IHV變截面渦旋型線等效齒厚計(jì)算模型與幾何性能分析

劉 濤 ，馮志國(guó) ，孫永吉 ，2

（1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2. 蘭州工業(yè)學(xué)院 工程訓(xùn)練中心，蘭州 730050）

0 引言

渦旋壓縮機(jī)具有高效低振、可靠性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積輕小等優(yōu)點(diǎn)［1］，目前已經(jīng)應(yīng)用于新能源汽車空調(diào)、制冷、化工以及增壓泵等諸多領(lǐng)域［2-8］。

渦旋型線是渦旋壓縮機(jī)設(shè)計(jì)的難點(diǎn)和基礎(chǔ)，隨著渦旋壓縮機(jī)應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，為適應(yīng)壓縮機(jī)更大行程容積和更高壓縮比的需求，變截面以比等截面型線更少的圈數(shù)、更短的型線加工長(zhǎng)度和泄漏線長(zhǎng)度等優(yōu)點(diǎn)成為研究的熱點(diǎn)［9］。變截面型線主要組成單元有基圓漸開線、高次曲線、圓弧、變徑基圓漸開線等。郝勝利等［10］建立了一種變壁厚渦旋壓縮機(jī)型線方程，計(jì)算了容積特性，結(jié)果表明，吸氣容積、制冷量和制冷COP較等壁厚均有所提升。王君等［11-12］建立了一種漸變齒厚渦旋齒型線模型，對(duì)該渦旋齒渦旋壓縮機(jī)進(jìn)行了流場(chǎng)分析以及渦旋齒變形分析，結(jié)果表明，該渦旋齒與等齒厚渦旋齒相比，其齒變形更小、應(yīng)力分布更合理；丁佳男等［13］推導(dǎo)了變徑基圓漸開線型線不同起始位置下型線的方程。彭斌等［14］研究了圓漸開線-高次曲線-圓弧組合型線，建立了渦旋壓縮機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

對(duì)各單元型線特性分析發(fā)現(xiàn)，圓漸開線性能穩(wěn)定且易于加工，高次曲線參數(shù)樣條可以有效減少渦旋圈數(shù)；變徑基圓漸開線節(jié)距隨著展角的變化而變化，隨著變徑系數(shù)取值不同可靈活調(diào)節(jié)型線齒厚，形成漸變齒厚渦旋型線。本文提出以圓漸開線-高次曲線-變徑基圓漸開線（Involute-High order curve-Variable radii involute，IHV）為基礎(chǔ)型線構(gòu)造一種新的渦旋組合型線，以達(dá)到充分利用各類曲線的優(yōu)點(diǎn)、有效提高渦旋壓縮機(jī)幾何性能的目的。建立IHV型線數(shù)學(xué)模型，探討幾何參數(shù)對(duì)變截面渦旋齒等效齒厚的影響；研究了變徑系數(shù)對(duì)IHV型線行程容積和壓縮比的影響，并將IHV變截面型線與圓漸開線構(gòu)成等截面型線幾何性能進(jìn)行比較，研究結(jié)論可對(duì)變截面渦旋壓縮機(jī)設(shè)計(jì)提供參考。

1 IHV變截面型線數(shù)學(xué)模型

1.1 型線控制方程

渦旋齒型線的微分幾何關(guān)系如圖1所示［9］，圖中M為漸開線任意一點(diǎn)，φ為漸開角，α為單位切矢量，β為單位法矢量。根據(jù)嚙合原理，渦旋型線連續(xù)嚙合需要滿足如下型線控制方程［9］。

