數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題研究

馬文杰，姜 濤

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題研究

馬文杰，姜 濤

（臺(tái)州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 317000）

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》，綜合已有相關(guān)研究，結(jié)合研究者數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題進(jìn)行分析：在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的過程中，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度的要求應(yīng)適度；對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算正確率的要求應(yīng)適度；應(yīng)充分利用學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的設(shè)計(jì)應(yīng)注重變式；應(yīng)注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的理解；應(yīng)適當(dāng)揭示數(shù)學(xué)運(yùn)算背后的算理；應(yīng)注重算法多樣化與必要優(yōu)化；應(yīng)適當(dāng)注重口算；應(yīng)適當(dāng)注重估算；應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)；應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算過程及其運(yùn)算結(jié)果的合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)；應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)驗(yàn)算等．

數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；算理；算法多樣化

數(shù)學(xué)運(yùn)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)最主要的教學(xué)內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升具有重要價(jià)值．但另一方面，有一部分中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算及其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)持有一些錯(cuò)誤或片面的認(rèn)識(shí)，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，產(chǎn)生了一些不適當(dāng)?shù)淖龇?，暴露出了一些較為突出的問題．比如有些數(shù)學(xué)教師過度強(qiáng)調(diào)運(yùn)算速度與運(yùn)算準(zhǔn)確率，把對(duì)運(yùn)算速度與運(yùn)算準(zhǔn)確率的要求提高到不適當(dāng)?shù)某潭?；有些?shù)學(xué)教師通過過度練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，加重學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，影響學(xué)生身心健康；有些數(shù)學(xué)教師過度關(guān)注具體的運(yùn)算操作過程，而對(duì)其中所蘊(yùn)含的算理重視不夠；有些數(shù)學(xué)教師一味強(qiáng)調(diào)“標(biāo)準(zhǔn)算法”與“常規(guī)算法”，而對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的多樣性與靈活性關(guān)注不夠等．鑒于此，研究在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱兩個(gè)《標(biāo)準(zhǔn)》）主要數(shù)學(xué)教育思想的指導(dǎo)下，在綜合已有相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合研究者數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)方面應(yīng)注意的若干問題進(jìn)行分析．

1 數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基本內(nèi)涵

中國歷來比較重視中小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，較早地形成了數(shù)學(xué)“雙基”，以及數(shù)學(xué)“三大能力”等數(shù)學(xué)教育理念．在兩個(gè)《標(biāo)準(zhǔn)》中，則進(jìn)一步明確提出了“四基”和“四能”，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本內(nèi)涵進(jìn)行了明確界定，并對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)提出了一系列具體要求．比如，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的10個(gè)核心詞匯之一是“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，基本內(nèi)涵與主要意義是“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力．培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”[1]．在課程總目標(biāo)中明確提出“四基”，其中數(shù)學(xué)的“基本技能”主要指向之一是數(shù)學(xué)運(yùn)算技能．在學(xué)段目標(biāo)中，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)一步對(duì)知識(shí)技能，乃至數(shù)學(xué)運(yùn)算技能提出了更加明確而具體的要求，在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理[1]．基本技能的形成，需要一定的訓(xùn)練，但要適度，不能依賴機(jī)械的重復(fù)操作，要注重訓(xùn)練的實(shí)效性．教師應(yīng)把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學(xué)生的實(shí)際，分層次地落實(shí)[1]．在第一學(xué)段計(jì)算技能評(píng)價(jià)要求中，針對(duì)每一個(gè)具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容（主要指向計(jì)算技能），提出了“速度要求”，指出這是“對(duì)第一學(xué)段有關(guān)計(jì)算技能的基本要求，這些要求是在學(xué)段結(jié)束時(shí)應(yīng)達(dá)到的，評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)注意把握尺度，對(duì)計(jì)算速度不作過高要求”[1]．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出了6個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是其中之一，其基本內(nèi)涵是“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算規(guī)則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．主要包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算規(guī)則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等”[2]．并指出“數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ)”[2]．另外，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中多次提到的“四基”“知識(shí)與技能”“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”等詞匯，也都部分（或全部）地指向數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（素養(yǎng)）的培養(yǎng)等．

