數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差成因及優(yōu)化路徑

芮金芳

【摘 ? 要】實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、記錄得到的相關(guān)數(shù)據(jù)。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生自我實(shí)證意識(shí)薄弱、實(shí)驗(yàn)素材不完備、教師自身理解力的缺失等原因?qū)е聰?shù)據(jù)虛假、異常數(shù)據(jù)發(fā)生及特殊數(shù)據(jù)流失等問(wèn)題時(shí)有發(fā)生。教師可從以下四方面入手來(lái)優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，促進(jìn)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)深度理解：借助不同數(shù)據(jù)比對(duì)，觸發(fā)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題生成;透視正確數(shù)據(jù)意義，促成實(shí)驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn);重視異常數(shù)據(jù)剖析，培育實(shí)驗(yàn)科學(xué)態(tài)度;解析特殊數(shù)據(jù)價(jià)值，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)反思精神。

【關(guān)鍵詞】實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù);觸發(fā)問(wèn)題;發(fā)現(xiàn)規(guī)律;培育態(tài)度;生長(zhǎng)精神

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生借助一定的實(shí)驗(yàn)素材、工具進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、創(chuàng)數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)工具，開展科學(xué)規(guī)范操作，通過(guò)觀察、記錄得到的相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果。學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中基于數(shù)據(jù)分析的操作，對(duì)理解概念本質(zhì)、證明規(guī)律真?zhèn)?、培育思維方式以及養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說(shuō)話的理性精神等具有重要的價(jià)值。本文試圖分析數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏差的原因及處理路徑。

一、思索：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差的成因

（一）自我實(shí)證意識(shí)薄弱，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)虛假

學(xué)生在日常收集數(shù)據(jù)時(shí)，受到教材預(yù)定結(jié)論的影響，往往更傾向于尋找常態(tài)數(shù)據(jù)，也就是與教材結(jié)論呈現(xiàn)相一致的數(shù)據(jù)。他們收集、記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，往往會(huì)有意識(shí)地向常態(tài)數(shù)據(jù)靠攏，導(dǎo)致收集到的數(shù)據(jù)不是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)所產(chǎn)生的真實(shí)記錄。即使在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)完全相反甚至有誤的數(shù)據(jù)，他們也會(huì)為了獲得期望結(jié)論而修改數(shù)據(jù)，從而影響數(shù)據(jù)的真實(shí)性、合理性和科學(xué)性。

比如學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，學(xué)生借助提供的素材，利用量一量、算一算的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、觀察比較、計(jì)算推理，初步發(fā)現(xiàn)結(jié)論。但由于操作方法的不當(dāng)或?qū)嶒?yàn)工具本身的差異，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（三角形內(nèi)角和度數(shù)）與180°這一結(jié)論有偏差，而學(xué)生因受固有結(jié)論的影響，缺乏深入解讀、分析數(shù)據(jù)的能力，常常會(huì)將這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行更改，造成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的失真。

（二）實(shí)驗(yàn)素材不完備，導(dǎo)致異常數(shù)據(jù)發(fā)生

實(shí)驗(yàn)素材是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的載體，實(shí)驗(yàn)素材的結(jié)構(gòu)性會(huì)直接影響實(shí)驗(yàn)進(jìn)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。比如，在研究“1元硬幣上的滴水實(shí)驗(yàn)”時(shí)，學(xué)生利用提供的滴管、1元硬幣、滴水容器等實(shí)驗(yàn)材料，開展動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察記錄，收集到如下數(shù)據(jù)。

觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，能夠發(fā)現(xiàn)：A、B、D三組實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示水滴數(shù)量是四十幾滴的概率較大，而C組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和其他小組卻有明顯差異。究其原因，C組使用的滴管開口較大，導(dǎo)致總滴數(shù)較少;當(dāng)然，造成這一結(jié)果也可能與實(shí)驗(yàn)中操作滴管的方法有關(guān)，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的異常與偏差?？梢?，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)盡量避免因?qū)嶒?yàn)器材、操作不當(dāng)?shù)纫蛩貙?dǎo)致數(shù)據(jù)異常情況的發(fā)生。

（三）教師自身理解力缺失，導(dǎo)致特殊數(shù)據(jù)流失

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，有些教師比較關(guān)注實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)、組織、實(shí)施過(guò)程，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)化分析時(shí)卻常常輕描淡寫，甚至一筆帶過(guò)。比如，教學(xué)“可能性”時(shí)，教師組織學(xué)生在裝有3個(gè)黃球、3個(gè)白球的袋中進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，體驗(yàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的等可能性。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)遇到摸到“黃球18次，白球2次”這樣的特殊數(shù)據(jù)。出現(xiàn)這種情形，有的教師自身缺乏本體性知識(shí)的支撐，不能用好這些生成性資源以促進(jìn)學(xué)生感悟，常常是簡(jiǎn)單、籠統(tǒng)地一帶而過(guò)，甚至采取回避的態(tài)度。這樣處理，無(wú)法彰顯數(shù)據(jù)分析的意義和價(jià)值，錯(cuò)失對(duì)數(shù)據(jù)深入解讀的最佳時(shí)機(jī)，使得學(xué)生對(duì)等可能性事件發(fā)生的認(rèn)識(shí)僅停留于表層，而不能觸及隨機(jī)思想的本質(zhì)。