式中 R ——廣義基圓半徑；

ρ ——廣義展成半徑。

圖1 型線微分幾何關(guān)系Fig.1 Differential geometry relation for scroll profile

1.2 組合型線母線方程

組合型線的母線首段型線選用基圓漸開線，中間段選用高次曲線，末段型線采用變徑基圓漸開線。根據(jù)式（2），基圓漸開線段方程可表示為：

式中 R1——圓漸開線的基圓半徑。

中間段高次曲線方程可表示為：

變徑基圓漸開線方程可表示為：

式中 K ——基圓變徑系數(shù)；

φ1——基圓漸開線終端漸開角；

φ2——高次曲線終端漸開角；

φe——變徑基圓漸開線終端漸開角。

為了滿足型線的連續(xù)性與光滑性要求，在漸開角φ1和φ2處分別有：

由式（6）（7）可求得 c0，c1，c2，c3。在待定參數(shù)取R1=3 mm；φ1=2.5π；φ2=4π；φe=,7.5π，K=0.05時(shí)，由式（6）（7）解得 c0=365.59，c1=-114.36，c2=12.10，c3=-0.39。該組合型線母線如圖2所示。可見，采用高次曲線可有效減少渦旋圈數(shù)，縮短了徑向泄漏線長(zhǎng)度。

圖2 IHV組合型線母線Fig.2 Generating line of the IHV combined scroll profile

1.3 組合型線渦旋齒型線數(shù)學(xué)模型

采用法向等距線法［15］生成渦旋齒內(nèi)外壁型線，由于動(dòng)靜渦旋盤相差180°，因此，可將母線旋轉(zhuǎn)180°形成另一條母線。以上述兩條母線為基準(zhǔn)分別生成它的內(nèi)、外法向等距線，構(gòu)成動(dòng)、靜渦旋盤的內(nèi)、外壁面型線。其中動(dòng)渦旋型線為：

靜渦旋盤的型線方程為：

2 IHV變截面型線渦旋齒等效齒厚

渦旋齒齒厚是渦旋壓縮機(jī)的一個(gè)重要幾何參數(shù)，不同的型線組成會(huì)影響其齒厚大小，進(jìn)而影響渦旋齒的強(qiáng)度和傳熱性能，故研究齒厚的變化規(guī)律是十分必要的。

2.1 渦旋齒等效齒厚計(jì)算模型

變截面渦旋齒由不同型線組合形成，當(dāng)渦旋齒內(nèi)、外壁型線均為基圓漸開線時(shí)，其齒厚可按等截面齒厚兩點(diǎn)模型計(jì)算，即計(jì)算對(duì)應(yīng)漸開角切線與內(nèi)、外壁型線交點(diǎn)間的法向距離；當(dāng)渦旋齒內(nèi)、外壁型線由不同類型型線構(gòu)成時(shí)，由于內(nèi)外壁型線漸縮點(diǎn)不重合，故無(wú)法沿著同一漸開角切向方向計(jì)算，故本文提出一種等效齒厚計(jì)算模型。如圖3所示，在某一漸開角對(duì)應(yīng)內(nèi)、外壁型線上的點(diǎn)D，E找到其漸縮點(diǎn)A，B，過(guò)C點(diǎn)作CE垂直于BC交AD于E點(diǎn)。由于BC為內(nèi)壁型線展弦ρi，AD為外壁型線展弦 ρo，可定義等效齒厚為：

圖3 IHV組合型線齒厚計(jì)算模型Fig.3 Tooth thickness calculation model of the IHV combined scroll profile

內(nèi)、外型線展弦隨漸開角變化而變化，根據(jù)渦旋型線生成原理，內(nèi)、外壁型線漸開角相差π；內(nèi)、外壁型線由不同類型型線組成，故內(nèi)、外壁展弦需要分段計(jì)算。

內(nèi)壁型線展弦為：

外壁型線展弦為：

2.2 幾何參數(shù)對(duì)齒齒厚的影響

根據(jù)構(gòu)建的IHV變截面渦旋型線幾何模型，影響渦旋型線的幾何參數(shù)有變徑基圓變徑系數(shù)K、基圓半徑R1以及不同型線間連接點(diǎn)漸開角φ1，φ2等?；谏鲜龅刃X厚計(jì)算模型，采用控制變量法，探討不同幾何參數(shù)對(duì)組合型線渦旋齒齒厚的影響。