由此可見，數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（素養(yǎng)）培養(yǎng)，是兩個(gè)《標(biāo)準(zhǔn)》重點(diǎn)關(guān)注的主要內(nèi)容之一，也是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主要載體與主要表現(xiàn)形式之一．

2 數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的本質(zhì)特征與教育價(jià)值

數(shù)學(xué)運(yùn)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容．盡管數(shù)學(xué)知識(shí)不僅僅是數(shù)學(xué)運(yùn)算，但對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算是其主要教學(xué)內(nèi)容之一．另外，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與鞏固，離不開數(shù)學(xué)解題，主要表現(xiàn)之一是進(jìn)行一定形式的數(shù)學(xué)運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式[3]，對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言更是如此．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算過程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)主要是程序性知識(shí)[4]．主要表現(xiàn)為特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法和運(yùn)算步驟，其背后有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)作為支撐．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算的過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的過程[2，5]．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算以外顯的運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果具體地表現(xiàn)數(shù)學(xué)推理過程及其推理結(jié)果．一般而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算是構(gòu)成抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本要素，是進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯推理的重要形式，是數(shù)學(xué)建模的重要手段[6]．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力具有一定綜合性[5，7]，是一種綜合性的能力．它不可能獨(dú)立存在和發(fā)展，而是與記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力、以及空間想象等其它認(rèn)識(shí)能力相互滲透、相互支撐著的[8]．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力具有一定的層次性．運(yùn)算能力的發(fā)展總是從簡單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)、從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來的[8]．在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)應(yīng)該根據(jù)其年齡特點(diǎn)與數(shù)學(xué)認(rèn)知水平循序漸進(jìn)，逐步深入，逐步拓展．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)應(yīng)用于日常生產(chǎn)和生活的一項(xiàng)基本技能[6]，是計(jì)算機(jī)解決問題的重要基礎(chǔ)[2]．

3 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)注意的問題

針對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常存在對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度和數(shù)學(xué)運(yùn)算正確率提出過高要求的不當(dāng)做法，提出在數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)與評(píng)價(jià)中應(yīng)遵循的兩個(gè)基本原則：對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度的要求應(yīng)適度，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算正確率的要求應(yīng)適度；針對(duì)中小學(xué)在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中存在忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算訓(xùn)練中存在機(jī)械重復(fù)、過度練習(xí)的錯(cuò)誤做法，提出在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的設(shè)計(jì)應(yīng)注重“變式”；為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則及其數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的深入理解、牢固掌握與靈活運(yùn)用，提出在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的理解，應(yīng)適當(dāng)揭示數(shù)學(xué)運(yùn)算背后的“算理”，應(yīng)注重算法多樣化與必要優(yōu)化；為了進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算方式與數(shù)學(xué)運(yùn)算手段，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的便捷性與靈活性，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，以及利用現(xiàn)代信息技術(shù)促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的教與學(xué)，提出在數(shù)學(xué)運(yùn)算中應(yīng)適當(dāng)注重“口算”與“估算”，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)；針對(duì)有些學(xué)生不重視對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果的“合理表達(dá)”，不重視對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)、回顧與反思等，提出在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算過程及其運(yùn)算結(jié)果的合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)“驗(yàn)算”．另外，從大的方面來說，分析與討論的中小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中應(yīng)注意的問題，基本上是圍繞數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的一般過程展開的，與數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的主要環(huán)節(jié)具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系．具體分析如下．