二、實(shí)踐：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)優(yōu)化處理的路徑探尋

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都需要借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)并對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)化收集、整理、描述、分析，在對(duì)比勾連、分析比較、推理延伸中逐步明晰其內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，進(jìn)而理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題。

（一）借助不同數(shù)據(jù)對(duì)比，觸發(fā)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題生成

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈莫斯說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟?！眴?wèn)題解決是數(shù)學(xué)思維的核心。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)收集、記錄的數(shù)據(jù)，觸發(fā)有價(jià)值的問(wèn)題或提出合理的假設(shè)，繼而進(jìn)一步展開實(shí)驗(yàn)進(jìn)程，在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與問(wèn)題剖析中獲得經(jīng)驗(yàn)的證實(shí)、方法的提升、思維的生長(zhǎng)。

比如在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師提供定長(zhǎng)為15厘米的實(shí)驗(yàn)材料，要求學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，將15厘米長(zhǎng)的小棒分成三段（取整厘米數(shù)），看能否圍成一個(gè)三角形。在這一問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)得到多樣化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分類整理如下表。

之后，教師組織學(xué)生對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，思考：為什么有的分法能圍成三角形？有的不能圍成三角形？通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、圖例對(duì)比，學(xué)生初步感知“當(dāng)兩根小棒的長(zhǎng)度之和小于第三條邊時(shí)，這三根小棒不能圍成三角形”。繼而進(jìn)一步思考：怎樣長(zhǎng)的三根小棒一定能圍成三角形？通過(guò)對(duì)前三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀察、比較、思辨，學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)逐漸從模糊走向清晰，從單一走向立體，從零散走向系統(tǒng)，為后面深入驗(yàn)證三角形三邊關(guān)系提供了有效的學(xué)習(xí)線索和研究路徑。

（二）透視正確數(shù)據(jù)意義，促成實(shí)驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)

數(shù)據(jù)收集的過(guò)程是學(xué)生動(dòng)手做的過(guò)程，也是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行深度思考、加工、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。學(xué)生在小組實(shí)驗(yàn)中收集的往往是零散的、單個(gè)的數(shù)據(jù)，為了使學(xué)生能用數(shù)據(jù)說(shuō)話，用證據(jù)解釋，養(yǎng)成有理有據(jù)的思考方式，教師要重視引導(dǎo)他們從個(gè)體數(shù)據(jù)逐步放眼到集體數(shù)據(jù)，在對(duì)多個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行全面剖析、思考解讀中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，促進(jìn)思維進(jìn)階。

比如，在教學(xué)《樹葉中的比》一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察常見樹葉的形狀，圍繞核心問(wèn)題提出實(shí)驗(yàn)猜想：樹葉的形狀可能與什么有關(guān)？與長(zhǎng)、寬的和、差、積、商中哪個(gè)值有關(guān)？師生制定實(shí)驗(yàn)方案后，分組開展實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。之后，選取各小組測(cè)量、記錄的幾種典型樹葉長(zhǎng)與寬的比值進(jìn)行交流展示（見下表）。

在對(duì)不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的深入比較中，引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）同一種樹葉每次測(cè)量計(jì)算的比值相同嗎？選擇哪個(gè)數(shù)據(jù)表示樹葉的形狀比較合適呢？（2）比較同組內(nèi)每種樹葉的比值和形狀，你有什么發(fā)現(xiàn)？比較不同組內(nèi)每種樹葉的比值和形狀，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

通過(guò)對(duì)同組、異組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比解讀，促成學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)背后的一般規(guī)律，如“同一種樹葉長(zhǎng)與寬的比值都比較接近”“長(zhǎng)與寬比值接近的不同樹葉，形狀也相似”“像柳樹葉這樣的樹葉，形狀越狹長(zhǎng)，樹葉長(zhǎng)與寬的比值越大”“像銀杏葉這樣的樹葉，形狀越扁胖，樹葉長(zhǎng)與寬的比值越小”等。通過(guò)對(duì)大量真實(shí)可感的數(shù)據(jù)的分析，學(xué)生原先模糊甚至錯(cuò)誤的估計(jì)逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)化的理性思考。他們將實(shí)驗(yàn)中動(dòng)手“做”的經(jīng)驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)融合運(yùn)用，以實(shí)驗(yàn)中樹葉長(zhǎng)與寬的比值作為參照，繼而猜想其他樹葉長(zhǎng)與寬比值的情況，并對(duì)現(xiàn)象做出合情合理的解釋，發(fā)現(xiàn)更多數(shù)據(jù)背后內(nèi)隱的數(shù)學(xué)規(guī)律。學(xué)生在對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的合理估計(jì)、大膽推理中，逐漸明晰數(shù)據(jù)之間的彼此關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)有條理、有根據(jù)地進(jìn)行思考。

