發(fā)生教學(xué)法在行列式概念教學(xué)中的運用

張俊忠， 鄧喜才， 陳松良

(貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

教育部《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革 全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見(教高2019)》指出：“強化人才培養(yǎng)方案、教學(xué)過程和教學(xué)考核等方面的質(zhì)量要求，引導(dǎo)學(xué)生多讀書、深思考、善提問、勤實踐?！盵1]因此要積極嘗試大學(xué)教育新模式，提高教育質(zhì)量。大學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本目標是要讓學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)知識，擁有較強的數(shù)學(xué)能力，具備豐富的數(shù)學(xué)思想，形成積極的創(chuàng)新精神。要實現(xiàn)目標，必須堅持大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究、實施教學(xué)改革。發(fā)生教學(xué)法關(guān)注數(shù)學(xué)知識的起源、發(fā)生發(fā)展過程，有利于學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀，促進學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。

1 發(fā)生教學(xué)法的提出

1866年德國動物學(xué)家、進化論者?？藸栐谡撝渡矬w普通形態(tài)學(xué)》中指出：“個體發(fā)育是種群成長的迅速而濃縮的重演?！奔瓷锇l(fā)生律[2]。將生物發(fā)生律遷移到人類的認識論，則個體的認知發(fā)生是人類認識產(chǎn)生、發(fā)展過程的重演。對于數(shù)學(xué)教育，即個體對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程必須遵循數(shù)學(xué)知識的客觀發(fā)生過程。因此要求教師通過數(shù)學(xué)的發(fā)展過程了解人類是如何獲得數(shù)學(xué)認識的，從而對學(xué)生應(yīng)該如何領(lǐng)悟這些認識進行更好地再創(chuàng)造。把數(shù)學(xué)的產(chǎn)生過程作為教學(xué)線索，不具體談?wù)摂?shù)學(xué)史，通過數(shù)學(xué)的發(fā)展過程啟示指導(dǎo)教學(xué)，這就是發(fā)生教學(xué)法[3]。

2 發(fā)生教學(xué)法的策略

發(fā)生教學(xué)法的運用目的是通過探索知識的起源，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機，追尋首創(chuàng)者的歷史背景，弄清解決問題的關(guān)鍵因素。從心理的角度看，不了解問題的來龍去脈是很難解決問題的。數(shù)學(xué)發(fā)生教學(xué)法的根基是數(shù)學(xué)史，但是數(shù)學(xué)史僅僅是促進教育，方便掌握數(shù)學(xué)知識的素材，不是單純的歷史。發(fā)生教學(xué)法借鑒歷史引入主題，保護學(xué)生獵奇的天性，通過引導(dǎo)學(xué)生重現(xiàn)知識的再發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。實施發(fā)生教學(xué)法關(guān)鍵在教師，要求教師深刻認識教學(xué)主題的來龍去脈、發(fā)展過程，透徹掌握教學(xué)主題發(fā)生過程中的關(guān)鍵因素、重要環(huán)節(jié)，完全理解從一個階段發(fā)展到下一個階段的原因是什么，會遇到哪些障礙和困難。為了促進教學(xué)，設(shè)計教學(xué)主題發(fā)展過程的某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)，設(shè)計符合認知規(guī)律、環(huán)環(huán)相扣的問題。