3.1 對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度的要求應(yīng)適度

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一種不良傾向．不少數(shù)學(xué)教師總是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度提出過高的要求．為了提高學(xué)生的運(yùn)算速度，增加學(xué)生對(duì)運(yùn)算的熟練程度，而一味地提升運(yùn)算訓(xùn)練量，進(jìn)一步加重了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，使學(xué)生的身心發(fā)展受到一定影響．另外，在數(shù)學(xué)試題中也常常存在運(yùn)算量過大的現(xiàn)象[9]，嚴(yán)重地?cái)D壓了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的時(shí)間，不利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與思維水平．?dāng)?shù)學(xué)考試的不良“示范效應(yīng)”又進(jìn)一步“刺激”中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，在日常教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度提出過高要求，進(jìn)行過度訓(xùn)練．在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)需要，以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要、數(shù)學(xué)認(rèn)知水平等，對(duì)其數(shù)學(xué)運(yùn)算速度提出適度要求．尤其在現(xiàn)代信息技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，單純地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)運(yùn)算速度已經(jīng)沒有多大現(xiàn)實(shí)意義．

3.2 對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算正確率的要求應(yīng)適度

為了較熟練、較牢固地掌握某一數(shù)學(xué)運(yùn)算，要求學(xué)生在其運(yùn)算過程中具有較高的正確率，這是必要的，也是重要的，但過度追求數(shù)學(xué)運(yùn)算正確率的做法并不可取．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生較牢固地掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算技能是重要的，但更為重要的是引導(dǎo)其逐步理解數(shù)學(xué)運(yùn)算技能背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)（方法）．只要學(xué)生較熟練地掌握某一數(shù)學(xué)運(yùn)算技能（可以根據(jù)不同的數(shù)學(xué)教學(xué)要求，以及不同學(xué)生的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)”，在不同階段對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算速度與正確率提出不同要求），以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就可以認(rèn)為達(dá)到了訓(xùn)練某一數(shù)學(xué)運(yùn)算技能的主要目的，而不能以單純地追求數(shù)學(xué)運(yùn)算的高正確率為目的，無謂地增加重復(fù)性機(jī)械訓(xùn)練，加重學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)．機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，會(huì)使學(xué)生喪失訓(xùn)練的興趣，同時(shí)延誤運(yùn)算能力的培養(yǎng)[10]．死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練所形成的數(shù)學(xué)技能往往是片面、畸形的，相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力其實(shí)很難形成，而未能獲得理解、尚未內(nèi)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程對(duì)于學(xué)生健全人格的塑造，其實(shí)是負(fù)面的[11]．

3.3 數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)充分利用學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，主要指其從日常生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生在日常生活中或多或少要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)運(yùn)算，必然會(huì)積累一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)．另外，數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)顯著特點(diǎn)是不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有廣泛的聯(lián)系性與相通性．學(xué)生在前面所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，及所獲得的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，往往成為理解新知識(shí)的重要基礎(chǔ)．在新的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過程中，應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，乃至數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，并以此為重要基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生逐步理解與同化新的數(shù)學(xué)運(yùn)算．比如，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生理解有理數(shù)的加法法則及其乘法法則的合理性，教學(xué)中應(yīng)善于從學(xué)生的生活經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生活情境，從分析情境中的事理入手，提煉其中的數(shù)學(xué)道理，驗(yàn)證相關(guān)運(yùn)算法則規(guī)定的合理性[12]．

3.4 數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的設(shè)計(jì)應(yīng)注重變式

在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)運(yùn)算材料時(shí)，應(yīng)適當(dāng)體現(xiàn)變式，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的深度理解、牢固掌握與靈活運(yùn)用．所設(shè)計(jì)的運(yùn)算材料應(yīng)該具有以下全部或部分特征．① 典型性．揭示或體現(xiàn)某一數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)內(nèi)容與本質(zhì)特征．② 針對(duì)性．根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，以及某一數(shù)學(xué)運(yùn)算的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)相應(yīng)運(yùn)算材料．③ 引導(dǎo)性．為學(xué)生學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)運(yùn)算提供典型“樣例”，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者逐步理解、掌握與運(yùn)用隱含其中的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則．④ 變式性．通過對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算材料的適當(dāng)變化，突出與強(qiáng)調(diào)其中的不變因素與關(guān)鍵特征，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的深入理解、牢固掌握與靈活運(yùn)用．⑤ 適切性．所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)運(yùn)算材料，從其難度和數(shù)量上來說，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是適宜的．既可以滿足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，又不至于加重其課業(yè)負(fù)擔(dān)．尤其在當(dāng)下學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)普遍較多的情形下，強(qiáng)調(diào)布置適量數(shù)學(xué)作業(yè)更具有特別的意義．可以通過科學(xué)、嚴(yán)格、規(guī)范的研究，進(jìn)一步明確普通的中小學(xué)生學(xué)習(xí)某一特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)容，其適宜的訓(xùn)練量與訓(xùn)練頻率，等等．⑥ 多樣性．題目類型豐富，形式多樣．以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性．