（三）重視異常數(shù)據(jù)剖析，培育實(shí)驗(yàn)科學(xué)態(tài)度

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的深度定性分析和精準(zhǔn)定量刻畫，能促進(jìn)學(xué)生從被動(dòng)記錄走向主動(dòng)分析，從離散表征走向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成用數(shù)據(jù)分析、推斷的思維方式，而對(duì)實(shí)驗(yàn)中的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行客觀、理性的剖析，有利于培育學(xué)生的科學(xué)態(tài)度。

比如學(xué)習(xí)“圓的周長(zhǎng)”一課，學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)素材動(dòng)手測(cè)量計(jì)算“圓的周長(zhǎng)與它直徑的比值”時(shí)，常常受到實(shí)驗(yàn)素材、實(shí)驗(yàn)工具、測(cè)量方法、操作失誤等因素的影響，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生較大誤差，甚至出現(xiàn)一些極端異常數(shù)據(jù)。如下表中第三組測(cè)量計(jì)算結(jié)果。

針對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的異常數(shù)據(jù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)、合理的分析：第三小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與其他小組差異較大，可能是什么原因?qū)е碌模扛鶕?jù)大家的提醒和建議，第三小組同學(xué)再測(cè)量計(jì)算一次如何？對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行深刻剖析、解讀、思辨，一方面使學(xué)生知曉科學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法，從而減少因其他因素干擾導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)中異常數(shù)據(jù)產(chǎn)生的概率;另一方面有利于學(xué)生學(xué)會(huì)客觀、理性地對(duì)待異常數(shù)據(jù)，培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)精神和一絲不茍的實(shí)驗(yàn)態(tài)度。

（四）解析特殊數(shù)據(jù)價(jià)值，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)反思精神

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)是不可操控的。對(duì)于一些意外實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生，教師常常不知所措，甚至?xí)扇∮幸庖?guī)避的態(tài)度。其實(shí)，這些特殊數(shù)據(jù)更能客觀反映實(shí)際背景，往往蘊(yùn)藏著豐富的教育價(jià)值，因此是教學(xué)中不可多得的資源。教學(xué)時(shí)，教師如果能換個(gè)視角來(lái)解析這些特殊數(shù)據(jù)，常常會(huì)使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的新領(lǐng)悟。

比如教學(xué)“可能性”時(shí)，教師組織學(xué)生在裝有2個(gè)黃球、2個(gè)白球的袋子里進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)，課堂中常常會(huì)出現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)預(yù)期不一致的特殊數(shù)據(jù)，比如出現(xiàn)“全部摸到黃球或白球”的小概率事件，這些特殊數(shù)據(jù)的產(chǎn)生，體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的真實(shí)性，是“好”的數(shù)據(jù)。深入剖析、解讀這些特殊數(shù)據(jù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)小概率事件的發(fā)生更能讓學(xué)生感悟隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，即“必然中存在著偶然”，從而讓學(xué)生更好地感受“可能性”的豐富內(nèi)涵。因而，教學(xué)中，應(yīng)抓住這些特殊數(shù)據(jù)，促進(jìn)學(xué)生感悟。比如：（1）第二小組已經(jīng)連續(xù)5次摸到黃球，如果再摸一次結(jié)果會(huì)怎樣？你認(rèn)為可能會(huì)摸到哪種顏色的球？（2）“全部摸到黃球”這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否合理？為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)？（3）你對(duì)這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有什么新的體會(huì)和思考？學(xué)生通過(guò)對(duì)摸球?qū)嶒?yàn)中出現(xiàn)的特殊數(shù)據(jù)展開深入分析，深刻體會(huì)“隨機(jī)”思想，感受“可能性”的內(nèi)涵，多次經(jīng)歷這樣的體驗(yàn)，就會(huì)逐步形成“用不確定思維來(lái)代替確定性思維”的思考方式。

抓住數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的特殊數(shù)據(jù)，將其轉(zhuǎn)化成一種寶貴的學(xué)習(xí)資源，組織學(xué)生客觀、全面、科學(xué)地看待、理解、分析這些數(shù)據(jù)，有利于提升、拓寬、豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)視域。當(dāng)然，這也是對(duì)教師學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)的考驗(yàn)，敏銳抓住這些資源并加以巧妙利用，有利于提升教師的課程理解力和行動(dòng)力。

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（江蘇省溧陽(yáng)市平橋小學(xué) ? 213334）