基于相異概念的小學數(shù)學第一學段“形”概念教學探析

蘇娜

【摘 ? 要】小學數(shù)學第一學段中有關(guān)“形”的概念往往只有描述性定義或舉例說明，加之很多教師對學生頭腦中原有的相異概念關(guān)注不夠，致使教學效果不盡如人意。教師以《角的初步認識》一課的教學為例，通過調(diào)查了解學生在學習角之前關(guān)于角的原有的“相異概念”，分析其成因并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的轉(zhuǎn)化對策，實現(xiàn)有效教學。

【關(guān)鍵詞】相異概念;“形”概念教學;角

一、直面病癥：“形”概念教學效果不佳

小學階段，概念教學貫穿于數(shù)學學習始終。但概念學習效果并不理想，尤其是第一學段“形”的概念學習效果更是不盡如人意。如學生在學習《角的初步認識》之后，對角的概念還是不夠明晰，尤其對角大小的比較感到困惑，只能硬記“角的大小與張口大小有關(guān)，與邊的長短無關(guān)”。究其原因，教師沒有真正讀懂學生，對學生原有的相異概念關(guān)注不夠。

兒童在學習之前建立起來的偏離或背離科學概念的思維結(jié)構(gòu)、觀點與看法，被稱為“相異概念”。[1]找到并修正學生頭腦中的相異概念是教師需要持續(xù)關(guān)注、探索的問題。本文以《角的初步認識》為例，通過調(diào)查，了解學生存在的關(guān)于角的原有的相異概念，分析其成因并提出相應(yīng)的轉(zhuǎn)化解決對策，以達成有效教學。同時也希望能對老師們進行第一學段“形”概念的教學有一些啟示。

二、精準把脈：準確診斷相異概念

為了找準學生的相異概念，我們采用問卷調(diào)查和訪談等方法，隨機抽取兩個學校（杭州主城區(qū)小學和城郊小學）二年級127名學生作為測試對象，實施“角的初步認識”前測。之后結(jié)合調(diào)查和訪談結(jié)果，對前測結(jié)果進行定量分析與定性描述，歸納得出學生有關(guān)“角”的相異概念。

（一）角的概念認知模糊

【數(shù)據(jù)呈現(xiàn)】

【把脈診斷】

如圖1，有關(guān)“角”的概念，學生主要存在以下三個相異概念。

相異概念1：只要有尖尖的地方的就是角。24.41%的學生對“角”尚未形成數(shù)學性的認識，認為牛角、墻角等有尖尖的地方就是角。在對“角”已具備模糊數(shù)學概念的75.59%的學生中，8.66%的學生畫出了三角形，認為角的樣子就是三角形。學生在訪談中表示：“因為三角形有尖尖的地方，所以它是角?！?/p>

相異概念2：角指的就是尖尖的部分。54.33%的學生對“角”的認知停留在“角就是尖尖的那個點”上（如作品1和作品2）。這部分學生已經(jīng)能夠感知到角是尖尖的，但由于認知結(jié)構(gòu)的固化，誤將尖尖的部分當作角。

相異概念3：有一條邊水平放置的才是角。訪談中發(fā)現(xiàn)，學生在正式學習角的認識之前，在一些幼兒讀物上接觸過角，幾乎都有一條邊水平放置，導致學生形成對角的認知偏差。

（二）角的大小指向不明

【數(shù)據(jù)呈現(xiàn)】

【把脈診斷】

如表1，有關(guān)角的大小比較，學生主要存在以下三個相異概念。

相異概念1：角的邊越長，角就越大。70.08%的學生受學過的線段長短比較的負遷移，認為邊越長，角肯定越大。

相異概念2：角的兩條邊可見部分（所繪線段端點）連接的線段越長，角越大。31.5%的學生認為角的大小比較是看連接兩條可見邊的線段，它越長，角越大。

相異概念3：角的大小比較的是角的“面”。66.93%的學生錯誤地認為比角就是比角的“面”，把兩條可見邊連起來變成“三角形”，三角形“面”越大，角就越大。

產(chǎn)生這些相異概念最主要的原因是學生不知道角的大小到底指的是什么。在以往的生活學習中，他們有過不少類似經(jīng)驗：蘋果的大小比較、表面的大小比較、線段的長短比較等等。當比較角的大小時，學生順理成章地調(diào)用這些經(jīng)驗，出現(xiàn)以上符合學生認知規(guī)律的相異概念。