3 發(fā)生教學(xué)法在行列式概念教學(xué)中的實踐

3.1 全面了解行列式的歷史

作為高等代數(shù)的一個分支，行列式理論有著悠久的歷史。在東方，中國的《九章算術(shù)》大約成書于公元1世紀，其中“方程”一章，專門研究解線性方程組。當時沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個長方陣，運用遍乘直除算法求解，這就是消元法。宋元時期出現(xiàn)了天元術(shù)和四元術(shù)，這是中國古代數(shù)學(xué)代數(shù)符號化的一個進步，元朝朱世杰(1249—1314)的《四元玉鑒》，已經(jīng)可以解含4個未知數(shù)的高次方程組。中國的天元術(shù)和方程術(shù)著作中，《算學(xué)啟蒙》和《楊輝算法》在日本經(jīng)過廣泛傳播，影響很大。日本關(guān)孝和(1642—1708)在《解伏題之法》中，構(gòu)造行列式展開法以解決多元高次方程組的消元問題。關(guān)孝和的解伏題是中國天元術(shù)、四元術(shù)代數(shù)傳統(tǒng)的繼續(xù)，核心是消元理論。關(guān)孝和提出行列式算法后，日本一批數(shù)學(xué)家開始研究行列式，如井關(guān)知辰在《算法發(fā)揮》中第一次提出行列式可以按照某一行或某一列展開。久留島義太關(guān)注3階到6階行列式的展開，特別是對5階、6階行列式，提出采用分塊構(gòu)造低階小行列式，再按照行展開。菅野元健也研究了行列式的展開，實際上是拉普拉斯展開法，但是給出的子行列式相乘的符號法則不正確，后來由加藤平左衛(wèi)門指出此錯誤。

在西方，德國萊布尼茲(1646—1716)是第一位研究行列式的數(shù)學(xué)家。他的行列式思想主要體現(xiàn)在與法國洛必達(1661—1705)的通信和他自己未發(fā)表的手稿中，他首創(chuàng)了雙標碼記法。雖然他沒有命名行列式，而且沒有及時發(fā)表他的思想，但是他仍然被尊稱為西方行列式理論的鼻祖。法國馬克勞林(1698—1746)用比萊布尼茲更具體的形式，利用行列式解線性方程組，馬克勞林為行列式理論的初期建立邁出了一大步。瑞士克萊姆(1704—1752)是獨立發(fā)現(xiàn)行列式基礎(chǔ)思想的數(shù)學(xué)家，他的克萊姆法則在理論上是一個非常漂亮的結(jié)果。將行列式作為獨立對象研究是從法國范得蒙(1735—1796)開始的，他的法國同胞拉普拉斯(1749—1827)和拉格朗日(1736—1813)也為行列式理論作出了杰出貢獻。范得蒙是第一個對行列式本身進行研究的數(shù)學(xué)家，因此被認為是行列式理論的奠基者。他提出了用2階子式和對應(yīng)的余子式展開行列式的方法，但是沒有給出證明。范得蒙認為行列式展開式中正、負項各占一半。拉普拉斯廣泛研究行列式，證明和推廣了范得蒙的一些結(jié)論，得到拉普拉斯展開法，為發(fā)展和完善行列式理論奠定了堅實的基礎(chǔ)。德國高斯(1777—1855)從數(shù)論的角度研究行列式，雖然沒有給出行列式概念，但是滲透在計算方法中。法國柯西(1789—1857)從函數(shù)角度研究行列式，使行列式理論的發(fā)展進入新局面。英國凱萊(1821—1895)給出了行列式展開規(guī)則，更重要的是引入行列式符號。用一對豎線置于方陣兩側(cè)，成了直到今日還在使用的行列式符號。德國魏爾斯特拉斯(1815—1897)用公理化方法定義行列式，把行列式作為一個具有線性、齊次特征的函數(shù)[4]。

3.2 掌握行列式的各種定義是關(guān)鍵

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的定義原則，從不同角度定義行列式，可以歸納為4種。

1)抽象定義法。n階行列式

2)歸納定義法。

①當n=1時，規(guī)定|a11|=a11；

②假設(shè)(n-1)階行列式已經(jīng)定義，則n階行列式A=a1j1A1j1+a2j2A2j2+…+anjnAnjn，其中aij是行列式A的元素，Aij是A中元素aij的代數(shù)余子式，i,j=1,2,…,n[6]。

3)公理定義法。

稱Mn(F)到F的映射f:A→f(A)為矩陣A的行列式映射，記為f(A)=|A|，如果滿足以下3個條件：

② 對任意的i,1≤i≤n,和任意的c∈F,有f((α1…cαi…αn))=cf((α1…αi…αn))；

③ 對任意的i,j(1≤i

Mn(F)表示數(shù)域F上全體n階方陣的集合，n階方陣A=(aij)nn∈Mn(F),用α1,α2,…,αn分別表示A的各個列向量，此時(α1α2…αn)=A[7]。

