從認(rèn)知心理視角看學(xué)生解題的“會而不對”現(xiàn)象

仝建 徐麗娟

摘? ? 要：針對學(xué)生解題中“會而不對”的現(xiàn)象，教師需加強(qiáng)“數(shù)學(xué)理解”，創(chuàng)造“教育數(shù)學(xué)”;學(xué)生要細(xì)化“運(yùn)算步驟”，減少“誤傳題意”;學(xué)校管理者要科學(xué)安排學(xué)生的練習(xí)時間，著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：認(rèn)知心理;解題;會而不對;數(shù)學(xué)理解

“會而不對”現(xiàn)象是指解題者能夠準(zhǔn)確敘述解題中的相關(guān)知識，知道解題的流程（或步驟），能夠動筆求解，但是卻未能求出正確答案的現(xiàn)象.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，一方面人的認(rèn)知活動是認(rèn)知要素相互聯(lián)系又相互作用的統(tǒng)一整體，任何一種認(rèn)知活動都是在與其相關(guān)聯(lián)的其他認(rèn)知活動作用下完成的;另一方面，在人的認(rèn)知過程中，前后關(guān)系非常重要，它不僅包括人們接觸到的語言材料的上下文關(guān)系，客觀事物的上下、左右、先后等關(guān)系，還包括人腦中原有知識之間、原有知識和當(dāng)前認(rèn)知對象之間的關(guān)系.

我們收集部分案例，從認(rèn)知心理的視角尋求導(dǎo)致學(xué)生“會而不對”現(xiàn)象的原因，并給出一些減少學(xué)生解題“會而不對”現(xiàn)象的策略，以期拋磚引玉.

一、從認(rèn)知心理視角探究“會而不對”現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

（一）錯用“錯位相減法”

例1? ?（南京市2021屆高三年級學(xué)情9月調(diào)研第18題）已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.

（1）在①S1+S3=2S2+2，②S3=[73]，③a2a3=4a4這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到上述題干中.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷此時數(shù)列{an}是否滿足條件P：任意m，n∈N*，aman均為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，說明理由;

（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=n（[an+1an]）n-1，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【典型錯解】我們主要關(guān)注第（2）題的錯解，錯誤可以說是五花八門，但主要集中在以下三個方面：一是錯位相減時首項(xiàng)或末項(xiàng)運(yùn)算符號錯誤;二是項(xiàng)數(shù)出錯，形如“1+21+22+…+2n-1”的求和計(jì)算項(xiàng)數(shù)誤為n-1項(xiàng);三是算到-Tn或[12]Tn的結(jié)果就結(jié)束，沒有進(jìn)一步計(jì)算Tn.

【認(rèn)知心理分析】錯位相減法是求 “差比型”數(shù)列的前n項(xiàng)和的最為通用的方法之一.這種方法有多處“彎道”，如兩式相減時，最后一項(xiàng)的符號與前面各項(xiàng)的符號不同，學(xué)生在解題時受到前面連續(xù)多項(xiàng)的影響， 在認(rèn)知上容易產(chǎn)生負(fù)遷移，常常寫錯最后一項(xiàng)的符號.相減后對等比數(shù)列求和時，只有在等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差相等時，中間的等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為n，多數(shù)情況下，項(xiàng)數(shù)為n -1項(xiàng).由于學(xué)生平時解題時，一般都是求數(shù)列的前項(xiàng)n和，而此處可能為n 項(xiàng)，更可能為n -1項(xiàng)，先前的解題經(jīng)驗(yàn)，頭腦中原有的認(rèn)知與當(dāng)前的認(rèn)知容易產(chǎn)生沖突，在這里很可能會導(dǎo)致不利的影響，常常會把等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)標(biāo)錯;將和化簡整理為A+（Bn+C） qn型（其中A，B，C為常數(shù)，q為等比數(shù)列的公比）的過程中，其中涉及去括號與添加括號，特別是括號前為負(fù)號時，由于需要關(guān)注到括號內(nèi)各項(xiàng)的符號，若學(xué)生的注意力分配不夠，也容易導(dǎo)致顧此失彼，去添括號時，其中的某一項(xiàng)的符號未處理，導(dǎo)致錯誤.

我們注意到筆者所在學(xué)校的T老師所教班級此題的均分處在前列（年級第二），而總均分為年級第五.我們選取與T老師所教班級均分最接近的S老師所帶班級，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

T老師教學(xué)班級數(shù)學(xué)均分為86.23分，此題的均分為8.49分 ，第二問3.62分 . S老師教學(xué)班級學(xué)生數(shù)學(xué)均分為87.52 分，此題的均分為 7.35分，第二問2.91分;近兩個月內(nèi)的各次考試中，S老師教學(xué)班級學(xué)生數(shù)學(xué)均分都高于T老師教學(xué)班級，但這道題的均分明顯低于T老師教學(xué)班級.

筆者對“第二問滿分人數(shù)”與“不同老師”是否有相關(guān)性進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析，見表1.

