關(guān)于S-系的正合序列及平坦性

李煥云，王勝杰

(河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院 公共教學(xué)部，河南 鄭州 450046)

0 引言

設(shè)S是幺半群，一個(gè)非空集合A被稱作是右S-系，記作AS。如果存在一個(gè)映射f:A×S→A,(a,s)|→as,使得對(duì)任意的a∈A,s,t∈S,滿足(as)t=a(st),a1=1。設(shè)A、B是右S-系, 稱f:AS→BS是右S-系同態(tài)，如果對(duì)任意的a∈A,s∈S,滿足f(as)=f(a)s。 以下除特殊聲明以外，S-系均指右S-系。同樣的方法，可以定義左S-系以及左S-系同態(tài)。

圖1 拉回圖 Fig.1 pullback diagram

在圖1中作張量積A?·,則可得交換圖如圖2所示。

圖2 交換圖 Fig.2 Commutative diagram

對(duì)于圖2中1A?f1和1A?g1映射的拉回,可取P′={(a?m,a′?n)∈(AS?SM)×(AS?SN)|a?f1(m)=a′?g1(n)}。由拉回定義, 則存在唯一同態(tài)φ:AS?SP→P′,使得拉回圖交換，如圖3所示。

圖3 拉回圖Fig.3 Pullback diagram

定義映射φ(a?(m,n))=(a?m,a?n),對(duì)任意的a∈A,(m,n)∈SP，則稱φ是相對(duì)于A來(lái)說(shuō)相應(yīng)于拉回圖P(M,N,f1,g1,Q)的映射。而所有的平坦性質(zhì)關(guān)系如圖4所示。

圖4 關(guān)系圖Fig.4 Relation diagram

1 主要結(jié)果

引理1[6]令S是幺半群,a,a′∈A,b,b′∈B,則a?b=a′?b′∈AS?SB?存在自然數(shù)m和元素a1,a2,…,am∈A,b2,b3,…,bm∈B,s1,t1,s2,t2…,sm,tm∈S,使得

a=a1s1,

證明假設(shè)(x?m,y?n)∈P(A?M,A?N,1A?f1,1A?g1,A?Q),其中x,y∈A,m∈M,n∈N,則x?f1(m)=y?g1(n)∈A?Q，如果有a∈A,(m′,n′)∈P(M,N,f1,g1,Q),使得φ(a?(m′,n′))=(x?m,y?n)，則結(jié)論成立。

由于x?f1(m)=y?g1(n)∈A?Q,由引理1, 則存在自然數(shù)k和元素a1,a2,…,ak∈A,q2,q3,…，qk∈Q,s1,t1,s2,t2,…,sk,tk∈S，使得

x=a1s1,
a1t1=a2s2,s1f1(m)=t1q2,
a2t2=a3s3,s2q2=t2q3,
? ?
aktk=y,skqk=tkg1(n)。

(1)

將g作用于式(1)的左列可得

g(x)=g(a1)s1,g(a1)t1=g(a2)s2,s1f1(m)=t1q2,
g(a2)t2=g(a3)s3,s2q2=t2q3,
? ?
g(ak)tk=g(y),skqk=tkg1(n),

即g(x)?f1(m)=g(y)?g1(n)∈C?Q,因此得

(g(x)?m,g(y)?n)∈P(C?M,C?N,1C?f,1C?g1,C?Q1)。

由假設(shè)，對(duì)于C，映射φ相應(yīng)于拉回圖P(M,N,f1,g1,Q)是滿的，可得存在c″∈C,m′∈M,n′∈N, 使得φ(c″?(m′,n′))=(g(x)?m,g(y)?n),即g(x)?m=c″?m′,g(y)?n=c″?n′。因此存在自然數(shù)p和元素c1,c2,…,cp∈C,m2,m3,…,mp∈M,u1,v1,u2,v2,…,up,vp∈S,使得

g(x)=c1u1,
c1v1=c2u2,u1m=v1m2,
c2v2=c3u3,u2m2=v2m3,
? ?
cpvp=c″,upmp=vpm′。

(2)

