漸開線花鍵滾前徑的算法研究

江方記

（深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 深圳 518055）

漸開線花鍵冷加工成形的工藝技術(shù)，在高精度的花鍵類零件的生產(chǎn)實(shí)踐中得到越來越廣泛的應(yīng)用。漸開線花鍵滾前毛坯料直徑計(jì)算的精確與否，會(huì)影響花鍵加工過程中的分齒精度，也是漸開線花鍵類零件進(jìn)行模具設(shè)計(jì)時(shí)要重點(diǎn)參考的計(jì)算數(shù)據(jù)。[1]目前，很多科技文獻(xiàn)資料都涉及花鍵滾前直徑的計(jì)算，但多數(shù)計(jì)算依據(jù)都來自生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，其理論推導(dǎo)不夠精確，計(jì)算過程較煩瑣，且多數(shù)只是針對直齒花鍵滾前徑進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，幾乎沒有針對漸開線花鍵的滾前毛坯直徑的計(jì)算。[2]本文基于漸開線花鍵滾前徑計(jì)算的基本原理，以及展成法和微積分面積法的分析，對漸開線花鍵滾前徑的計(jì)算方法進(jìn)行了初步研究，為漸開線花鍵加工的滾軋輪設(shè)計(jì)提供了理論計(jì)算依據(jù)。[3]

1 漸開線花鍵滾前徑的計(jì)算原理

當(dāng)漸開線花鍵的模數(shù)小于1.5時(shí)，加工方法一般是采用不去除材料的搓齒成型工藝，如圖1所示。由于漸開線花鍵搓齒前后工件的體積、重量和長度不變，所以搓齒前后的漸開線花鍵的工件橫截面積相等，這是計(jì)算漸開線花鍵滾前徑的基本原理[4]。

圖1 漸開線花鍵搓齒成型工藝示意

如圖2所示，假設(shè)漸開線花鍵搓齒前的毛坯直徑是d，搓齒后花鍵的齒數(shù)是Z，小徑是d1，一個(gè)花鍵齒的面積是SC，則搓齒前后工件的面積分別為[5]：

圖2 漸開線花鍵滾前徑計(jì)算原理示意

漸開線花鍵搓齒前毛坯的面積

漸開線花鍵搓齒后毛坯的面積

因?yàn)闈u開線花鍵搓齒前后毛坯的面積相等，則

式（3）即是計(jì)算漸開線花鍵滾前徑的基本公式。

2 漸開線花鍵滾前徑的計(jì)算方法

2.1 基于展成法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑

由式（3）可以求出漸開線花鍵搓齒前毛坯件的直徑：

由式（4）可知，當(dāng)已知一個(gè)花鍵齒的面積SC時(shí)，則可計(jì)算漸開線花鍵搓齒前毛坯件直徑。

基于展成法加工漸開線齒輪時(shí)，齒條刀具的基準(zhǔn)線與齒輪毛坯件嚙合運(yùn)動(dòng)，即可加工齒輪的齒形。漸開線花鍵的搓齒加工過程類似于齒條齒輪的零間隙嚙合運(yùn)動(dòng)，這時(shí)搓齒板齒槽部分的體積和漸開線花鍵齒廓的體積是相等的，即齒槽的橫截面積等于漸開線花鍵齒廓的橫截面積[6]。因此，計(jì)算漸開線花鍵一個(gè)齒廓的橫截面積，也就是計(jì)算搓齒板的一個(gè)齒槽的橫截面積，該齒槽的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示，圖中符號de表示齒頂圓直徑，df表示分度圓直徑，d1表示齒根圓直徑。搓齒時(shí)，漸開線花鍵的分度圓與搓齒板的分度線相切，漸開線花鍵分度圓處的弧齒厚（Sf）的弦長S等于搓齒板分度線處的齒槽寬S，搓齒板齒槽的半角等于漸開線花鍵的分度圓壓力角。根據(jù)以上原理，可推導(dǎo)漸開線花鍵一個(gè)齒的面積Sc的計(jì)算公式。