3.5 應(yīng)注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的理解

任何一種數(shù)學(xué)運(yùn)算都對(duì)應(yīng)著具有一定普適性的運(yùn)算規(guī)則．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則所體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)知識(shí)，或數(shù)學(xué)上的某種規(guī)定．掌握必須的運(yùn)算法則，是學(xué)習(xí)者能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提，面對(duì)具體的問題時(shí)要能夠選擇方法或者設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，運(yùn)算過程中還要求有熟練的運(yùn)算技能[4]．學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，既是其合理選擇與運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算規(guī)則的過程，也是進(jìn)一步理解與鞏固相應(yīng)運(yùn)算規(guī)則的過程．在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過程中，不能僅僅關(guān)注于操作性運(yùn)算技能的訓(xùn)練，更不應(yīng)該熱衷于機(jī)械的重復(fù)性訓(xùn)練，而應(yīng)該在運(yùn)算操作過程中引導(dǎo)學(xué)生逐步加深對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則，及其數(shù)學(xué)意義的理解，并以適當(dāng)方式使運(yùn)算規(guī)則外顯化、具體化和程序化[13]．在數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)中，要讓學(xué)生理解規(guī)則，理解的意思不是只掌握算法，會(huì)使用規(guī)則作具體的運(yùn)算，更重要的還在于讓學(xué)生理解算理，理解算理方能舉一反三[4]．

3.6 應(yīng)適當(dāng)揭示數(shù)學(xué)運(yùn)算背后的算理

算理是運(yùn)算的基礎(chǔ)、算法是運(yùn)算的建構(gòu)，算理是隱性的、算法是顯性的[5，14]．一種數(shù)學(xué)運(yùn)算必然體現(xiàn)為一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算程序，蘊(yùn)含著相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)（算理）．學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)運(yùn)算，不僅僅要學(xué)習(xí)相應(yīng)的運(yùn)算技能，更重要的是要逐步理解與掌握其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)．結(jié)合具體的運(yùn)算過程，對(duì)其算理進(jìn)行適當(dāng)揭示，逐步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)其運(yùn)算意義的深入理解，既是數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)的必要環(huán)節(jié)，也是進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)運(yùn)算理解水平的基本手段．應(yīng)在具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則運(yùn)用過程中，逐步促進(jìn)學(xué)生對(duì)相應(yīng)“算理”的深入理解，發(fā)展靈活的解題策略[15]，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相應(yīng)運(yùn)算規(guī)則的掌握與運(yùn)用能力．對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，應(yīng)“突出條件化知識(shí)的教學(xué)”[13]，應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生逐步明確以下3個(gè)基本問題：①運(yùn)算條件，即每一種數(shù)學(xué)運(yùn)算的適用條件與使用范圍；②運(yùn)算方法，即具體的運(yùn)算方法和操作程序；③運(yùn)算原理，即數(shù)學(xué)運(yùn)算方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)．引導(dǎo)學(xué)生逐步“明晰算理，掌握算法”，并實(shí)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在統(tǒng)一[3]．對(duì)算理的理解是一個(gè)由具體到抽象，再到更廣泛的具體[8]，以及更高級(jí)抽象的循環(huán)反復(fù)、逐步深入、不斷發(fā)展的認(rèn)識(shí)過程．