又由條件存在g′:C→A,使得g′g=1A。對(duì)于式(2)的左列,將g′作用可得

x=g′(c1)u1,
g′(c1)v1=g′(c2)u2,u1m=v1m2,
g′(c2)v2=g′(c3)u3,u2m2=v2m3,
? ?
g′(cp)vp=g′(c″),upmp=vpm′,

可得x?m=g′(c″)?m′∈A?M,同理可得y?n=g′(c″)?n′∈A?N,因此φ(g′(c″)?(m′,n′))=(g′(c″)?m′,g′(c″)?n′)=(x?m,y?n)。

證明對(duì)任意a,a′∈A,m,m′∈M,n,n′∈N, 假設(shè)φ(a?(m,n))=φ(a′?(m′,n′))∈P(A?M,A?N,1A?f1,1A?g1,A?Q)，其中(m,n),(m′,n′)∈P，即a?m=a′?m′∈A?M,a?n=a′?n′∈A?N,f1(m)=g1(n),f1(m′)=g1(n′)。下面只需證明a?(m,n)=a′?(m′,n′)∈A?P,則結(jié)論成立。

由于a?m=a′?m′∈A?M,由引理1, 則存在自然數(shù)k和元素a1,a2,…，ak∈A,q2,q3,…，qk∈Q,s1,t1,s2,t2,…,sk,tk∈S，使得

a=a1s1,

(3)

將g作用于式(3)的左列，可得

g(a)=g(a1)s1,

即g(a)?m=g(a′)?m′∈C?M,f1(m)=g1(n),同理g(a)?n=g(a′)?n′∈C?N,f1(m′)=g1(n′),因此φ(g(a)?(m,n))=φ(g(a′)?(m′,n′))。由假設(shè)，對(duì)于C，相應(yīng)于拉回圖P(M,N,f1,g1,Q)的映射φ是單同態(tài)，因此g(a)?(m,n)=g(a′)?(m′,n′)∈C?P,由引理1，存在自然數(shù)r和元素c1,c2,…，cr∈C,(m2,n2),(m3,n3),…，(mr,nr)∈P,x1,y1,x2,y2,…,xr,yr∈S,使得

g(a)=c1x1,

又由于存在g′:C→A,使得g′g=1A。對(duì)(3)式的左列作用g′可得

a=g′(c1)x1,

g′(c1)y1=g′(c2)x2,x1(m,n)=y1(m2,n2),
g′(c2)y2=g′(c3)x3,x2(m2,n2)=y2(m3,n3),
? ?
g′(cr)yr=a′,xr(mr,nr)=yr(m′,n′),

現(xiàn)已證明a?(m,n)=a′?(m′,n′)∈A?P。

假設(shè)a∈A,x∈X,使得a?x∈E′,由于a?f1(x)=a?f2(x)∈A?Y,由引理1可得,存在自然數(shù)n和元素a1,a2,…,an∈AS,y2,y3,…,yn∈SY,s1,t1,s2,t2,…,sn,tn∈S使得

a=a1s1,

a1t1=a2s2,s1f1(x)=t1y2,
a2t2=a3s3,s2y2=t2y3
? ?
antn=a,snyn=tnf2(x)。

(4)

將g作用于式(4)的左列可得

g(a)=g(a1)s1,

g(a1)t1=g(a2)s2,s1f1(x)=t1y2,
g(a2)t2=g(a3)s3,s2y2=t2y3,
? ?
g(an)tn=g(a),snyn=tnf2(x),

即g(a)?f1(x)=g(a)?f2(x)∈C?Y,且由于C是均衡平坦的,可得1C?f1和1C?f2的均衡子是C?E, 且g(a)?x∈C?E,因此x∈E,且a?x∈A?E。

注記1[9]除了均衡平坦, 通過(guò)系統(tǒng)地改變?cè)讦丈系谋貍錀l件和各種各樣拉回的考慮,就可以獲得各種各樣的平坦條件, 例如, 令A(yù)是右S-系, 則證明了

1)φ滿足條件(P)?對(duì)任意的拉回圖P(M,N,f1,g1,Q)相應(yīng)的φ是滿同態(tài);

2)A是強(qiáng)平坦的?對(duì)任意的拉回圖P(M,N,f1,g1,Q)相應(yīng)的φ是單同態(tài);

