解高維拋物型方程的顯式差分格式

谷淑敏, 劉 佳

(鄭州經(jīng)貿(mào)學(xué)院 公共教學(xué)部，河南 鄭州 450007)

0 引言

對(duì)二維和二維以上的拋物型方程, 文獻(xiàn)[1-2]構(gòu)造出了精度高且絕對(duì)穩(wěn)定的差分格式,其截?cái)嗾`差階達(dá)到O(Δt2+Δx4),卻是三層隱式格式,常因計(jì)算量和存儲(chǔ)量都很大而難以使用。對(duì)于高維的拋物型方程,構(gòu)造能顯式計(jì)算,穩(wěn)定性能良好且精度較高的差分格式,便具有十分明顯的理論意義和使用價(jià)值。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造出了一類對(duì)如下的任何P維空間變量的拋物型方程

都適用的、分支絕對(duì)穩(wěn)定的顯式差分格式，其中R=0≤xj≤1,j=1,2,…，p,?R為區(qū)域R的邊界。這樣避免了解線性代數(shù)方程組,大大減少了計(jì)算量,且格式絕對(duì)穩(wěn)定，但不足的是格式的精度不高，對(duì)四維情形,用待定系數(shù)法構(gòu)造高精度的差分格式,此時(shí)文中格式所用節(jié)點(diǎn)為 (j,k,l,p,n) 和菱形節(jié)點(diǎn)R◇(j,k,l,p,n), 其中R=x,y,z,w,x◇(j,k,l,p,n)={(j,k±1,l,p,n),(j,k,l±1,p,n),(j,k,l,p±1,n)}, 余者類推。矩形節(jié)點(diǎn)uv□(j,k,l,n),其中uv=xy,xz,xw,yz,yw,zw,xy□(j,k,l,p,n)={(j,k,l±1,p±1,n)},余者類推。圓形節(jié)點(diǎn)u⊙(j,k,l,p,n), 其中u=x,y,z,w,x⊙={(j,k±1,l±1,p±1,n)}, 余者類推。

1 差分格式的構(gòu)造

考慮區(qū)域D:{0≤x,y,z,w≤1,0≤t≤T} 上的四維拋物型方程的第一邊值問(wèn)題

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

用時(shí)間步長(zhǎng)τ, 空間步長(zhǎng)h剖分D。節(jié)點(diǎn) (xj,yk,zl,wp,tn) 記為 (j,k,l,p,n), 用如下的含參數(shù)差分方程逼近微分方程(1),

(7)

其中

當(dāng)η3=0,η1=-1+64η4+24η7+24η8,η2=-12η4+6η7+6η8,η5=1+12η7+36η8,η6=-1+36η7+12η8時(shí),令a=η4+3η8r,b=η7+η8,可得含參數(shù)a和b且截?cái)嗾`差為O(τ2+h4)的3層顯格式

(8)

其中

2 截?cái)嗾`差階估計(jì)與穩(wěn)定性分析

與(8)式等價(jià)的兩層方程組為

其特征方程為

λ2-M11λ-M12=0。

(9)

引理1[4]實(shí)系數(shù)二次方程Aλ2+Bλ+C=0(A>0) 的兩根按模小于 1 的充要條件是

A-C≥0,A+B+C≥0,A-B+C≥0。

引理2[5]差分格式(8)穩(wěn)定,即矩陣族Mn(s1,s2,s3)一致有界的充要條件是

1)|λ1,2|≤1,(λ1,2為傳播矩陣特征根)；

其中N0(E(s1,s2,s3))表示多項(xiàng)式E(s1,s2,s3)在區(qū)域 [0,4]×[0,12]×[0,16] 上所有實(shí)根的集合。

證明當(dāng)條件滿足時(shí), 式(9)的系數(shù)

A-C=1+M12=72b-4s1(-12a+6b+36br-r)-4as3>0，
A+B+C=1-M11-M12=12br(12s1+s3)>0，
A-B+C=1+M11-M12=4(1+12b-64a+96br-8r)>0。

綜上所述,可知當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時(shí),差分格式(8)穩(wěn)定。