基于多模型加權(quán)的高速?gòu)椡枘繕?biāo)落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法研究

梅玉航， 韓先平

(中國(guó)人民解放軍92941部隊(duì)，遼寧 葫蘆島 125000)

隨著武器裝備的快速發(fā)展，新型高速?gòu)椡桀愇淦饕蚓哂谐跛倏?、射程遠(yuǎn)、反射面積小、威力大、難截獲等優(yōu)點(diǎn)，成為世界各軍事強(qiáng)國(guó)發(fā)展的重點(diǎn)[1]。在海上試驗(yàn)時(shí)，高速?gòu)椡桀惸繕?biāo)外彈道測(cè)量一般以岸基或艦載雷達(dá)為主，其落點(diǎn)精度關(guān)系武器系統(tǒng)的考核鑒定和后續(xù)改進(jìn)，是試驗(yàn)測(cè)量的重點(diǎn)環(huán)節(jié)。但受雷達(dá)布站、作用距離、海雜波干擾等影響，隨著射程由近及遠(yuǎn)，外彈道測(cè)量精度逐漸降低，甚至難以測(cè)量到完整彈道，給落點(diǎn)預(yù)測(cè)帶來(lái)了極大的難題[2]。這就需要對(duì)已測(cè)彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行合理數(shù)學(xué)建模，再進(jìn)行外推處理預(yù)測(cè)落點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 高速?gòu)椡枘繕?biāo)彈道測(cè)量外推及落點(diǎn)預(yù)測(cè)示意圖

目前，利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建模外推預(yù)測(cè)落點(diǎn)的方法主要有兩種。一種是基于運(yùn)動(dòng)學(xué)建模法，通常用一段實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合多項(xiàng)式參數(shù)來(lái)描述彈道軌跡[3]。該方法的優(yōu)點(diǎn)是用較少的數(shù)據(jù)最大程度地逼近真實(shí)彈道，減少了模型的不確定性，建模簡(jiǎn)單，預(yù)測(cè)結(jié)果貼近實(shí)際，落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度取決于擬合段與目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的貼合程度。因此，該方法更適用于目標(biāo)接近海面段較短時(shí)間范圍的建模預(yù)測(cè)。另一種是基于動(dòng)力學(xué)的建模法，通常根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)和受力實(shí)際情況，建立微分方程求解目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡。該方法模型相對(duì)復(fù)雜，考慮受力情況多，但針對(duì)彈丸類小目標(biāo)可以將其作為質(zhì)點(diǎn)考慮，忽略攻角等繞質(zhì)心力因素，簡(jiǎn)化自由度模型[4]。該方法更適用于大段數(shù)據(jù)缺失情況下的建模預(yù)測(cè)，落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度取決于初值的選取以及彈丸飛行中實(shí)際受力參數(shù)的影響。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)彈丸類目標(biāo)的彈道外推及落點(diǎn)預(yù)測(cè)已取得了一些成果。文獻(xiàn)[5]利用遺傳算法基于簡(jiǎn)化后的四自由度模型對(duì)彈道落點(diǎn)實(shí)現(xiàn)精細(xì)預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[6]利用擬合彈道系數(shù)的方法彌補(bǔ)了測(cè)量誤差偏大對(duì)外推精度的影響；文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)了混合擴(kuò)展卡爾曼濾波方法，對(duì)實(shí)測(cè)彈道濾波并辨識(shí)空氣阻力系數(shù)，基于五自由度模型重構(gòu)彈道，提高了落點(diǎn)預(yù)報(bào)精度。但總而言之，以上算法復(fù)雜，對(duì)彈道特性和空阻參數(shù)等依賴性強(qiáng)，如測(cè)量條件苛刻，預(yù)測(cè)精度將嚴(yán)重下降。針對(duì)該類問(wèn)題，基于非線性卡爾曼濾波技術(shù)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，提高了建模精度。將簡(jiǎn)化的三自由度動(dòng)力學(xué)模型與彈體運(yùn)動(dòng)學(xué)擬合方法相結(jié)合，提出了基于多模型加權(quán)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法，增強(qiáng)了彈道外推的適應(yīng)性，提高了彈道重構(gòu)及落點(diǎn)預(yù)測(cè)的精度和速度。滿足了彈丸類高速小目標(biāo)海上試驗(yàn)彈道及落點(diǎn)高精度處理的實(shí)際需求。