3)A是滿足條件(PWP)?對(duì)每個(gè)拉回圖P(Ss,Ss,f1,f1,S)相應(yīng)的φ是滿同態(tài), 其中s∈S。

證明由上述命題1、命題2、命題3，結(jié)論顯然成立。

定義2[2]稱右S-系A(chǔ)S是GP-平坦的，如果對(duì)任意的a,a′∈A,s∈S,若在AS?SS中a?s=a′?s,則存在n∈N,使得a?sn=a′?sn在AS?SSsn中成立。

引理2[2 ]令S是幺半群且A是右S-系, 則下列條件等價(jià)

1)A是GP-平坦的；

2)對(duì)任意的s∈S,a,a′∈A,a?s=a′?s∈A?S,可得存在自然數(shù)m,n∈N且a1,a2,…,am∈AS,s1,t1,s2,t2,…,sm,tm∈S，使得

a=a1s1,

a1t1=a2s2,s1sn=t1sn,
a2t2=a3s3,s2sn=t2sn,
? ?
amtm=a′,smsn=tmsn。

證明假設(shè)as=a′s,其中a,a′∈A,s∈S,則g(a)s=g(a′)s,因此g(a)?s=g(a′)?s∈C?S,由于C是GP-平坦的，由定義2，可得存在自然數(shù)n,使得g(a)?sn=g(a′)?sn∈C?Ssn。由引理2，等式

g(a)=c1s1,

c1t1=c2s2,s1sn=t1sn,
c2t2=c3s3,s2sn=t2sn,
? ?
cmtm=g(a′),smsn=tmsn

(5)

存在，其中c1,c2,…,cm∈C,s1,t1,s2,t2,…,sm,tm∈S。由于g是滿同態(tài)， 則存在ai∈A,使得g(ai)=ci(1≤i≤m).因此由式(5)可得

g(a)=g(a1)s1,

g(a1)t1=g(a2)s2,s1sn=t1sn,
g(a2)t2=g(a3)s3,s2sn=t2sn,
? ?
g(am)tm=g(a′),smsn=tmsn。

(6)

令a0=a,t0=1,am+1=a′,sm+1=1.則(aiti,ai+1si+1)∈kerg(0≤i≤m),因?yàn)閗erg≤K(ρ)=1A∪(Imf×Imf)，若(aiti,ai+1si+1)∈1A(0≤i≤m),則式(6)可化為

a=a1s1,

a1t1=a2s2,s1sn=t1sn,
a2t2=a3s3,s2sn=t2sn,
? ?
amtm=a′,smsn=tmsn，

即a?sn=a′?sn∈A?Ssn,可得A是GP-平坦的。否則假設(shè)k是(6)中使得(aktk,ak+1sk+1)∈Imf×Imf的最小下標(biāo)，l是(6)中使得(altl,al+1sl+1)∈Imf×Imf的最大下標(biāo)，則存在bk,bl+1∈B,使得

aktk=f(bk),al+1sl+1=f(bl+1)，因此f(bksn)=f(bk)sn=aktksn=aksksn=ak-1tk-1sn=…=a1t1sn=a1s1sn=asn=

(as)sn-1=(a′s)sn-1=a′sn=amtmsn=amsmsn=am-1tm-1sn=…=al+1tl+1sn=al+1sl+1sn=f(bl+1sn)。

由于f是左可裂的，即存在f′:A→B，使得f′f=1B，則可得bksn=bl+1sn。因?yàn)锽是GP-平坦的， 則B是主弱平坦的，可得bk?sn=bl+1?sn∈B?Ssn。即存在α1,α2,…,αp∈B,s′1,t′1,s′2,t′2,…,s′p,t′p∈S，使得

bk=α1s′1,

α1t′1=α2s′2,s′1sn=t′1sn,
α2t′2=α3s′3,s′2sn=t′2sn,
? ?
αpt′p=bl+1,s′psn=t′psn。

因此

a?sn=a1s1?sn=a1?s1sn=a1?t1sn=a1t1?sn=…=aktk?sn=f(bk)?sn=f(α1s′1)?sn=

f(α1)?s′1sn=f(α1)?t′1sn=f(α1)t′1?sn=f(α1t′1)?sn=f(α2s′2)?sn=…=f(αps′p)?sn=f(αp)?s′psn=

