該方法去解決問(wèn)題。

上述案例，讓筆者還意識(shí)到，小學(xué)生對(duì)于轉(zhuǎn)化思想并非一無(wú)所知，他們只是還不能科學(xué)描述、規(guī)范使用而已。所以，在教學(xué)中教師要巧妙引導(dǎo)學(xué)生，激活學(xué)生這方面的感知能力，讓他們通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的研究，進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化思想，掌握轉(zhuǎn)化策略，并積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成和具備研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

三、把脈內(nèi)在關(guān)系，感悟函數(shù)的神奇

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求大力發(fā)展學(xué)生的“四基”（指數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），幫助學(xué)生積累更為豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，努力提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。教師應(yīng)正視這些要求，改變教學(xué)方式，努力做到以學(xué)生為本，營(yíng)造適宜的教學(xué)氛圍，引領(lǐng)學(xué)生去探究、去合作。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把滲透數(shù)學(xué)思想方法放在一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈恢蒙先ニ伎?，以此助推學(xué)生素養(yǎng)的提升、能力的發(fā)展。

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)大多比較抽象，一些數(shù)學(xué)問(wèn)題更是充滿玄奧，對(duì)于小學(xué)生而言，學(xué)習(xí)這些知識(shí)、研究這些問(wèn)題非常吃力。對(duì)此，教師應(yīng)相機(jī)滲透函數(shù)思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到相應(yīng)的鍛煉。

例如，三年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積”之后，遇到下面這個(gè)問(wèn)題：王大伯計(jì)劃用24根1米長(zhǎng)的竹籬笆圍一塊長(zhǎng)方形或正方形菜地。你打算如何幫助王大伯去設(shè)計(jì)菜地呢？

面對(duì)問(wèn)題，有部分學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手。于是，教師適時(shí)滲透函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生有序分析。

生1：圍成正方形菜地的周長(zhǎng)是24米，邊長(zhǎng)就是24÷4=6（米），面積是6×6=36（平方米）。

師：那圍成長(zhǎng)方形，該怎么辦呢？

生1：可以是長(zhǎng)23米、寬1米，面積是23×1=23（平方米）。

生2：不對(duì)！長(zhǎng)23米、寬1米的話，它的周長(zhǎng)是（23+1）×2=48（米），而題目中的竹籬笆只有24米，所以錯(cuò)了。

生2：圍成長(zhǎng)方形，“長(zhǎng)+寬”僅是周長(zhǎng)的一半，也就是24÷2=12米。按照這樣的思路，那可以是：長(zhǎng)11米、寬1米，面積是11平方米；長(zhǎng)10米、寬2米，面積是20平方米；長(zhǎng)9米、寬3米，面積是27平方米；長(zhǎng)8米、寬4米，面積是32平方米；長(zhǎng)7米、寬5米，面積是35平方米；還有剛才研究過(guò)的正方形，每條邊長(zhǎng)6米，面積是36平方米。

生1：噢，我知道了！正方形的面積是最大的，而第一種的面積是最小的。

解決問(wèn)題并不都是一帆風(fēng)順的，需要學(xué)生進(jìn)行必要的甑別與反思，并懂得靈活應(yīng)用知識(shí)，還能交流經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)才能慢慢向前推進(jìn)。案例中，當(dāng)學(xué)生有序地分析思考時(shí)，他們對(duì)周長(zhǎng)一定，長(zhǎng)與寬的變化規(guī)律就已經(jīng)厘清楚了，并在計(jì)算過(guò)程中也想明白了。

同時(shí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)越大，寬就會(huì)越小，此時(shí)的面積也是最小的；而隨著長(zhǎng)變小，寬變大，面積反而逐漸增大，直至變成正方形，此時(shí)面積是最大的。如此反思甑別、感悟推想的過(guò)程，學(xué)生領(lǐng)略了函數(shù)思想的魅力。

由此可見(jiàn)，函數(shù)思想的運(yùn)用能讓原本靜態(tài)的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)化，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思維動(dòng)起來(lái)、轉(zhuǎn)起來(lái)，學(xué)習(xí)上也因此變得更加主動(dòng)。當(dāng)然，函數(shù)思想不只體現(xiàn)在這一層面，它在幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)用尤為廣泛，還需要教師智慧引領(lǐng)，帶領(lǐng)學(xué)生去體驗(yàn)。只有這樣，函數(shù)的相關(guān)概念才能在學(xué)生心中生根發(fā)芽、開(kāi)花結(jié)果。

較之于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及常用數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思想是處于更高層次的方法策略，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)審時(shí)度勢(shì)，靈活滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，以此助力數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效突破，增強(qiáng)學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的策略意識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

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［2］賴建軍.經(jīng)歷探究過(guò)程 感悟數(shù)學(xué)思想——“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)片斷與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（23）.

（責(zé)編黃健清）