基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的廣義五蘊涵方法及其在多屬性決策中的應用

徐東輝,羅敏霞

(中國計量大學 理學院,浙江 杭州 310018)

理論與應用相輔相成,模糊理論的發(fā)展,推動了模糊控制領域的發(fā)展,而模糊控制的核心部分是模糊推理,它有兩個最基本的形式:模糊假言推理(fuzzy modus ponens,FMP)和模糊拒取式推理(fuzzy modus tollens,FMT)。針對這類問題的解決,Zadeh[1-4]提出了合成推理規(guī)則(compositional rule of inference,CRI)方法。但是CRI方法存在一些缺陷,因此Wang[5]提出全蘊涵模糊推理方法,克服了CRI方法本身缺乏邏輯基礎和還原性的缺點。在實際應用中,全蘊涵模糊推理方法的計算結果有時候會不盡人意,即出現(xiàn)平凡解的情況,這會導致問題無法被解決。故此,Zhou[6]等人在考慮到A和A*(或B和B*)之間貼近度的因素下,提出了五蘊涵方法,改進了全蘊涵3I方法的缺陷。以上這些方法,都是在基于模糊集的環(huán)境下所提出的推理方法。

雖然模糊集能處理信息的模糊性,但是有時候會造成信息的缺失和被數(shù)據(jù)類型所局限。因此,為了更好地描述信息的模糊性和不確定性,并且有效地減少信息丟失,Zadeh[2-4]在1975年提出區(qū)間值模糊集的概念。為了更進一步研究模糊推理,很多研究者就結合了模糊集上的許多推理方法,將這些方法推廣到區(qū)間值上,模糊集上的推理方法就作為區(qū)間值上的特殊情況,進而增加了應用的廣度。文獻[7-9]分別將CRI方法、全蘊涵模糊推理方法、五蘊涵方法從模糊集擴展到區(qū)間值模糊集上,但是這些研究都是基于區(qū)間值相關聯(lián)三角范數(shù)誘導下的剩余蘊涵上的推理算法。這一點局限了算子的運用,因為區(qū)間值相關聯(lián)三角范數(shù)只是由一個三角范數(shù)生成。

文獻[10]提出t-可表示三角范數(shù),它是利用兩個滿足一定條件的三角范數(shù)來生成。因此研究基于t-可表示三角范數(shù)誘導的剩余蘊涵的推理算法時,區(qū)間值相關聯(lián)三角范數(shù)就作為其特殊情況,從文獻[11]可以得到這一結論,這就明顯突出區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)相較于區(qū)間值相關聯(lián)三角范數(shù)的優(yōu)越性。文獻[12]利用區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)將全蘊涵模糊推理方法推廣到區(qū)間值模糊集上,但其存在不足之處,應用時會出現(xiàn)反直覺的情況。因此,文獻[13]改進了這一方法,結合五蘊涵方法和t-可表示三角范數(shù)做推理算法,提出一種新的區(qū)間值五蘊涵方法,并且將其運用到模式識別和醫(yī)療診斷中,能夠很好地解決問題,但是靈活性方面不足。在應用時,有時候可能不會達到預期的要求,這時就需要進行取舍,達到預期結論的大部分程度也可,即下限達到。因此,我們提出一種廣義形式的五蘊涵方法,通過參數(shù),來控制模型的契合或是擬合程度,以此來達到靈活應用的目的,并將其應用于多屬性決策問題。

1 預備知識

定義1.1[14]若一個二元映射T:[0,1]2→[0,1]滿足交換律、結合律、單調性和邊界條件,即對任意的a,b,c∈[0,1]滿足下列條件

1) 交換律:T(a,b)=T(b,a);

2) 結合律:T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));

3) 單調性:T(a,c)≤T(b,c),其中a≤b;

4) 邊界條件:T(a,1)=1,

則T稱為三角范數(shù)。

定義1.2[14]若一個三角范數(shù)T,對任意的(x0,y0)∈[0,1]2,ε>0,存在δ>0,使得當(x,y)∈(x0-δ,x0]×(y0-δ,y0]時,有T(x,y)>T(x0,y0)-ε成立,則T稱為左連續(xù)的。

定義1.3[15]對任意a,b∈[0,1],由左連續(xù)三角范數(shù)T誘導的剩余蘊涵R定義如下:

R(a,b)=sup{x∈[0,1]|T(a,x)≤b}。

例1.1[16]幾個重要的左連續(xù)三角范數(shù)及其剩余蘊涵:

TL(a,b)=0∨(a+b-1),

RL(a,b)=1∧(1-a+b)。

2) G?del三角范數(shù)TG及其剩余蘊涵RG:

TG(a,b)=a∧b;

3) Goguen三角范數(shù)TGo及其剩余蘊涵RGo:

TGo(a,b)=ab;

令SI={[x,y]|x≤y,x,y∈[0,1]},在SI上的序為分量序,需要滿足下列條件,當a≤c且b≤d時,有[a,b]≤[c,d],且它也是SI上的偏序。因此,當且僅當[a,b]≤[c,d]時,有[a,b]∧[c,d]=[a,b]且[a,b]∨[c,d]=[c,d],并且代數(shù)結構(SI,∧,∨,[0,0],[1,1])是一個完備格。