f(αp)?t′psn=f(αpt′p)?sn=f(bl+1)?sn=al+1sl+1?sn=al+1?sl+1sn=al+1?tl+1sn=al+1tl+1?sn=

al+2sl+2?sn=…=amsm?sn=am?smsn=am?tmsn=amtm?sn=a′?sn。

可得A是GP-平坦的。

證明在GP-平坦中，令n=1，則可得主弱平坦。

證明由于B,C是弱平坦的，則B,C是主弱平坦的，由上述推論可得A是主弱平坦的，要證明A是弱平坦的,只需證明A滿足條件(W)。

令as=a′t，其中a,a′∈A,s,t∈S，則g(a)s=g(as)=g(a′t)=g(a′)t，由于C滿足條件(W)，則存在c″∈C,u∈Ss∩St,使得g(a)s=g(a′)t=c″u。由于g是滿同態(tài)， 因此存在a″∈A, 使得g(a″)=c″。因此g(as)=g(a′t)=g(a″u),即(as,a″u)∈kerg≤K(ρ)=(Imf×Imf)∪1A。

若(as,a″u)∈1A,則as=a′t=a″u,其中u∈Ss∩St,因此A滿足條件(W)。否則(as,a″u)∈Imf×Imf,則存在b∈B，使得as=a′t=f(b),由于f左可裂,則存在f′:A→B，使得f′f=1B,因此f′(a)s=f′(a′)t=b。又由于B滿足條件(W),則存在b″∈B,v∈Ss∩St,使得f′(a)s=f′(a′)t=b。因此f(b)=f(b″)v,可得as=a′tf(b″)v，其中v∈Ss∩St,即B滿足條件(W),因此B是弱平坦的。

證明令a?m=a′?m′∈A?M,其中a,a′∈A,m,m′∈M,則g(a)?m=g(a′)?m′∈C?M，由于C是平坦的，g(a)?m=g(a′)?m′∈C?(Sm∪Sm′),因此存在

g(a)=c1s1,

c1t1=c2s2,s1m=t1m2,
c2t2=c3s3,s2m2=t2m3,
? ?
cntn=g(a′),snmn=tnm′，

其中c1,c2,…,cn∈C,m2,m3,…,mn∈(Sm∪Sm′),s1,t1,s2,t2,…，sm,tm∈S。由于g是滿同態(tài), 則存在ai∈A(1≤i≤n)，使得

g(a)=g(a1)s1,

g(a1)t1=g(a2)s2,s1m=t1m2,
g(a2)t2=g(a3)s3,s2m2=t2m3,
? ?
g(an)tn=g(a′),snmn=tnm′。

(7)

令a0=a,t0=1,an+1=a′,sn+1=1,則(aiti,ai+1si+1)∈kerg(0≤i≤n)。由于序列是準(zhǔn)正合的，即kerg≤K(ρ)=1A∪(Imf×Imf)，若(aiti,ai+1si+1)∈1A(0≤i≤n),式(7)可變?yōu)?/p>

a=a1s1,

a1t1=a2s2,s1m=t1m2,
a2t2=a3s3,s2m2=t2m3,
? ?
antn=a′,snmn=tnm′，

(8)

其中a1,a2,…,an∈A,m2,m3,…，mn∈(Sm∪Sm′),s1,t1,s2,t2,…,sm,tm∈S,可得a?m=a′?m′∈A?(Sm∪Sm′)，即A是平坦的。

否則假設(shè)k是(7)式中使得(aktk,ak+1sk+1)∈Imf×Imf的最小下標(biāo)，l是(7)式中使得(altl,al+1sl+1)∈Imf×Imf的最大下標(biāo)。則存在bl+1,bk∈B,使得aktk=f(bk),al+1sl+1=f(bl+1)，因此可得

f(bk)?mk+1=aktk?mk+1=ak?tkmk+1=ak?skmk=aksk?mk=ak-1tk-1?mk=…=a1t1?m2=a1?t1m2=

a1?s1m=a1s1?m=a?m=a′?m′=antn?m′=an?tnm′=an?snmn=ansn?mn=an-1tn-1?mn=

an-1?tn-1mn=an-1?sn-1mn-1=an-1sn-1?mn-1=…=al+1sl+1?ml+1=f(bl+1)?ml+1。

因此，f(bk)?mk+1=f(bl+1)?ml+1∈A?M,由于f是左可裂的,則存在f′:A→B,使得f′f=1B。因此f′?1M:A?M→B?M,其中(f′?1M)(b?m)=f′(b)?m，可得bk?mk+1=(f′?1M)(f(bk)?mk+1)=(f′?1M)(f(bl+1)?ml+1)=bl+1?ml+1∈B?M.