1 傳統(tǒng)彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法

1.1 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)

運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道建模一般利用一段實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基于線性最小二乘原理作曲線擬合。在處理高速?gòu)椡鑿椀罆r(shí)，將彈丸運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)無(wú)動(dòng)力拋物運(yùn)動(dòng)。因此，越接近落點(diǎn)段越符合目標(biāo)運(yùn)動(dòng)實(shí)際。選取末段彈道建立多項(xiàng)式擬合函數(shù)方程，描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)位置和時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中階數(shù)決定了參數(shù)多少，一般為3階，不宜太高[8]。經(jīng)推導(dǎo)后的擬合多項(xiàng)式通用外推模型如下。

設(shè)擬合多項(xiàng)式U的系數(shù)矩陣為

式中，

(1)

其中，m為擬合點(diǎn)數(shù);n為多項(xiàng)式擬合次數(shù);擬合后結(jié)果為

(2)

一般當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)末點(diǎn)距海面僅幾十米時(shí)，可以直接用線性外推到y(tǒng)=0做簡(jiǎn)化處理。

1.2 基于動(dòng)力學(xué)模型的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)

動(dòng)力學(xué)彈道建模重構(gòu)屬于精準(zhǔn)外推法，較為準(zhǔn)確，是六自由度剛體彈道模型。那么精準(zhǔn)外推一般需要滿足3個(gè)條件：已測(cè)量數(shù)據(jù)的精確濾波、彈道范圍內(nèi)的空氣阻力數(shù)據(jù)和落點(diǎn)范圍的地形(如潮汐、高程異常等)。筆者認(rèn)為彈丸目標(biāo)在空中做質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)且狀態(tài)穩(wěn)定，因此忽略攻角及彈體旋轉(zhuǎn)等因素，采用簡(jiǎn)化的三自由度模型，具體公式見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

2 基于多模型加權(quán)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)

2.1 雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)的非線性濾波

當(dāng)目標(biāo)在海上實(shí)際飛行時(shí)，受各種力的影響導(dǎo)致目標(biāo)測(cè)量值與其狀態(tài)參數(shù)間一般為非線性關(guān)系，即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡呈非線性化。因此，采用基于無(wú)跡變換的非線性卡爾曼濾波技術(shù)[10]來(lái)處理雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)。無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)通過(guò)n個(gè)在先驗(yàn)分布采集點(diǎn)的線性回歸來(lái)線性化隨機(jī)變量的非線性函數(shù),能有效地克服泰勒級(jí)數(shù)線性化估計(jì)精度低、穩(wěn)定性差的問(wèn)題，對(duì)于非線性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度更高。因此，可獲得更高精度的目標(biāo)位置估計(jì)。同時(shí)通過(guò)微分解算可以解析出速度信息，最終實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)落點(diǎn)預(yù)測(cè)。

設(shè)t時(shí)刻目標(biāo)在某雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系下的方位角、高低角、斜距分別為α,γ,R，則目標(biāo)在該雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系的坐標(biāo)xc,yc,zc為

(3)

則目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)x,y,z為

(4)

式中，φc-f為測(cè)量坐標(biāo)系到發(fā)射坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；x0i,y0i,z0i為第i個(gè)雷達(dá)測(cè)站在發(fā)射坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。雷達(dá)測(cè)系與炮彈發(fā)射系的空間位置關(guān)系見(jiàn)圖1。

在彈道濾波中，取目標(biāo)發(fā)射坐標(biāo)系下位置坐標(biāo)x,y,z和速度分量vx,vy,vz作為狀態(tài)變量。

X=[x,y,z,vx,vy,vz]T=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T

那么基于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三自由度模型可改寫(xiě)成如下濾波估計(jì)模型：

(5)

在落點(diǎn)預(yù)測(cè)時(shí)，由于彈道系數(shù)、彈徑、重量、風(fēng)阻系數(shù)等已知，以濾波估計(jì)后末點(diǎn)數(shù)值進(jìn)行彈道外推，直到H海面高=0結(jié)束。其中，海面高與目標(biāo)大地坐標(biāo)及落點(diǎn)海域有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

H海面高=H大地高-ξ高程異常-H潮高+h海平面高

(6)

