深度思考之三角函數(shù)
——數(shù)學(xué)文化中的三角問(wèn)題

王思儉

中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成果輝煌，涌現(xiàn)一大批數(shù)學(xué)家，他們留下了許多名著，如《海島算經(jīng)》《九章算術(shù)》等，許多成果在當(dāng)時(shí)都處于世界領(lǐng)先水平．繼承和發(fā)揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化是十分必要的，弘揚(yáng)古代科學(xué)家精神是永恒的文化自信．下面，一起來(lái)看看我班同學(xué)在一堂數(shù)學(xué)文化課上的表現(xiàn)吧．

真題再現(xiàn)1（2021·全國(guó)乙卷理科第9 題）魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高，如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿，其高度稱(chēng)為“表高”，EG長(zhǎng)稱(chēng)為“表距”，GC和EH的長(zhǎng)都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的長(zhǎng)度差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高AB=（ ）

勤奮的小A：我嘗試了一下，一直在簡(jiǎn)單的三角形相似里繞圈，始終繞不出來(lái)．

“長(zhǎng)手哥”支一招：讀懂題意是第一位的．多讀幾遍題，理解題目中各個(gè)名詞的含義，并對(duì)照?qǐng)D形標(biāo)出這些名詞，如“表高”是哪條線段？“表目距”是哪條線段？再研究這些線段在哪幾個(gè)直角三角形中，最后解直角三角形．

收納袋

數(shù)學(xué)文化題中往往會(huì)出現(xiàn)一些新名詞，理解其含義是首要的；其次，我國(guó)古代數(shù)學(xué)比較注重應(yīng)用性，本題為測(cè)量海島的高，“如何測(cè)量”是接下來(lái)要理解的．

恍然的小A：表面上是關(guān)于線段長(zhǎng)度的題，但如果脫離角度，很難得到結(jié)果，所以我嘗試設(shè)角度．

設(shè)∠AHB=α，∠ACB=β，由已知條件得DE=FG．

在Rt△DEH中，；在Rt△FGC中，

因此，在Rt△ABH中，

在Rt△ABC中，

代入AB的計(jì)算式子，得又怎么轉(zhuǎn)化呢？

機(jī)靈的小B：想辦法消去HC，同時(shí)要湊出分母CG-EH．

因?yàn)镠C=HG+CG=EG-EH+CG，代入AB的算式，

又因?yàn)镈E是表高，所以選A．

機(jī)智的小C：我有妙招！根據(jù)等高且垂直AC，這樣可以構(gòu)成矩形，同時(shí)選項(xiàng)中有“表高”，所以就想到連接FD．

收納袋

你發(fā)現(xiàn)測(cè)量高度問(wèn)題一般要用到正切的原因了嗎？

要測(cè)量的高度為直角三角形的一條直角邊，而能簡(jiǎn)單測(cè)出來(lái)作為已知條件的則有仰角以及位于地面的另一條直角邊長(zhǎng)，正切便呼之欲出了！

連接FD并延長(zhǎng)，交AB于M，則AB=AM+MB．

又DF∥AC，所以∠BDM=∠BHA=α，∠BFM=∠BCA=β，

“長(zhǎng)手哥”有話說(shuō):解法一在兩組相似三角形中分別表示出AB的長(zhǎng)，思路自然，解法二簡(jiǎn)單明了，運(yùn)算速度較快．兩種解法都體現(xiàn)了“算兩次”的數(shù)學(xué)思想，且都跟正切聯(lián)系緊密．“算兩次”也是測(cè)量問(wèn)題中常用的重要方法．

真題再現(xiàn)2（2021·全國(guó)甲卷第8 題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高度為8848．86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠穆朗瑪峰測(cè)量法之一，右圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′′C′,,滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°，由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100，由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（）（ ）

A．346 B．373 C．446 D．473

踴躍的小A：作CD⊥BB′于D，則BD=100，由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，所以由平面幾何知識(shí)得

敲黑板

你“get”到“三角高程測(cè)量法”這個(gè)名字的點(diǎn)了嗎？

上一題是在一個(gè)垂直于地面的平面上進(jìn)行測(cè)算，而此題測(cè)量法相當(dāng)于將原平面進(jìn)行了折疊，且A，B，C都不在地面上，這也為測(cè)量非常高的山峰，提供了合理的前期數(shù)據(jù)．（如CC′也可以同樣由更低的高度來(lái)測(cè)算得到）

在△A′B C′′中，由正弦定理得

但怎樣利用由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°求AA′CC′-？

機(jī)智的小B：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′于E，因 此∠ABE=45°，△ABE為等腰直角三角形，所以AE=BE．又可以證明四邊形A′B′BE為矩形，所以

過(guò)C作CF⊥AA′于F，于是AA′-CC′=AF，再利用正弦定理求出

但C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角不知道，又如何求AF呢？

“長(zhǎng)手哥”支一招：你已經(jīng)求出再觀察圖形幾何特征，想辦法求EF．

恍然的小B：連接DF，因?yàn)镃′C∥B′D，C′C∥A′F，且C′C=B′D，C′C=A′F，所以四邊形A′B′DF為平行四邊形，且為矩形，因此DF∥B A′′，且DF=B A′′，所以DF∥BE，且DF=BE，所以四邊形BEFD為平行四邊形，也為矩形，于是有EF=BD=100．

“長(zhǎng)手哥”做總結(jié)：解三角形文化背景的實(shí)際問(wèn)題四部曲：

1.首先閱讀理解題意，從字里行間和幾何圖形中，分清已知條件是什么，要求的目標(biāo)是什么．

2.其次確定求解策略，從已知目標(biāo)到待求目標(biāo)應(yīng)該怎么走？有哪些可用的求解工具（正弦定理、余弦定理、面積公式等）？還缺少什么條件？又怎樣創(chuàng)造條件（如設(shè)相關(guān)未知量、整體代換等）？是否有隱含條件沒(méi)有找到（如銳角三角形）？

3.再其次建立數(shù)學(xué)模型（如三角函數(shù)、直角三角形中正切函數(shù)等），再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解（如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、換元法等）．

4.最后回到實(shí)際問(wèn)題作答.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.（2020·北京卷）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（π Day）．歷史上，求圓周率π 的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π 的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π 的近似值的表達(dá)式是（ ）

2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=(弦×矢+矢2)．弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中的“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積存在誤差．現(xiàn)有圓心角，弦長(zhǎng)等于9 m 的弧田．

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得的結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）