2.2.1 變徑系數(shù)K的影響

其他幾何參數(shù)不變，改變變徑系數(shù)K的取值，渦旋齒型線等效齒厚隨漸開角變化如圖4所示。從圖中可看出，等效齒厚總體變化趨勢(shì)為隨漸開角的增大先增大后減小，在變徑基圓漸開線段隨K的不同取值有所不同。當(dāng)K=0時(shí)，變徑基圓漸開線段齒厚保持不變；K<0時(shí)，變徑基圓漸開線段齒厚逐漸減??；K>0時(shí)，變徑基圓漸開線段齒厚逐漸增大。K=0.05時(shí)，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準(zhǔn)，當(dāng)K=0時(shí)，最大齒厚為20.74 mm，減小10.26%；K=-0.05時(shí)，最大齒厚為18.44 mm，減小了20.21%。

圖4 變徑系數(shù)K對(duì)等效齒厚的影響Fig.4 Influence of coefficient K of variable radii involute on equivalent tooth thickness

2.2.2 基圓半徑R1的影響

其他幾何參數(shù)不變，改變基圓半徑的取值，等效齒厚變化如圖5所示。由圖可知，隨著基圓半徑增大，渦旋齒等效齒厚增加，高次曲線段齒厚變化快且最大齒厚增加幅度比較大，變徑基圓漸開線段等效齒厚呈線性變化趨勢(shì)。R1=3 mm時(shí)，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準(zhǔn)；R1=2.5 mm時(shí)，最大齒厚為19.65 mm，最大齒厚減小14.97%；R1=2 mm時(shí)，最大齒厚為16.19 mm，減小29.94%。基圓半徑增大渦旋盤半徑也會(huì)增大。

圖5 基圓半徑R1對(duì)等效齒厚的影響Fig.5 Influence of base circle radius R1 on equivalent tooth thickness

2.2.3 連接點(diǎn)漸開角φ1的影響

其他幾何參數(shù)不變，改變連接點(diǎn)漸開角φ1的取值，渦旋齒等效齒厚隨漸開角變化趨勢(shì)如圖6所示。由圖可知，隨著φ1的增大，渦旋齒最大齒厚顯著增加。當(dāng)φ1=2.5π時(shí)，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準(zhǔn)，φ1=2π時(shí)，最大齒厚為20.02 mm，較基準(zhǔn)減小了13.37%；φ1=3π時(shí)，最大齒厚為25.78 mm，較基準(zhǔn)增加了11.55%。

圖6 漸開角φ1對(duì)等效齒厚的影響Fig.6 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

2.2.4 連接點(diǎn)漸開角φ2的取值，渦旋型線等效最大齒厚隨漸開角φ2的影響

其他幾何參數(shù)不變，改變連接點(diǎn)φ2增大而減小，如圖7所示。當(dāng)φ2=3.5π時(shí)，最大齒厚為25.78 mm，φ2=4π時(shí)，最大齒厚為23.11 mm，φ2=4.5π時(shí)，最大齒厚為20.02 mm，而且齒厚最大值所對(duì)應(yīng)漸開角隨著φ2的增大而增大，渦旋型線終端徑向尺寸不變。

圖7 漸開角φ2對(duì)等效齒厚的影響Fig.7 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

3 IHV變截面型線幾何性能分析

3.1 幾何性能指標(biāo)

為了評(píng)價(jià)新構(gòu)建的變截面渦旋型線的幾何性能，引入一個(gè)等截面渦旋型線進(jìn)行對(duì)比，等截面型線以基圓漸開線作為母線，使其與變截面型線具有相同的基圓半徑、齒高、最終展角等幾何參數(shù)。為了定量說(shuō)明IHV組合型線的幾何性能，引入行程容積、徑向泄漏線長(zhǎng)度和內(nèi)容積比進(jìn)行定量分析。

