齒側(cè)間隙優(yōu)化的雙圓弧諧波齒輪傳動動力學(xué)分析*

沈云波，賈婧瑜，支立輝

(西安工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710021)

不同于傳統(tǒng)齒輪傳動，諧波齒輪傳動主要由波發(fā)生器、柔輪和剛輪三部分組成，嚙合傳動主要通過柔輪的彈性變形來實現(xiàn)[1]，廣泛應(yīng)用于航空、航天以及機器人等高端機械裝備[2-3]。文獻[4]對雙圓弧齒形進行了優(yōu)化設(shè)計，建立了目標函數(shù)，同時考慮約束條件和設(shè)計變量，通過編程求得最優(yōu)解。文獻[5]對諧波減速器柔輪進行仿真分析，同時考慮了多個尺寸柔輪參數(shù)，采取加權(quán)求和的方法得到單目標函數(shù)。文獻[6]對雙圓弧齒輪構(gòu)建優(yōu)化模型，對齒廓參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計從而改善齒輪傳動性能。文獻[7]對諧波齒輪傳動中剛輪和柔輪的齒廓進行優(yōu)化設(shè)計，并對系統(tǒng)傳動誤差進行了研究。文獻[8]提出了一種柔輪齒廓線的修正方法，建立有限元模型并進行驗證分析。文獻[9]針對無公切線雙圓弧齒廓，提出了一種多目標的優(yōu)化設(shè)計方法，同時建立了優(yōu)化模型，研究了各種條件下齒形參數(shù)的變化。文獻[10]運用ABAQUS軟件建立諧波齒輪傳動的三維接觸模型，對柔輪進行變形分析并從中得到了徑向和切向變形量，分析了擬合變形和理論變形函數(shù)的差異。文獻[11]建立諧波齒輪傳動有限元分析模型，對柔輪運動軌跡進行仿真分析得到柔輪多截面的最大徑向位移，分析了不同位移量對柔輪齒廓修形量的影響。此外，國內(nèi)外學(xué)者在諧波齒輪傳動新型材料應(yīng)用和刀具優(yōu)化設(shè)計等方面均做了大量研究，對后續(xù)研究的開展具有重要參考價值[12-13]。

文獻[14]中本文作者對雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動進行了研究，通過建立雙圓弧直線柔輪齒廓方程，獲得了在嚙合中柔輪變形轉(zhuǎn)角位置精確計算方法和剛輪齒形的數(shù)學(xué)模型，并研究了齒側(cè)間隙和最大有效嚙合齒高的優(yōu)化求解方法。因此，本文在諧波齒輪傳動齒廓優(yōu)化的基礎(chǔ)上，建立諧波齒輪機構(gòu)三維有限元精確模型，通過動態(tài)仿真分析的方法，研究嚙合傳動中柔輪的動力學(xué)特性，具體為柔輪齒根處應(yīng)力、應(yīng)變及其角速度變化規(guī)律。

1 諧波齒輪齒廓優(yōu)化建模

柔輪中線的變形規(guī)律將直接影響諧波齒輪的傳動性能，因而，研究剛輪和柔輪輪齒間的嚙合運動，即研究柔輪齒廓和柔輪中線變形規(guī)律從而確定剛輪齒廓的過程。

1.1 柔輪齒廓數(shù)學(xué)模型

圖1 柔輪公切線雙圓弧齒廓

表1 柔輪齒廓主要參數(shù)表

(1)

(2)

右側(cè)直線BC段方程:

rBC=[ρacosδ+xM+(s-l1)sinδ,ρasinδ+

yM-(s-l1)cosδ,1]。

(3)

nBC=[-cosδ,-sinδ,1]。

(4)

(5)

(6)

1.2 剛輪齒廓數(shù)學(xué)模型

由運動學(xué)推導(dǎo)的齒輪副嚙合方程[14]為

(7)

式中：ni為齒廓上接觸點的公法矢；ri為柔輪齒廓坐標；B為關(guān)系矩陣，且

(8)

式中：β為Y1方向與剛輪齒槽對稱線的夾角；μ為變形后柔輪極徑與Y1軸的夾角；γ為變形后柔輪極徑與剛輪齒槽對稱線的夾角。

從柔輪坐標系到固定坐標系的坐標變換矩陣為

(9)

根據(jù)以上的推導(dǎo)，可建立剛輪理論齒廓的數(shù)學(xué)模型如下：

(10)

在建立雙共軛雙圓弧諧波齒輪齒形的基礎(chǔ)上，優(yōu)化齒廓參數(shù)減小齒側(cè)間隙，獲得運轉(zhuǎn)平穩(wěn)和高承載能力的諧波齒輪傳動[15]。

2 動力學(xué)仿真建模

根據(jù)結(jié)構(gòu)尺寸計算公式，設(shè)計計算了剛輪、柔輪以及波發(fā)生器的主要結(jié)構(gòu)尺寸[15]，并按照文獻[14]優(yōu)化前后的齒側(cè)間隙和齒廓參數(shù)，建立了各構(gòu)件的三維模型。六面體單元網(wǎng)格模型如圖2所示，網(wǎng)格模型局部放大如圖3所示。

圖2 網(wǎng)格模型

圖3 網(wǎng)格模型局部放大圖

諧波齒輪各構(gòu)件材料設(shè)置見表2。

表2 材料設(shè)置

動力學(xué)仿真過程如下：① 模擬波發(fā)生器裝入柔輪，使兩凸輪沿波發(fā)生器長軸向外平移最大徑向變形量的長度，迫使柔輪變形；② 模擬剛輪裝配過程，使剛輪沿z軸平移；③ 使波發(fā)生器順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速大小從0過渡到3 000 r·min-1，柔輪負載轉(zhuǎn)矩大小從0過渡到10 N·m，方向和波發(fā)生器轉(zhuǎn)速一致；④ 保持第3步末的狀態(tài)運動。