即可計(jì)算出精準(zhǔn)的落點(diǎn)坐標(biāo)。

2.2 基于多模型加權(quán)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法

雷達(dá)在跟蹤測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，隨著距離漸遠(yuǎn)定位誤差將逐漸增大，測(cè)量數(shù)據(jù)末段往往受干擾比較嚴(yán)重，表現(xiàn)出隨機(jī)誤差或野值較大，且目標(biāo)在中高空飛行時(shí)受到一定程度大氣電波折射的影響，這些都加大了雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差，也直接影響了彈道重構(gòu)和落點(diǎn)預(yù)測(cè)的精度。另外，空氣阻力系數(shù)等參數(shù)一般需要經(jīng)實(shí)測(cè)氣象數(shù)據(jù)仿真得到，但目標(biāo)真實(shí)飛行氣象環(huán)境很難準(zhǔn)確預(yù)估，因此，僅依靠某單一方法建模預(yù)測(cè)都將有其弊端。筆者另辟蹊徑，基于多模型理論[11]，采用非線性加權(quán)平均最優(yōu)組合估計(jì)方法，將運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模重構(gòu)的彈道加權(quán)組合，能夠有效提高彈道及落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度。

設(shè)基于運(yùn)動(dòng)學(xué)外推結(jié)果為X1t，對(duì)應(yīng)權(quán)值為W1；基于動(dòng)力學(xué)外推結(jié)果為X2t，對(duì)應(yīng)權(quán)值為W2，這里應(yīng)滿足W1+W2=1。

根據(jù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算思想[12]，第t時(shí)刻的加權(quán)調(diào)和平均組合估計(jì)值為

(7)

基于多模型加權(quán)的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法流程如圖2所示。

圖2 基于多模型加權(quán)的彈道落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法流程

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以某海上射擊試驗(yàn)為例，彈丸艦載發(fā)射，在附近岸基布有高精度測(cè)量雷達(dá)，對(duì)炮彈外彈道全程跟蹤測(cè)量。在彈丸落水區(qū)域采用無(wú)人機(jī)對(duì)彈丸落點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)[13]，地面配合有遙測(cè)車，可以獲取彈丸飛行姿態(tài)和位置等信息。

彈丸發(fā)射后作無(wú)受力拋物運(yùn)動(dòng)，飛行末段由于目標(biāo)RCS特性漸弱，最終超出了雷達(dá)作用能力，受海面復(fù)雜背景影響，雷達(dá)末段測(cè)量數(shù)據(jù)表現(xiàn)出噪聲非常大，且伴有不連續(xù)大段野值[14]，最終距離海面約900 m時(shí)，雷達(dá)跟蹤目標(biāo)失鎖。應(yīng)用多模型加權(quán)的方法外推計(jì)算雷達(dá)丟失段彈道數(shù)據(jù)，重構(gòu)出完整彈道參數(shù)，并計(jì)算出炮彈落水位置。將彈載遙測(cè)彈道數(shù)據(jù)作為真值，分別驗(yàn)證本文算法和傳統(tǒng)彈道外推算法及落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度。

3.1 彈道外推精度驗(yàn)證

首先將目標(biāo)彈道測(cè)量數(shù)據(jù)(包括雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系下數(shù)據(jù)和彈載遙測(cè)大地坐標(biāo)系下數(shù)據(jù))統(tǒng)一計(jì)算到以炮彈發(fā)射口為原點(diǎn)，射向?yàn)閄軸的發(fā)射坐標(biāo)系中。以彈丸飛行時(shí)間為序列基準(zhǔn)，剔除雷測(cè)數(shù)據(jù)粗大野值，并進(jìn)行濾波平滑處理。選取距海面最近段數(shù)據(jù)折優(yōu)選取外推點(diǎn)初值或擬合段數(shù)據(jù)，分別用本文方法、多項(xiàng)式擬合法和文獻(xiàn)[7]中基于混合擴(kuò)展卡爾曼濾波的剛體五自由度建模法外推計(jì)算的彈道結(jié)果與遙測(cè)彈道真值作一次差，發(fā)射系下不同方向定位誤差比對(duì)結(jié)果，如圖3～圖5所示。其中，紅色粗實(shí)線表示本文方法外推數(shù)據(jù)誤差；黑色細(xì)實(shí)線表示多項(xiàng)式擬合法外推數(shù)據(jù)誤差；藍(lán)色虛線表示文獻(xiàn)[7]中剛體五自由度建模法外推數(shù)據(jù)誤差。統(tǒng)計(jì)外推誤差并分析不同方法計(jì)算的彈道精度，見(jiàn)表1。