4)幾何定義法。

行列式的幾何定義是：1階行列式是有向線段的代數(shù)長，2階行列式是有向面積的代數(shù)和，3階行列式或以上是有向體積的代數(shù)和。這個代數(shù)和要注意每個面積或體積的方向，方向相同的要加，方向相反的要減[8]。

上述4種定義都是等價的，只是側(cè)重點不同。第1種定義容易讓學(xué)生深層次認識行列式的本質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴密邏輯性和高度抽象性，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力;第2種定義具體，學(xué)生預(yù)備知識不需要太多，適合循序漸進原則，有利于學(xué)生快速掌握概念;第3種定義注重形式，結(jié)構(gòu)簡單，學(xué)生很容易掌握行列式性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生公理化思想;第4種定義形象直觀，學(xué)生容易理解和記憶行列式的性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面以數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)行列式第一種定義為例，研究如何設(shè)計教學(xué)過程。

3.3 學(xué)習(xí)行列式定義的困惑與障礙

大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，已經(jīng)具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，可以獨立地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，擁有較高的思維能力和創(chuàng)新能力。這樣的學(xué)生學(xué)習(xí)行列式的定義，總會有許多疑問:為什么有行列式概念？為什么要這樣定義行列式？行列式性質(zhì)很多，如何有效記住和掌握這些性質(zhì)？學(xué)習(xí)行列式的價值是什么？于是在行列式概念的教學(xué)中，一定要啟發(fā)學(xué)生、引導(dǎo)學(xué)生解決這些問題。只有明白了這些，學(xué)生才能徹底了解行列式知識的來龍去脈，深刻認識行列式在自己數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的位置，這樣才能有利于新知識和新思想方法的建構(gòu)[9]。

3.4 根據(jù)歷史，重構(gòu)課堂

3.4.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

利用對角線法則，

提出問題：如果四元一次方程組

有唯一解，請猜測其解的結(jié)果。

世界數(shù)學(xué)史上，行列式思想的萌芽有兩個分支，一支來自東方，一支來自西方。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在《解伏題之法》中，為了解決多元高次方程組的消元問題，第一次創(chuàng)造了行列式展開法。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是西方第一位研究行列式的數(shù)學(xué)家，是西方行列式理論的鼻祖，他為了解決線性方程組的消元問題，提出了行列式思想。實際上，不管是東方還是西方，都是因為解方程組的消元問題，為了書寫和使用的方便，促進了行列式思想的產(chǎn)生。

3.4.2 自主探索，展示過程

有同學(xué)通過類比認為

的展開式是

a11a22a33a44+a14a21a32a43+a13a24a31a42+a12a23a34a41-a14a23a32a41-a11a24a33a42-a12a21a34a43-a13a22a31a44。

實際上通過消元法解此方程組，如果有唯一解，D的值是24項的代數(shù)和，而不是8項的代數(shù)和，不能再用對角線法則求4階行列式的值，即用對角線法則不能求所有行列式的值。這也說明類比推理、歸納推理是合情推理，得到的結(jié)論不一定是真命題。合情推理的結(jié)論雖然不一定正確，但是合情推理有利于發(fā)展創(chuàng)造力。

通過2階、3階、4階行列式的結(jié)果，請學(xué)生總結(jié)n階行列式項的一般特征。2階是2項、3階是6項、4階是24項，可以猜測n階行列式有n！項。2階、3階、4階行列式中帶正號項和帶負號項各占一半，可以猜測n階行列式中帶正號項和帶負號項各占一半，即都有n!/2項。2階中每項2個元素分別來自不同的2行和2列，3階中每項3個元素分別來自不同的3行和3列，4階中每項4個元素分別來自不同的4行和4列，則可猜測n階行列式中每項n個元素分別來自不同的n行和n列。2階中當行下標是自然排列時，帶正號項的列下標是偶排列，帶負號項的列下標是奇排列。3階中當行下標是自然排列時，帶正號項的列下標是偶排列，帶負號項的列下標是奇排列。4階中當行下標是自然排列時，帶正號項的列下標是偶排列，帶負號項的列下標是奇排列。可以猜測n階行列式當行下標是自然排列時，列下標是偶排列的項帶正號，列下標是奇排列的項帶負號。因此猜測n階行列式展開后的總體特征應(yīng)該是：n階行列式展開后是n！項的代數(shù)和，每項是n個元素的積，這n個元素來自不同的n行和n列。當行下標是自然排列時，列下標是偶排列的項帶正號，列下標是奇排列的項帶負號。