三、對癥下藥：探尋相異概念轉(zhuǎn)化策略

（一）追本溯源，明晰數(shù)學概念本質(zhì)

在進行“形”的概念教學之前，教師應(yīng)追本溯源，準確把握概念內(nèi)涵，明晰概念本質(zhì)。第一學段“形”的概念往往只有描述性定義或舉例說明，如教學“角的初步認識”時，人教版教材只要求學生能結(jié)合生活情境認識角，能從實物中抽象出角，對定義未做要求，只采取舉例的方式。蘇教版和北師大版教材也是如此。這固然與學生沒有學過射線等相關(guān)概念的知識基礎(chǔ)有關(guān)，但教師在教學角的初步認識時，要有清晰的角概念的科學定義和上位知識，否則在教學時不但不能破除學生原有的相異概念，還有可能因此讓學生形成新的相異概念。

1.追本，厘清概念內(nèi)涵

什么是角？通過查閱文獻及相關(guān)教科書，發(fā)現(xiàn)角主要有以下定義：（1）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角，這個共同端點叫作角的頂點，這兩條射線叫作角的邊。[2]（2）由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，叫作角。[3]（3）“平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上兩條相交線相互的傾斜度（the plane angle is the angle that two intersecting lines in the same plane result in）。[4]

2.溯源，找到概念源頭

數(shù)學為什么要定義角？有研究者認為：數(shù)學定義角是出于定量研究某圖形（角）中兩邊張開度大小的需要，角的數(shù)學定義產(chǎn)生的實際過程很可能是先有比較張開度的大小的問題，再有角的定義，角應(yīng)是一個刻畫張開度的問題。[5]

當教師對角的定義有了明晰的科學認識，在教學時就不會發(fā)生偏差。如在新課引入時教師可以從刻畫張開度引入。

【教學片段1】

師：小朋友，見過大嘴鳥嗎？它們倆誰的嘴巴張得大些？

生：第一只。

師：你能比畫這兩只鳥嘴巴的張開度嗎？誰愿意上來比畫一下？

師：我們可以把剛才的手勢轉(zhuǎn)化為圖形來表示。

（師邊說邊畫角的一個頂點、兩條邊。用短弧標注張開的程度）

師：這就是我們今天要認識的數(shù)學中的角。

這樣從一開始學生就建立了角是刻畫張開度的認知，為后面進行角的大小比較時破除相關(guān)相異概念奠定了基礎(chǔ)。

（二）引發(fā)沖突，重構(gòu)準確數(shù)學概念

學習是學生主動建構(gòu)的過程，是需要學生主動放棄原有相異概念并建立新的準確概念的過程。學生在什么情況下才會主動放棄原有相異概念呢？在課堂教學中，適時地制造沖突，激化矛盾，可以動搖學生頭腦中頑固的錯誤觀念。當他們發(fā)現(xiàn)原有概念無法解決沖突時，就會心甘情愿地放棄舊有觀念。

1.巧問引發(fā)內(nèi)涵沖突，動搖相異概念

【教學片段2】

師：剛才大家說第一只鳥的嘴巴張得大，但老師怎么覺得是第二只鳥的嘴巴張得大，看起來第二只鳥的嘴巴長多了，這是為什么呢？

生：這是比誰的嘴巴張得大些，不是比誰的嘴巴長，和嘴巴的長短沒有關(guān)系。

師：誰能用上角的知識來說說這位小朋友的意思？

生：第一只鳥嘴巴形成的角比第二只鳥嘴巴形成的角大。

師：“角大”是什么意思？

生：兩邊張得開些。

小結(jié)：角的大小是指什么？（角兩邊的張開程度）

片段2中，教師在學生認知的生長點進行反問，引發(fā)學生對角的大小概念內(nèi)涵的認知沖突。學生通過思辨，破除角的大小與邊相關(guān)等相異概念，重建角的大小的“正確概念”——兩邊張開度的大小。教師還可以在學生認知的模糊處進行適當追問。如指角環(huán)節(jié)：指一指三角板的角在哪里。當學生只指向尖尖的點時，教師可以在黑板上畫下一個點，追問：“你的意思是這個點是‘角嗎？”引發(fā)矛盾沖突，使學生原有的觀念開始動搖，進而破除原有的相異概念，重建角的概念的正確內(nèi)涵。