根據(jù)兩聯(lián)表，我們采用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K2=4.57>3.841，所以有超過95%的把握認(rèn)為“學(xué)生對于錯位相減法的掌握程度”與“教師對這一問題的教學(xué)方式”有關(guān).

（二）誤解題意

例2? ?（2018年高考全國Ⅱ理數(shù)第12題改編為填空題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為[36]的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為

.

【錯解】記F1F2=2c， 因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=2c， PF1=[23]c，根據(jù)橢圓定義得 PF1+PF2=2a， 所以有2[3]c+2c=2a，得C的離心率為[3]-1.

【評注】午練是當(dāng)前不少學(xué)校的必做項(xiàng)目，利用午休前大約30分鐘左右的時間進(jìn)行限時練習(xí)，可以視為一次微型的考試.在這一次午練中，學(xué)生此題的出錯率達(dá)[1142]，個別訪談了解到主要的錯誤是審題出錯，誤認(rèn)為P在橢圓上.學(xué)生自行增加題目的已知信息“點(diǎn)P在橢圓上”，且在解題過程中沒有用到“斜率為[36]”的條件，導(dǎo)致上面的錯解.

【認(rèn)知心理分析】事實(shí)上，在此次午練前幾天的一次練習(xí)中出現(xiàn)過下面的題目：已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為? ? ? ? ?. 此題與午練中的題目極其相似，學(xué)生高錯誤率也就不甚奇怪了，頭腦中的前幾天解題痕跡在這里產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾作用，導(dǎo)致學(xué)生誤解題目信息.此外中午的時間，學(xué)生剛剛吃完午飯，常會產(chǎn)生睡意，困倦狀態(tài)下的頭腦認(rèn)知的廣度會下降，容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象.

（三）簡單題高錯誤率

例3? ?（2014年江蘇卷第1題改編，雙周測試題1）已知集合A={ -2，-1，3，4? }，B=

{-1，2，3 }，則A∩B中元素的個數(shù)為? ? ? ? .

【錯解】 {-1，3 }.

【評注】這是學(xué)生在跑操后做的周測第一道題. 備課組的教研反饋顯示四樓班級的學(xué)生的錯誤率20%，二樓班級的錯誤率為15%（四樓為最好層次班級，二樓為最弱層次班級）.簡單的題目，不論是層次高的班級還是層次弱的班級都有讓教師出乎意料的錯誤率， 并且好學(xué)生的解答正確率不如弱學(xué)生，原因在哪里呢？

【認(rèn)知心理分析】通過對出錯學(xué)生的訪談，我們了解到大多數(shù)學(xué)生看錯了題目，誤把“A∩B中元素的個數(shù)”看成“A∩B”，遺漏了“A∩B”后面的信息，導(dǎo)致錯解為{-1，3 }. 前面幾次的綜合練習(xí)中，集合題都是求“A∩B”或“A∪B”，先前的解題認(rèn)知在此題的解答時產(chǎn)生干擾，導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象，錯誤率超出教師的預(yù)期.此外四樓班級的學(xué)生跑操最遲結(jié)束，最后回到教室，到達(dá)教室后立刻開始周測.而二樓班級的學(xué)生跑操最早結(jié)束，最早到達(dá)教室，休息調(diào)整2分鐘之后才開始周測.身體上的疲倦會導(dǎo)致認(rèn)知的準(zhǔn)確性降低.就如開車，疲勞駕駛會導(dǎo)致更高的事故率. 認(rèn)知的準(zhǔn)確性降低勢必容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象.

（四）看錯數(shù)

例4? ?（南京市2020屆高三年級第三次模擬考試附加題第1題）已知矩陣A=[1? -1a? ?0]，a∈R.若點(diǎn)P（1，1）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′（0，-2）.（1）求矩陣A;（2）求點(diǎn)Q（0，3）經(jīng)過矩陣A的2次變換后對應(yīng)點(diǎn)Q′的坐標(biāo).

【錯解及認(rèn)知心理分析】本題的難度系數(shù)為0.88.這也是一道簡單題，但學(xué)生仍然有一定出錯的比例，多數(shù)是看錯數(shù)字，比如第（1）問正確，在第（2）問中把矩陣A中個別數(shù)字抄錯，導(dǎo)致解題錯誤.我們通過調(diào)取錯解案例，對產(chǎn)生錯解的學(xué)生進(jìn)行個別訪談，了解到學(xué)生能夠知道這道題目的解題方法，能夠準(zhǔn)確表述矩陣乘以點(diǎn)（或向量）的公式. 但是由于必做卷的兩個小時的投入，頭腦產(chǎn)生疲倦，導(dǎo)致諸如“看錯數(shù)”等低級錯誤.