關(guān)孝和是東方第一位給出行列式思想的數(shù)學(xué)家，他提出的交式、斜乘行列式展開法存在缺陷，只能解決3階及以下階行列式的展開，而4階及以上階行列式不能用對角線法則展開。其后日本的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了此缺陷，積極予以糾正。由于連續(xù)不斷修改，關(guān)孝和展開法趨于完善。萊布尼茲通過雙標碼記法，第一次引入行列式概念。

3.4.3 數(shù)學(xué)抽象，建構(gòu)概念

根據(jù)前面分析，n階行列式其實也可以先固定n列，將每項元素的列下標確定為自然排列，則

根據(jù)排列的性質(zhì)，若i1i2…in，j1j2…jn都是1，2，…，n這n個數(shù)碼的一個排列，則

(-1)π(i1i2…in)+π(j1j2…jn)ai1j1ai2j2…ainjn=(-1)π(p1p2…pn)a1p1a2p2…anpn，

其中p1p2…pn是元素交換位置后產(chǎn)生的新列下標排列。既然如此，n階行列式也可以先固定任意一個行下標排列，只要列下標取所有組合的排列，即n!項?；蛘呦裙潭ㄈ我庖粋€列下標排列，只要行下標取所有組合的排列，即n!項。

關(guān)孝和之后，日本有一批數(shù)學(xué)家開始研究行列式，如井關(guān)知辰提出行列式可以按照某一行或某一列展開。久留島義太提出5階、6階行列式，可以采用構(gòu)造低階小行列式，再按照行展開。不研究解方程組，將行列式作為專門研究對象是從范得蒙開始的，他是第一位對行列式本身進行研究的數(shù)學(xué)家，是行列式理論的奠基者。范得蒙給出了用2階子式和它們的余子式來展開行列式的方法。拉普拉斯證明和推廣了范得蒙的一些結(jié)論，給出拉普拉斯展開法，促進了行列式理論的進一步發(fā)展。

3.4.4 深挖內(nèi)涵，總結(jié)性質(zhì)

例1已經(jīng)定義了行列式，根據(jù)定義計算行列式

的值。

分析行列式A展開雖然有5！項，即120項，但是除了項a11a22a33a44a55，其余項中的元素至少有一個為0，即該項為0，故A=a11a22a33a44a55。同理B=a11a22a33a44a55。

顯然根據(jù)行列式定義求一個行列式的值很繁瑣，但是如果行列式像上面A或B，結(jié)果很簡單，直接是其中幾個元素的積。像上面A或B形式的行列式分別叫下三角行列式或上三角行列式，a11，a22，a33，a44，a55稱作是主對角線上的元素。如果一個行列式能夠轉(zhuǎn)化為用下三角行列式或上三角行列式表示，那么行列式的值很容易計算?，F(xiàn)在研究行列式性質(zhì)，輔助化簡和計算行列式。