2.變式引發(fā)外延沖突，促進概念辨析

第一學段“形”概念一般僅僅只用描述性定義或舉例說明，在教學時教師需要避免局部范例給學生帶來的相異概念。如部分學生存在“有一條邊水平放置的才是角”的相異概念。教師可以設(shè)置變化角的位置、角的邊的長短等變式練習進行辨析，引發(fā)學生對角概念外延的沖突，打破學生原有的相異概念，重構(gòu)概念的外延。

（三）多元操作，鞏固數(shù)學概念圖式

第一學段學生的思維還處在具體形象水平，而數(shù)學概念又相對抽象。所以在學習“形”概念時，學生需要足夠的時間和空間來進行動手操作，累積感性經(jīng)驗。教學《角的初步認識》時，教師可讓學生通過“指角”“折角”“畫角”“做角”“還角”等多元化的操作活動鞏固角的概念圖式。

1.借助畫角，豐富角靜態(tài)概念表象

畫角，實質(zhì)上是學生對概念進行再現(xiàn)的過程。通過自主畫角，學生可以明晰尖尖的點無法構(gòu)成角。此外，教師通過電子媒介呈現(xiàn)不同類型的學生作品，展開對比，以豐富角的概念表象，歸納梳理角的特點，幫助學生鞏固對“角”的靜態(tài)概念的理解。

2.借助做角，滲透角動態(tài)概念圖式

用鉛筆做角，也是學生對概念進行再現(xiàn)的過程。學生在思考兩支鉛筆湊在一起是否形成一個頂點的過程中關(guān)注到概念本質(zhì)。同時教師指導學生通過固定一支鉛筆，轉(zhuǎn)動另一支鉛筆讓角變大變小來感受角的大小變化，破除學生原有的角大小比較的相關(guān)相異概念，滲透角的動態(tài)概念的圖式，也為其后續(xù)學習直角、銳角、鈍角做好鋪墊。

（四）溝通統(tǒng)整，形成數(shù)學概念體系

數(shù)學知識是一個大網(wǎng)絡(luò)，在概念教學時教師要把握知識的內(nèi)在聯(lián)系性、連續(xù)性和統(tǒng)整性，形成數(shù)學概念體系，使學生更好地理解、掌握和應(yīng)用數(shù)學概念，避免相異概念反復出現(xiàn)。

1.注重前延后連，串聯(lián)成線

教學《角的初步認識》時，教師可以設(shè)計找角、還角的環(huán)節(jié)：在信封里裝三個角（銳角、鈍角、直角），要求學生從中找到從長方形紙上剪下來的角，還給長方形。學生會在頭腦中比對哪個角比較合適。這不僅溝通了角和已學平面圖形的關(guān)系，且在無形中又一次滲透了角的大小比較。教師進而引導學生思考：雖然直角都能和長方形重疊起來，但是邊有長短，這是為什么？學生再一次明確角的大小與邊長無關(guān)。這樣能夠很好地溝通概念的前延后連，將零散的知識點串聯(lián)成線，幫助學生深刻準確地理解概念本質(zhì)，消除相異概念。

2.繪制思維導圖，聯(lián)結(jié)成網(wǎng)

思維導圖是一種梳理概念之間聯(lián)系、呈現(xiàn)思維過程的結(jié)構(gòu)圖。學生在繪制時不僅需要將頭腦中所學的單元內(nèi)容進行收集、整理，還需要多方位分析這些概念的內(nèi)在聯(lián)系，理清概念脈絡(luò)，構(gòu)建出所學概念的全景圖。在這個過程中，學生能感知到自己對這部分概念的掌握程度，進一步破除相異概念，內(nèi)化概念本質(zhì)，有效加深對所學概念的全面理解。

參考文獻：

[1]丁杭纓，張園.小學數(shù)學相異概念的診斷與教學研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]《概念公式定理解讀手冊》編寫組.數(shù)學概念公式定理解讀手冊·初中分冊[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[3]《概念公式定理解讀手冊》編寫組.數(shù)學概念公式定理解讀手冊·高中分冊[M].北京：北京師范大學出版社.2007.

[4]歐幾里得.幾何原本[M].燕曉東，譯.南京：江蘇人民出版社，2011.

[5]任敏龍. 數(shù)學原型的選擇與加工[J].小學教學設(shè)計，2008（6）.

（浙江省杭州市余杭蔚瀾學校 ? 311100）