學(xué)生解題的“會而不對”現(xiàn)象，產(chǎn)生的原因有很多.我們從認(rèn)知心理的視角看，主要有三個方面的原因：一是解題過程中的認(rèn)知干擾，比如，例1中進(jìn)行錯位相減的最后一項(xiàng)時容易受到前面的“慣性”認(rèn)知，寫錯符號;二是先前的解題經(jīng)驗(yàn)在認(rèn)知上有時會產(chǎn)生副作用，導(dǎo)致對當(dāng)前解題產(chǎn)生干擾，比如例2和例3中的“誤解題意”;三是學(xué)生當(dāng)下的解題狀態(tài)不佳時也容易導(dǎo)致“會而不對”現(xiàn)象，比如例2午練中“睡意”，例3跑操后身體上的“疲憊”，例4前兩個小時的必做題，尤其是第19、20題消耗了學(xué)生的體力和腦力，導(dǎo)致頭腦“疲倦”.

二、從認(rèn)知心理視角看減少“會而不對”現(xiàn)象的對策

學(xué)生產(chǎn)生“會而不對”現(xiàn)象的案例主要為容易題和中檔題.根據(jù)學(xué)生產(chǎn)生“會而不對”現(xiàn)象的原因，筆者認(rèn)為可以從以下幾個方面減少學(xué)生的“會而不對”現(xiàn)象.

（一）教師需加強(qiáng)“數(shù)學(xué)理解”，創(chuàng)造“教育數(shù)學(xué)”

對于高中數(shù)學(xué)教師而言，教好數(shù)學(xué)首先就要準(zhǔn)確深入地理解數(shù)學(xué)，否則就無法對學(xué)生進(jìn)行有效的指導(dǎo)，與學(xué)生進(jìn)行解題交流時就會“捉襟見肘”，缺少章法，也缺少底氣. 數(shù)學(xué)教育要靠數(shù)學(xué)科學(xué)提供材料，對材料進(jìn)行教學(xué)法的加工使之形成教材（教學(xué)的材料），這屬于教育數(shù)學(xué)的任務(wù).把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)比作吃核桃，教育數(shù)學(xué)就要研究怎么改良核桃的品種，讓核桃的殼更薄，更好砸，營養(yǎng)更豐富，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是研究、改造、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容.

對于差比型的數(shù)列問題，根據(jù)例1的數(shù)據(jù)分析，筆者發(fā)現(xiàn)S老師和T老師的教學(xué)效果存在差異.通過對S老師和T老師的訪談，我們發(fā)現(xiàn)，T老師對錯位相減法的理解更加深刻，比如運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行了一般化的研究.T老師對步驟的歸納更加清晰，比如補(bǔ)0對齊，可以有效減少前面n項(xiàng)作差導(dǎo)致的認(rèn)知干擾. 自然T老師給予學(xué)生的指導(dǎo)更為有效. 可以說T老師對“錯位相減法”進(jìn)行了“教育數(shù)學(xué)”.

（二）學(xué)生要細(xì)化“運(yùn)算步驟”，減少“誤傳題意”

學(xué)生解題的“會而不對”現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為兩個方面：運(yùn)算錯誤與誤傳題意.

由于部分學(xué)生的短時記憶能力不佳，心算能力較弱，導(dǎo)致計(jì)算的錯誤率較高. 有序的書寫，在運(yùn)算的拐彎處（比如去負(fù)括號、等式兩邊同乘以一個非零數(shù)等），適當(dāng)細(xì)化運(yùn)算步驟，多寫幾行草稿，這樣增加一種視覺刺激，認(rèn)知的準(zhǔn)確就會提高，計(jì)算的錯誤率就會下降. 比如在例1中錯位相減法求和的最后一步，整理的過程就可以多寫幾步.

準(zhǔn)確理解題意是正確解題的前提. 學(xué)生在解題時更容易受到先前類似信息的干擾，產(chǎn)生認(rèn)知錯誤. 因此讀題時更需放慢速度，動筆作適當(dāng)圈畫，多重感官協(xié)調(diào)，減少“誤傳題意”. 同時需注意解題過程的監(jiān)控，包括解題速度的監(jiān)控，也包括解題結(jié)果的監(jiān)控.? 在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，適當(dāng)對問題進(jìn)行主動變式， 增強(qiáng)對相似問題的辨別力. 在錯題本劃出專門 “會而不對”類問題專區(qū)，歸納整理，增強(qiáng)對此類錯誤的長久免疫力.

（三）學(xué)校管理者要科學(xué)安排學(xué)生的練習(xí)時間，著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展

疲倦狀態(tài)下的頭腦是很難有效吸取知識的，同樣疲倦狀態(tài)下的頭腦也很難有效解題.比如學(xué)生在午練中“會而不對”現(xiàn)象的比例會高于平時的解題.學(xué)校的管理者不應(yīng)讓學(xué)生打疲勞戰(zhàn)，追求解題的數(shù)量，犧牲解題的質(zhì)量. 在新的高考背景下，耗時間打疲勞戰(zhàn)無法贏得良好的高考成績，更無法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也不能落實(shí)立德樹人的根本任務(wù). 這要求學(xué)校管理者要科學(xué)規(guī)劃學(xué)生的練習(xí)時間與休息時間，著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.