渦旋壓縮機(jī)工作原理為由動(dòng)、靜渦旋齒相互嚙合形成多個(gè)封閉腔體，圖8示出動(dòng)、靜渦旋齒嚙合模型，由外向內(nèi)依次為第三壓縮腔、第二壓縮腔和中心工作腔（排氣腔），分別用③、②、①來(lái)表示。行程容積是反應(yīng)渦旋壓縮機(jī)容積特性的一個(gè)重要參數(shù)，規(guī)定當(dāng)θ=0時(shí)，最外圈齒尾處工作腔封閉，此時(shí)最外側(cè)工作腔容積為行程容積即第三壓縮腔容積 V3（θ）。

圖8 動(dòng)、靜渦旋齒嚙合Fig.8 Meshing diagram of orbiting and fixed scroll teeth

式中 H ——渦旋齒高度；

θ ——曲軸轉(zhuǎn)角。

渦旋壓縮機(jī)泄漏是影響其工作效率的一個(gè)重要因素，而由于軸向間隙所產(chǎn)生的徑向泄漏是其主要泄漏，所以縮短泄漏線長(zhǎng)度是提高其效率的重要方法。渦旋型線母線長(zhǎng)度可近似作為渦旋壓縮機(jī)徑向泄漏線長(zhǎng)度。

按理想氣體無(wú)泄漏壓縮過(guò)程，壓縮過(guò)程按絕熱過(guò)程，壓縮比定義為：

式中κ為氣體等熵指數(shù)，文中取值為1.19。

3.2 幾何性能分析

IHV渦旋型線末端由變徑基圓漸開線組成，變徑系數(shù)變化對(duì)變徑基圓漸開線的性能會(huì)產(chǎn)生影響，因此，討論變徑系數(shù)對(duì)型線性能的影響。結(jié)果如表1所示。結(jié)果表明，當(dāng)變徑系數(shù)K為零時(shí)，構(gòu)建的型線為常見的圓漸開線-高次曲線-圓漸開線（簡(jiǎn)稱IHI）組合型線；以IHI型線為基準(zhǔn)，其他幾何參數(shù)保持不變，當(dāng)K由0增至0.05時(shí)，行程容積和壓縮比分別提高6.57%和7.85%；當(dāng)K由0減至-0.02時(shí)，行程容積和壓縮比分別降低2.63%和3.14%。

表1 不同變徑系數(shù)K下IHV型線性能比較Tab.1 Performance comparison of IHV combined line under different coefficients K of variable radii involute

將新構(gòu)建的IHV型線與傳統(tǒng)基圓漸開線型線對(duì)比，變徑系數(shù)K=0.05時(shí)，結(jié)果見表2。表中變化量表示各個(gè)指標(biāo)的變化值。從表中可看出，IHV變截面型線與圓漸開線相比，行程容積和壓縮比均有所提高，分別提高5.82%，6.95%，徑向泄漏線長(zhǎng)度縮短了26.80%。

表2 不同類型型線性能對(duì)比Tab.2 Performance comparison of different scroll profiles

4 結(jié)論

（1）根據(jù)微分幾何理論構(gòu)建了基圓漸開線-高次曲線-變徑基圓漸開線（IHV）新型變截面渦旋型線，確定了組合型線母線方程，基于法向等距線法建立了動(dòng)、靜渦旋齒型線數(shù)學(xué)模型。

（2）建立了IHV變截面型線渦旋齒等效齒厚計(jì)算模型，研究發(fā)現(xiàn)：等效齒厚隨著基圓半徑增大而增加，高次曲線段齒厚變化快且增幅較大，變徑基圓漸開線段齒厚呈線性變化；等效齒厚隨變徑系數(shù)取值不同有所不同增減變化規(guī)律；最大齒厚隨連接點(diǎn)漸開角φ1的增大顯著增加，隨漸開角φ2增大而減小。

（3）當(dāng)變徑系數(shù)K=0.05時(shí)，IHV型線與基圓漸開線構(gòu)成的等截面型線相比較，行程容積增大5.82%，壓縮比增加6.95%，徑向泄漏線長(zhǎng)度縮短26.80%；與常見的IHI變截面型線相比，行程容積和壓縮比分別提高6.57%，7.85%。