3.7 應(yīng)注重算法多樣化與必要優(yōu)化

在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分利用圖形、圖示，或直觀模型，促進(jìn)學(xué)生對(duì)題目信息深入理解與適當(dāng)轉(zhuǎn)化，促進(jìn)其對(duì)運(yùn)算思路的有效探求，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算過程的具體化與直觀化，或者尋找運(yùn)算過程的直觀理解與幾何解釋等．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生盡可能發(fā)掘多樣化算法，而不是僅僅局限于某一個(gè)（類）算法，以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與靈活性．計(jì)算的靈活性表現(xiàn)為計(jì)算的角度靈活、方法靈活、過程靈活、知識(shí)運(yùn)用靈活[10]．另外，在學(xué)生得到多種算法的基礎(chǔ)上，還應(yīng)引導(dǎo)其進(jìn)一步分析不同算法的區(qū)別與聯(lián)系，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃惴▋?yōu)化．比較優(yōu)化的算法應(yīng)該具有以下方面的某些或全部特征：① 普適性，即通性通法，可以解決某一類問題，在一定程度上揭示了該類問題的本質(zhì)特征與結(jié)構(gòu)；② 重要性，在解題過程中運(yùn)用了中小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容與重要方法，或?qū)W(xué)生當(dāng)下或后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有重要價(jià)值等；③ 自然性，算法是自然的，容易想到，易于理解，教師易教，學(xué)生易學(xué)；④ 簡潔性，解題思路與解題過程簡潔流暢；⑤ 奇異性，所得算法既在意料之外，又在情理之中．具有奇異性的算法往往利用了某一數(shù)學(xué)問題的特別信息，揭示了其特殊結(jié)構(gòu)等．

3.8 應(yīng)適當(dāng)注重口算

口算也稱心算，是一種不借助計(jì)算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計(jì)算方式[16]．在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生具有一定的口算能力是必要的．口算可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與記憶能力，提升其運(yùn)算速度與運(yùn)算便捷性等．簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算可以直接通過口算進(jìn)行，而沒有必要進(jìn)行筆算，或借助計(jì)算機(jī)（器）進(jìn)行運(yùn)算．在缺乏紙筆，或無法直接運(yùn)用計(jì)算機(jī)（器）的情況下，如果需要進(jìn)行一定的簡單數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以通過口算方式進(jìn)行．在日常生活中，口算是一種較為常用的運(yùn)算方式．人們在日常生活中進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，一般直接通過口算（心算）完成，并不會(huì)借助紙筆，或其它計(jì)算工具．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)通過適當(dāng)方式，培養(yǎng)學(xué)生基本的口算能力．在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，針對(duì)簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，教師可以提出一定的口算要求，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用包括口算在內(nèi)的多元化計(jì)算方式，并適當(dāng)進(jìn)行一定的口算示范等．

3.9 應(yīng)適當(dāng)注重估算

估算主要是指在計(jì)算或者測量中，無法或無須精確計(jì)算時(shí)所采用的一種數(shù)學(xué)方法．廣義的估算包括對(duì)計(jì)算的估算、對(duì)數(shù)量的估算以及對(duì)測量的估算，分別簡稱估算（狹義）、估數(shù)、估測[17]．估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，數(shù)學(xué)運(yùn)算的靈活性，也可以通過估算檢驗(yàn)運(yùn)算過程是否合理，運(yùn)算結(jié)果是否正確等．另外，在日常生活中，估算也有一定用途．比如，在超市查看購物小票時(shí)，常常通過湊整的方式進(jìn)行對(duì)賬，進(jìn)行家庭旅行預(yù)算時(shí)，根據(jù)行程安排大體預(yù)計(jì)所需費(fèi)用等．進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需要，引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)學(xué)習(xí)與運(yùn)用一些常用的估算方法，以初步培養(yǎng)其估算意識(shí)與估算能力．比如，在面對(duì)一個(gè)問題情境時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先估算大致結(jié)果，再進(jìn)行精算驗(yàn)證，或者在學(xué)生提出多種解決問題的方式之后，引導(dǎo)其通過估算排除明顯不合理的解決方式，再進(jìn)行精確計(jì)算得出確切結(jié)果[18]，也可以通過適當(dāng)估算對(duì)已完成的數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)算，以判斷其運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果的正確性與合理性等．