定義1.4[17]非空集合X上的區(qū)間值模糊集可以被表達如下:

本文中,令非空集合X={x1,x2,…,xn},我們用SI(X)表示集合X上的所有區(qū)間值模糊子集的集合?，F(xiàn)在我們記區(qū)間值模糊集

因此對?xi∈X,我們取下面的兩個集合

則它被稱為t-可表示的。

定義1.8[11]對?[a,b],[c,d]∈SI,區(qū)間值t-可表示剩余蘊涵定義如下:

這里R1和R2分別是由左連續(xù)三角范數(shù)T1和T2誘導的剩余蘊涵,并且有T1≤T2。

例1.2幾個重要的區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)及其誘導的區(qū)間值剩余蘊涵:

2 基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的廣義五蘊涵算法

我們可以根據(jù)已有的五蘊涵模型進一步優(yōu)化,得到新的五蘊涵模型。

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五蘊涵模型(FMP)[13]:

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的五蘊涵模型(FMT)[13]:

由于應用的需要和靈活性,基于上面的兩個模型,我們加入參數(shù),使得模型可以在更廣泛的領域里進行應用,提出了下面兩個廣義形式的五蘊涵模型。

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的廣義五蘊涵模型(FMP):

(1)

基于區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的廣義五蘊涵模型(FMT):

(2)

(3)

故式(3)是廣義五蘊涵模型(FMP)的解。

由上面的證明,同理可得

它退化為文獻[13]定理2.1。

(4)

故式(4)是廣義五蘊涵模型(FMP)的解。

由上面的證明,同理可得

它退化為文獻[13]定理2.2。

3 實際應用

在應用中,由于信息的復雜性,有時候我們需要對從信息中得來的數(shù)據(jù)進行轉換或者合并成一個可表示值,這時候就需要用到信息聚合,而聚合算子就尤為重要,下面我們就介紹一個聚合算子。

在實際應用中,我們需要對處理后的區(qū)間值模糊集上的數(shù)據(jù)進行比較,即需要進行排序,于是我們定義下面的精確函數(shù)和分數(shù)函數(shù)來進行數(shù)據(jù)比較。

為了處理數(shù)據(jù),在多屬性決策應用中,我們需要建立相應的決策矩陣。

表1 多屬性決策應用的決策矩陣Table 1 Decision matrix for muti-attribute decision

表2 預期方案屬性參考值Table 2 The reference values of each attribute of the expected alternative

第一步:數(shù)據(jù)預處理,將數(shù)據(jù)進行同類型轉化,利益或成本統(tǒng)一化,量綱系數(shù)化,整體數(shù)據(jù)歸一化(已經過預處理數(shù)據(jù)省去此步)。

例3.1某投資銀行擬對5家企業(yè)Y={y1,y2,y3,y4,y5}進行投資,主要關注下面6項指標進行決策來選擇最合適的一家進行投資,即產值、投資成本、銷售、國家受益情況、環(huán)境污染狀況、發(fā)展前景,為了方便處理數(shù)據(jù),對上述6項指標數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)預處理,以此轉化為同類型數(shù)據(jù),變?yōu)橄旅嫘碌?項指標。

x1:產值系數(shù)指標;x2:投資成本系數(shù)指標;x3:銷售系數(shù)指標;x4:國家受益情況系數(shù)指標;x5:環(huán)境污染狀況系數(shù)指標;x6:發(fā)展前景評估系數(shù)指標。

表3 投資銀行對企業(yè)指標的決策矩陣Table 3 Investment bank decision matrix for the enterprises based on the indicators

表4 投資銀行預期指標參考值Table 4 The reference values given by the investment bank to the expected indicators

表5 投資銀行預期企業(yè)衡量參考值Table 5 The reference values given by the investment bank to enterprise measurement

第一步:我們得到的數(shù)據(jù)已進行了處理。

表6 企業(yè)預期指標的聚合值Table 6 Aggregate values of each enterprise's expected indicators

第七步:利用分數(shù)函數(shù)si和精確函數(shù)hi進行排序,其數(shù)據(jù)及決策結果排序如表7。

因此,從表7我們可以看出企業(yè)y3是最符合投資公司要求的企業(yè),這一結論與文獻[13]中得到的結果一致,如表8。

表7 模型過渡量和排序Table 7 Model transitions and the

表8 兩種方法結果比較Table 8 Comparison of methods

從例3.1可以看出,文獻[13]所提出的方法和我們所提出的方法,對解決多屬性決策問題得到結果是一致。

4 結 論

在本文中,我們給出幾個重要的區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)及其相應區(qū)間值剩余蘊涵,并以此為運算工具,結合區(qū)間值五蘊涵方法,添加可控參數(shù)提出廣義區(qū)間值五蘊涵方法,并把它應用到多屬性決策中。通過多屬性決策的例子,與參考文獻[13]的方法比較,得到相同的決策結果,從而說明本文的方法是合理有效的。未來,我們將考慮將模型應用到模式識別和醫(yī)療診斷等領域中。