定義各構(gòu)件之間接觸類型為摩擦接觸。其中，凸輪外表面與柔輪內(nèi)表面接觸，摩擦系數(shù)取為0.02；柔輪外齒廓面和剛輪內(nèi)齒廓面接觸，摩擦系數(shù)取為0.12。獲得的動力學(xué)仿真模型如圖4所示。

圖4 諧波齒輪動力學(xué)仿真模型

3 動力學(xué)仿真分析

通過諧波齒輪動力學(xué)仿真，獲得齒側(cè)間隙優(yōu)化前后波發(fā)生器長軸處柔輪齒根的應(yīng)變和應(yīng)力，并進行比較分析。

3.1 柔輪齒根處的應(yīng)變及應(yīng)力對比分析

圖5和圖6分別為柔輪齒根處最大主應(yīng)變和最大主應(yīng)力圖。由兩圖可知，優(yōu)化后柔輪齒根處的最大主應(yīng)變幅值和最大主應(yīng)力幅值均小于優(yōu)化前柔輪齒根處的最大主應(yīng)變幅值和最大主應(yīng)力幅值。

圖5 柔輪齒根處最大主應(yīng)變

圖6 柔輪齒根處最大主應(yīng)力

圖7和圖8分別為柔輪齒根處沿XY平面的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力圖。

圖7 柔輪齒根處沿XY平面的剪切應(yīng)變

圖8 柔輪齒根處沿XY平面的剪切應(yīng)力

由兩圖可知，優(yōu)化后柔輪齒根處沿XY平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值均明顯小于優(yōu)化前柔輪齒根處沿XY平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值。

圖9和圖10分別為柔輪齒根處沿XZ平面的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力圖。由兩圖可知，其剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力的波動情況相似。優(yōu)化后柔輪齒根處沿XZ平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值均較優(yōu)化前柔輪齒根處沿XZ平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值小幅減小。

圖9 柔輪齒根處沿XZ平面的剪切應(yīng)變

圖10 柔輪齒根處沿XZ平面的剪切應(yīng)力

圖11和圖12分別為柔輪齒根處沿YZ平面的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力圖。由兩圖可知，優(yōu)化后柔輪齒根處沿YZ平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值均明顯小于優(yōu)化前柔輪齒根處沿YZ平面的剪切應(yīng)變幅值和剪切應(yīng)力幅值。

圖11 柔輪齒根處沿YZ平面的剪切應(yīng)變

圖12 柔輪齒根處沿YZ平面的剪切應(yīng)力

由3個平面的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力可知，優(yōu)化后XY平面、YZ平面和XZ平面的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力情況均有明顯改善，因此，優(yōu)化后柔輪齒根處的剪切應(yīng)變和剪切應(yīng)力情況總體有明顯改善。

對比最大主應(yīng)力圖和剪切應(yīng)力圖可知，最大主應(yīng)力遠大于剪切應(yīng)力，因此，柔輪主要的失效形式為齒根處的拉伸疲勞斷裂。通過以上對應(yīng)力、應(yīng)變的分析可知，優(yōu)化后的柔輪在傳動過程中，其齒根處的最大主應(yīng)變、最大主應(yīng)力、剪切應(yīng)變以及剪切應(yīng)力均有所減小，說明優(yōu)化后柔輪齒根處的應(yīng)力狀況更好，其承載能力更高，使用壽命也相應(yīng)延長。

3.2 柔輪角速度對比分析

進行柔輪齒根處等效應(yīng)力和角速度測試，仿真負載轉(zhuǎn)矩大小為7.8 N·m，結(jié)果如圖13～14所示。由圖14可知波發(fā)生器從0.020 s后開始旋轉(zhuǎn)，前0.020 s內(nèi)，柔輪不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，角速度為零；在0.020～0.025 s內(nèi)，柔輪順時針旋轉(zhuǎn)，波發(fā)生器的轉(zhuǎn)速逐漸增大，此現(xiàn)象是由于柔輪受波發(fā)生器外力作用產(chǎn)生周向變形所致。在0.025～0.045 s內(nèi)，柔輪逆時針旋轉(zhuǎn)，由于波發(fā)生器的轉(zhuǎn)速和柔輪負載恒定，柔輪的角速度也趨于平穩(wěn)，由計算可得，柔輪轉(zhuǎn)速應(yīng)在3.927 rad·s-1上下波動。

圖13 柔輪齒根處等效應(yīng)力

圖14 柔輪角速度

4 結(jié) 論

在雙圓弧諧波齒輪齒形優(yōu)化建模的基礎(chǔ)上，建立各構(gòu)件的三維模型，通過加載動態(tài)仿真分析了柔輪齒根處應(yīng)力、應(yīng)變及其運轉(zhuǎn)的平穩(wěn)性，結(jié)論如下:

1) 柔輪齒根處最大主應(yīng)力遠遠大于剪切應(yīng)力，表明柔輪其主要的失效形式為齒根處的拉伸疲勞斷裂。

2) 優(yōu)化后其齒根處的最大主應(yīng)變、最大主應(yīng)力、剪切應(yīng)變以及剪切應(yīng)力均有所減小，表明優(yōu)化后柔輪齒根處的應(yīng)力狀況更好，其承載能力提高，使用壽命延長。

3) 提出了諧波齒輪力學(xué)特性和平穩(wěn)性有限元動態(tài)分析方法，為高性能諧波齒輪優(yōu)化設(shè)計提供了一種普適性的分析手段。