3.10 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，以提高其數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，逐步培養(yǎng)其運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意識(shí)、能力與習(xí)慣．同時(shí)，現(xiàn)代信息技術(shù)的合理運(yùn)用，可以在一定程度上把學(xué)生從繁重機(jī)械的數(shù)學(xué)運(yùn)算中解放出來，這對(duì)減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)具有重要意義．另外，現(xiàn)代信息技術(shù)可以在一定程度上激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，并為其進(jìn)行數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造提供工具與技術(shù)支持等．但要注意的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)的使用要合理與適度，不能對(duì)其造成過度依賴，以免削弱中小學(xué)生基本數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等．在中小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算具有基本的理解，較牢固地掌握了基本運(yùn)算技能的基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)其適當(dāng)運(yùn)用計(jì)算機(jī)（器）等解決一些繁重機(jī)械的數(shù)學(xué)運(yùn)算，或者運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)．如通過計(jì)算機(jī)編程、引導(dǎo)學(xué)生探究算法[4]．現(xiàn)代信息技術(shù)的作用不能完全替代原有的教學(xué)手段，其真正的價(jià)值在于實(shí)現(xiàn)原有的教學(xué)手段難以達(dá)到甚至達(dá)不到的效果[1]．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)更多地關(guān)注如何利用信息技術(shù)所提供的動(dòng)態(tài)跟蹤功能、計(jì)算功能、通信功能和情境模擬功能等更高層次的技術(shù)特點(diǎn)優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知與理解過程[12]．

3.11 應(yīng)注重運(yùn)算過程及其運(yùn)算結(jié)果的合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算，不僅要會(huì)算，而且要會(huì)合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)相應(yīng)的運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果等．引導(dǎo)學(xué)生通過適當(dāng)方式呈現(xiàn)、表達(dá)與解釋其運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果，可以培養(yǎng)其邏輯思維能力、數(shù)學(xué)交流與表達(dá)能力，加深其對(duì)相應(yīng)運(yùn)算程序，及其所蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的理解．另一方面，也可以有效檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解程度、掌握情況與運(yùn)用能力等．因此，在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過程中，不能僅僅關(guān)注運(yùn)算結(jié)果是否正確，更重要的是分析運(yùn)算方法是否適當(dāng)，運(yùn)算過程是否合理，要引導(dǎo)學(xué)生以適當(dāng)方式合理簡潔地呈現(xiàn)、表達(dá)與解釋其運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果．在呈現(xiàn)、表達(dá)與解釋運(yùn)算思路與運(yùn)算步驟時(shí)，應(yīng)要求學(xué)生做到“有理有序、不重不漏”．有理，即每一步運(yùn)算都要有依據(jù)；有序，即解題要有順序；不重，即步驟不要重復(fù)；不漏，即步驟不要跳躍[19]．在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過程中，可以通過“錯(cuò)例矯正”“樣例展評(píng)”，以及“范例摹寫”等多樣化課堂活動(dòng)，適當(dāng)展示學(xué)生運(yùn)算過程的“雙向”示例．正確的范例，告知學(xué)生書寫運(yùn)算過程必須守住的“底線”，起到了榜樣示范作用；錯(cuò)誤的示例，展示學(xué)生的典型錯(cuò)誤，起到了警示提醒作用[20]．另外，在學(xué)生通過書面或口頭的形式合理呈現(xiàn)與恰當(dāng)表達(dá)其數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，還應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)與鼓勵(lì)其對(duì)整個(gè)運(yùn)算過程進(jìn)行一定回顧與反思，以不斷積累、逐步完善相應(yīng)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)等．要提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，就應(yīng)該竭力將運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)顯性化、算法化，從而形成類型，促進(jìn)圖式的建立[21]．