由行列式定義和排列反序數(shù)知識，可得

1)轉(zhuǎn)置性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

2)變號性質(zhì)：交換行列式的兩行(或兩列)，行列式變號。

3)提公因子性質(zhì)：行列式某行(或某列)所有元素的公因子可以提到行列式符號外。

4)行列式為0性質(zhì)：

①行列式有2行(或2列)完全相同，則其值為0；

②行列式某行(或列)的元素全是0，則其值為0；

③行列式有2行(或2列)的對應(yīng)元素成比例，則其值為0。

5)和的性質(zhì)：行列式對某行(或列)具有可加性。

6)變形同值性質(zhì)：行列式某一行(或列)的元素乘以同一數(shù)加到另一行(或列)的對應(yīng)元素上，其值不變[10]。

行列式性質(zhì)很多，如果根據(jù)名稱和內(nèi)容記憶性質(zhì)，那么就能夠靈活利用性質(zhì)計算行列式。

例2計算n階行列式D的值,

分析此行列式根據(jù)定義計算很困難，看是否能夠通過變形將它轉(zhuǎn)化為用上三角行列式或下三角行列式表示。經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該行列式在每行或每列中的元素，除了一個元素是0，其余n-1個元素都是1。于是可以考慮將第2行、第3行……第n行的元素都加到的第1行對應(yīng)元素上，此時第1行的n個元素都是n-1。這時將第1行的公因子n-1提到行列式符號的外邊，可以根據(jù)變形同值性質(zhì)，將行列式轉(zhuǎn)化為用上三角行列式或下三角行列式表示。

任何行列式只通過行變形同值性質(zhì)可以變?yōu)樯先切辛惺交蛳氯切辛惺?，任何行列式只通過列變形同值性質(zhì)可以變?yōu)樯先切辛惺交蛳氯切辛惺?，通過行或列變形同值性質(zhì)可以變?yōu)閷切辛惺?既是上三角行列式，又是下三角行列式的行列式)。

高斯從數(shù)論的角度研究行列式，首創(chuàng)“行列式”這個詞?？挛鲝暮瘮?shù)的角度研究行列式，給出行列式定義。凱萊提出了行列式展開規(guī)則，引入了行列式符號。用一對豎線置于一方陣兩側(cè)，成了普遍使用的行列式符號。魏爾斯特拉斯用公理化方法研究行列式。

3.4.5 綜合應(yīng)用，鞏固新知

前面利用行列式的定義和性質(zhì)進行了行列式的化簡和計算，現(xiàn)在利用行列式知識進行有關(guān)行列式的推理論證。

例3設(shè)在n階行列式

中，aij=-aji,i,j=1,2,…,n。

證明當n是奇數(shù)時，D=0。

分析此題如果根據(jù)行列式定義進行推理論證，有些困難，估計要用行列式的性質(zhì)解決。首先要了解此行列式元素的特征，根據(jù)特征確定方法。

解因為aij=-aij，所以，當i=j時，aii=-aii，故aii=0， 則

當n是奇數(shù)時，D=-D。故D=0。

行列式概念內(nèi)涵豐富，性質(zhì)較多，要通過適當?shù)木毩?xí)鞏固和加深印象，這樣才能掌握其本質(zhì)，才能為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)作好鋪墊。行列式不僅在解線性方程組和多元高次方程組中有應(yīng)用，而且在矩陣理論、向量空間和其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，因此必須學(xué)懂弄通行列式。實際上關(guān)于行列式的定義，目前各種著作中采用的一般有4種方法，分別是抽象定義法、歸納定義法、公理定義法、幾何定義法。本文介紹的是抽象定義法，另外3種方法需要學(xué)生自己閱讀和學(xué)習(xí)[11]。

本設(shè)計中行列式概念是基于學(xué)生已有的具體認識，通過學(xué)生自己探索行列式的一般特征，師生共同建構(gòu)形成的，不僅發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力和抽象概括能力，而且也讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程，為學(xué)生將來研究數(shù)學(xué)積累了經(jīng)驗。行列式概念建立后，結(jié)合排列知識，通過研究行列式的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。由于性質(zhì)多，避免用數(shù)目簡單羅列性質(zhì)的形式，將性質(zhì)分類并采用特定名稱，這樣學(xué)生理解和運用性質(zhì)很方便，提高了學(xué)習(xí)效率。通過文獻學(xué)習(xí)，不僅能夠領(lǐng)悟行列式內(nèi)涵的豐富性，而且能夠認識數(shù)學(xué)體系建構(gòu)方式的多樣性。因此，應(yīng)用發(fā)生教學(xué)法不僅有利于促進學(xué)生學(xué)習(xí)新知識、掌握新思想，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生探索精神，養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度。