圖3 X方向彈道外推誤差比對(duì)圖

圖4 Y方向彈道外推誤差比對(duì)圖

圖5 Z方向彈道外推誤差比對(duì)圖

表1 外推彈道誤差結(jié)果統(tǒng)計(jì)

3.2 落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度驗(yàn)證

將無(wú)人機(jī)測(cè)量到的彈丸落點(diǎn)水柱位置信息作為真值，同理，統(tǒng)一到以發(fā)射口為原點(diǎn)的發(fā)射系坐標(biāo)中，選取不同高度的彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行落點(diǎn)預(yù)測(cè)，比較不同方法計(jì)算的落點(diǎn)位置精度，見(jiàn)表2。

表2 不同方法計(jì)算落點(diǎn)位置精度比對(duì) 單位：m

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，外推定位誤差小于4 m，2 km高度內(nèi)落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度優(yōu)于5 m，在高度方向由于雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)受大氣電波折射影響，誤差略大，但整體外推結(jié)果精度高于同類算法。文獻(xiàn)[7]中采用的混合擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)彈道側(cè)偏濾波效果并不理想[7]，而本文采用的無(wú)跡卡爾曼濾波技術(shù)更適合該類無(wú)動(dòng)力彈丸目標(biāo)雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)，濾波后數(shù)據(jù)更平穩(wěn)，基于多自由度建模初值的選取更加準(zhǔn)確，因此，外彈道建模精度更高。另外，由表2可以看出，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的多項(xiàng)式擬合方法預(yù)測(cè)落點(diǎn)精度與擬合段高度有關(guān)，遠(yuǎn)距離預(yù)測(cè)必然因模型誤差導(dǎo)致計(jì)算偏差，但在接近落點(diǎn)處擬合卻更容易逼近真值；剛體五自由度模型受空氣動(dòng)力系數(shù)、彈體與空氣摩擦燒蝕等因素影響，在外推計(jì)算時(shí)隨高度增加也代入了一定參數(shù)誤差，而且對(duì)于彈丸類高速小目標(biāo)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中攻角完全可以視為0，即可以簡(jiǎn)化彈道方程的計(jì)算過(guò)程。本文提出的多模型加權(quán)算法，很大程度上克服了單一模型帶來(lái)的缺點(diǎn)，在不同高度外推時(shí)通過(guò)權(quán)值調(diào)整不同模型計(jì)算比例，極大地適應(yīng)了實(shí)際彈道特性，因此計(jì)算結(jié)果更接近真值。

4 結(jié)束語(yǔ)

高速?gòu)椡桀愇淦骱Ｉ显囼?yàn)初期階段，重點(diǎn)考核武器系統(tǒng)的性能和射擊的精準(zhǔn)度。利用岸基雷達(dá)測(cè)彈道數(shù)據(jù)并外推預(yù)測(cè)落點(diǎn)的方法因理論成熟，可信度高，仍是目前最主流的技術(shù)手段。利用無(wú)跡卡爾曼濾波技術(shù)來(lái)處理雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)，采用非線性加權(quán)平均最優(yōu)組合估計(jì)方法，基于多模型理論，將運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模外推彈道加權(quán)組合,克服了單一模型彈道重建上的缺點(diǎn)，從而有效提高了彈道重構(gòu)的適應(yīng)性和計(jì)算精度。需要說(shuō)明的是，濾波后數(shù)據(jù)初值點(diǎn)或初始段的選取仍是決定本文算法動(dòng)力學(xué)建模和基于運(yùn)動(dòng)學(xué)多項(xiàng)式擬合外推彈道精度的關(guān)鍵，因此也是下一步需深入研究的重點(diǎn)。此外，目前采用在彈道航路落點(diǎn)附近布置艦載雷達(dá)，或在靶區(qū)布置無(wú)人機(jī)直接測(cè)量落點(diǎn)水柱等方式，也是高速?gòu)椡桀惸繕?biāo)末段彈道和落點(diǎn)測(cè)量的一種有效新途徑。