由于B是平坦的，可得bk?mk+1=bl+1?ml+1∈B?(Sml+1∪Smk+1)?B?(Sm∪Sm′)。因此存在

bk=α1s′1,

α1t′1=α2s′2,s′1mk+1=t′1m′2,
α2t′2=α3s′3,s′2m′2=t′2m′3,
? ?
αjt′j=bl+1,s′jm′j=t′jml+1。

(9)

其中α1,α2,…,αj∈B,m′2,m′3,…,m′j∈(Sm∪Sm′),s′1,t′1,s′2,t′2,…,s′j,t′j∈S。因此

aktk=f(α1)s′1,

f(α1)t′1=f(α2)s′2,s′1mk+1=t′1m′2,
f(α2)t′2=f(α3)s′3,s′2m′2=t′2m′3,
? ?
f(αj)t′j=al+1sl+1,s′jm′j=t′jml+1。

(10)

由(8)(9)(10)式可得

a?m=a1s1?m=a1?s1m=a1?t1m2=a1t1?m2=a2s2?m2=…=aksk?mk=ak?skmk=ak?tkmk+1=

aktk?mk+1=f(α1)s′1?mk+1=f(α1)?s′1mk+1=f(α1)?t′1m′2=f(α1)t′1?m′2=f(α2)s′2?m′2=f(α2)?s′2m′2=

f(α2)?t′2m′3=…=f(αj)?t′jml+1=f(αj)t′j?ml+1=al+1sl+1?ml+1=al+1?sl+1ml+1=al+1?tl+1ml+2=al+1tl+1?ml+2=

al+2sl+2?ml+2=…=ansn?mn=an?snmn=an?tnm′=antn?m′=a′?m′∈AS?(Sm∪Sm′),

因此a?m=a′?m′∈AS?S(Sm∪Sm′)，即可得A是平坦的。

下面針對(duì)近來(lái)新出現(xiàn)的并且在經(jīng)典的平坦圖表中沒(méi)有刻畫的平坦性質(zhì)進(jìn)行討論，文獻(xiàn)[10-11]給出了關(guān)于S-系新的平坦性質(zhì)的等價(jià)刻畫。稱右S-系A(chǔ)S滿足條件(E′)，如果對(duì)任意的a∈A,s,s′,z∈S,若as=as′,sz=s′z,則存在a″∈A,u∈S,使得a=a″u,us=us′。稱右S-系A(chǔ)S滿足條件(E′P),如果對(duì)任意的a∈A,s,s′,z∈S,若as=as′,sz=s′z,則存在a″∈A,u,v∈S,使得a=a″u=a″v,us=vs′。稱a∈A滿足條件(WR),如果對(duì)于as=at,其中s,t∈S,總存在e2=e∈S,使得ae=a,es=et.如果A中所有元素都滿足條件(WR),則稱A滿足條件(WR)。

若a=a″u時(shí)，結(jié)論已證。否則(a,a″u)∈Imf×Imf?？傻么嬖赽∈B,使得f(b)=a.則f(bs)=f(b)s=as=as′=f(b)s′=f(b′s)。由于f是單同態(tài),可得bs=bs′,sz=s′z。由于B滿足條件(E′),可得存在b″∈B,v∈S,使得b=b″v,vs=vs′。取a′=f(b″),則a=a′v,vs=vs′,即A也滿足條件(E′),結(jié)論已證。

若a=ae時(shí)，結(jié)論已證。否則存在b∈B,使得a=f(b)，則f(bs)=f(b)s=as=at=f(b)t=f(bt)。由于f是左可裂的,可得bs=bt。由于B是滿足條件(WR)的S-系，則存在h2=h∈S,使得bh=b,hs=ht.因此a=f(b)=f(bh)=f(b)h=ah，即A是滿足條件(WR)的S-系。