3.12 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)驗(yàn)算

驗(yàn)算，主要指以一定的數(shù)學(xué)方法檢查與驗(yàn)證解決數(shù)學(xué)問題的方法，以及已完成的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果是否正確，是否合理的過程[5，22]．驗(yàn)算是運(yùn)算教學(xué)（乃至整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)）的必要組成部分[8]．通常情況，在學(xué)生經(jīng)過具體的運(yùn)算過程，得到一定運(yùn)算結(jié)果之后，還應(yīng)引導(dǎo)其進(jìn)行適當(dāng)驗(yàn)證與驗(yàn)算，以判斷其運(yùn)算方法、運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果正確與否，如果是具有一定實(shí)際背景的問題，還要引導(dǎo)其適當(dāng)分析解答結(jié)果是否滿足實(shí)際問題的要求（具有實(shí)際意義）．通過驗(yàn)算可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的檢驗(yàn)意識(shí)與檢驗(yàn)?zāi)芰?，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真與細(xì)心的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生對(duì)運(yùn)算過程的思維監(jiān)控能力等[23-42]．可以引導(dǎo)學(xué)生用原來的算法重新演算一遍進(jìn)行驗(yàn)算，或者運(yùn)用有別于原來算法的新的計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)算，運(yùn)用估算進(jìn)行驗(yàn)算，還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)（器）進(jìn)行驗(yàn)算，或者通過逆運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)算等．驗(yàn)算的過程，既是檢驗(yàn)原來運(yùn)算過程與運(yùn)算結(jié)果是否合理、正確與有效的過程，也是從不同角度，運(yùn)用不同方法進(jìn)一步深入理解原問題及其解答的過程．

4 結(jié)語

對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算是最核心、最關(guān)鍵的教學(xué)內(nèi)容之一，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是最基本、最重要的教學(xué)任務(wù)之一．在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)時(shí)，既要遵循兩個(gè)《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本要求，也要結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需要，對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行科學(xué)分析、合理定位與精準(zhǔn)施教．

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On Issues in Developing Students’ Abilities about Mathematical Operations

MA Wen-jie, JIANG Tao

(School of Electronics and Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang Taizhou 317000, China)

Based on the Compulsory Education Mathematics Curriculum Standard (2011 edition) and General Senior High School Mathematics Curriculum Standard (2017 edition), this paper pursues additional analysis related to some outstanding issues in the teaching of mathematics operations and the cultivation of mathematics operational ability in primary and high schools by synthesizing relevant research and teaching experiences of researchers. Highlights are as follows: In the process of cultivating students’ mathematical operational ability, requirements for speed and accuracy of mathematical operations should be moderate; students’ existing mathematical experience should be fully utilized; variants should be properly reflected in the design of operational materials; understanding and mastery of mathematical operation rules and their “algorithms” should be emphasized; the diversity and necessary optimization of algorithms should be emphasized; and “oral calculation” and “estimation” should be moderately emphasized. Mathematics teachers in elementary and high schools should pay attention to rational use of modern information technology, rational presentation and proper expression of mathematical operation processes and results, and guiding students to carry out appropriate “checking” of mathematical operation processes and results.

mathematical operation; mathematical operational ability; algorithm; algorithm diversity

G633.6

A

1004–9894（2021）06–0008–05

馬文杰，姜濤．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)應(yīng)注意的若干問題研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：8-12．

2021–08–02

浙江省2019年度教育科學(xué)規(guī)劃研究重點(diǎn)課題——基于教師教育共同體的卓越教師培養(yǎng)模式研究（2019SB086）；2019年度臺(tái)州市教育規(guī)劃課題——基于“學(xué)習(xí)共同體”促進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的“研學(xué)模式”研究（gg19006）

馬文杰（1978—），男，甘肅天水人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]