圖3 搓齒板的齒槽

如圖4所示，漸開線花鍵在分度圓處的弦長計(jì)算公式為：

圖4 漸開線花鍵齒的弧長和弦長

由圖3可推導(dǎo)出參數(shù)A、B和H的尺寸計(jì)算公式：

由式（6）式（7）和式（8）推導(dǎo)出搓齒板齒槽的面積SC為：

將式（5）代入式（9），整理得出：

將式（10）代入式（4），整理得出：

2.2 基于微積分面積法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑

研究基于微積分面積法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑，關(guān)鍵在于漸開線方程的應(yīng)用。如圖5所示，A為漸開線在基圓上的起始點(diǎn)，K為漸開線上任意點(diǎn)，其半徑用rx表示，θx表示展角，αx表示壓力角。

圖5 漸開線形成示意

由圖5中的ΔQCK可得到如下方程：

又因?yàn)?/p>

所以：

由上式可知，展角θx是隨著壓力角αx的變化而變化的，所以只要我們預(yù)先知道了漸開線上點(diǎn)的壓力角αx，則對應(yīng)該點(diǎn)的展角θx就可以由式（14）計(jì)算出來，工程上通常用invαx來表示θx，即

綜合以上分析，可得出齒輪漸開線曲線的方程式為式（12）和式（15），它們是基于微積分面積法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑的理論基礎(chǔ)。

在圖6（a）中，要計(jì)算漸開線花鍵從齒根θ1到齒頂θe的面積，只需計(jì)算出漸開線花鍵齒根圓D點(diǎn)到齒頂圓C點(diǎn)的面積S1，S1的計(jì)算公式如下：

圖6 漸開線外花鍵齒形面積計(jì)算示意

齒頂圓弧的扇形面積S2的計(jì)算公式如下：

上式中的參數(shù)BC為花鍵的齒頂寬Se，此值可由下面的式子求出：

將式（17）代入式（16），整理得到齒頂圓扇形面積S2：

同理，可根據(jù)圖6（b）所示的示意圖，求出齒根圓的扇形面積S3：

由圖（6）所知，一個(gè)花鍵的面積Sc為：

將式（15）式（18）式（19）代入式（20），整理后得到漸開線花鍵齒的面積：

如果漸開線花鍵的齒數(shù)為Z，則搓齒后漸開線花鍵的橫截面積：

漸開線花鍵搓齒前毛坯件的面積SA為：

因?yàn)镾A=Sm，則根據(jù)式（21）式（22）式（23）整理得到漸開線花鍵滾前徑：

2.3 兩種算法的比對分析和改進(jìn)建議

基于展成法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑時(shí)，由于花鍵齒的齒根是自然形成圓弧狀的，所以計(jì)算出的滾前徑會(huì)比較大，特別是齒根圓弧半徑大一些的花鍵，其鍵滾前徑的計(jì)算結(jié)果要大得多。基于微積分面積法計(jì)算漸開線花鍵滾前徑時(shí)，由于花鍵的齒根沒有圓弧，所以計(jì)算出的滾前徑一般會(huì)偏小。為了使得漸開線花鍵滾前徑的計(jì)算結(jié)果比較理想，可以取花鍵的大徑、小徑、分度圓齒厚的中間值進(jìn)行計(jì)算。滾前徑的公差一般不允許大于0.04，上、下極限偏差推薦取±0.02。

在漸開線花鍵搓齒加工過程中，也可能會(huì)存在以下幾種情況，會(huì)對滾前徑的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。一是漸開線花鍵軸除了存在徑向變形外，還存在軸向變形。由于花鍵的軸向變形小，在計(jì)算滾前徑時(shí)。一般都忽略不計(jì)二是同型號的漸開線搓齒板會(huì)存在齒頂高的誤差，齒板也會(huì)存在無規(guī)律的磨損等齒形誤差，所以計(jì)算出的滾前徑最好經(jīng)過試搓試驗(yàn)，然后根據(jù)實(shí)際搓齒的結(jié)果對計(jì)算出的滾前徑進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，以達(dá)到最佳的效果。

3 結(jié)語

本文基于漸開線花鍵滾前徑的計(jì)算原理，研究了滾前徑的兩種計(jì)算方法，對兩種計(jì)算方法進(jìn)行對比分析研究并提出了具體的改進(jìn)建議。漸開線花鍵滾前坯料直徑的精確計(jì)算，可以為滾軋輪的設(shè)計(jì)提供可靠的理論計(jì)算依據(jù)7。