有理冪次分?jǐn)?shù)階線性電路方程的W域解法

梁貴書，蔣銘玨

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003)

0 引 言

隨著分?jǐn)?shù)階元件的引入，使得分?jǐn)?shù)階電路表征出不同于整數(shù)階電路的特性，從而對傳統(tǒng)整數(shù)階電路的分析提出了新的挑戰(zhàn)。自然地，描述分?jǐn)?shù)階電路的分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法受到了廣泛的研究。與傳統(tǒng)微分方程的求解一樣，分?jǐn)?shù)階微分方程的解法也分為數(shù)值解法和解析解法。但由于分?jǐn)?shù)階微分方程在復(fù)頻域中s的冪次為分?jǐn)?shù)冪次，其分式展開沒有通用的方法，使得求解分?jǐn)?shù)階微分方程遠(yuǎn)比傳統(tǒng)微分方程困難得多。

目前對分?jǐn)?shù)階電路方程求解的變換域方法主要為復(fù)頻域分析法[8]。眾多學(xué)者利用Laplace變換給出了Riemann-Liouville、Caputo、Atangana-Baleanu等定義下的分?jǐn)?shù)階RL、RC和LC電路方程解的形式[9-11]，但研究對象為只含有一個(gè)冪次的分?jǐn)?shù)階電路方程。由于分?jǐn)?shù)階電路方程經(jīng)過Laplace變換后出現(xiàn)復(fù)頻率s的分?jǐn)?shù)階冪次，使得象函數(shù)進(jìn)行分式展開困難，因此，Laplace變換不適用于求解多個(gè)冪次的電路方程。為了解決這個(gè)問題，受文獻(xiàn)[12-16]的啟發(fā)，本文通過對Laplace變換進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的變換——W變換。利用這種變換可解析地求解有理冪次分?jǐn)?shù)階電路方程，較好地解決了含多個(gè)有理冪次的分?jǐn)?shù)階方程的解析求解。

本文的安排如下：首先給出W變換的定義以及主要性質(zhì)，然后將這種變換應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階線性電路方程的求解。為了簡化方程時(shí)域解的表達(dá)式，給出了由6種基本象函數(shù)類型構(gòu)成的W域象函數(shù)的部分分式展開法。最后通過實(shí)例驗(yàn)證了方法的正確性以及可行性。

1 W變換

本文討論的冪次均為有理數(shù)，即有理冪次，因此，可表示為兩個(gè)正整數(shù)之比。例如，有理元次α,β,γ可表達(dá)為

式中：nα,nβ,nγ為正整數(shù)；m為所有有理元次分母的最小公倍數(shù)。從實(shí)際應(yīng)用的角度看，假設(shè)為有理冪次并不失一般性。

1.1 W變換的定義

(1)

為f(t)的W變換式，記為F(w)=W{f(t)}。F(w)稱為原函數(shù)f(t)的W域象函數(shù)。

引理1[17]若Re(γ)>0，Re(β)>0且|z|<1，存在

(2)

令z=aw-mα，x=wmt，可得

(3)

即

(4)

根據(jù)函數(shù)的需要可對不同的參數(shù)進(jìn)行組合，推導(dǎo)出部分W變換的形式。

1.2 W變換的性質(zhì)

性質(zhì)1(線性性質(zhì))設(shè)a,b為常數(shù)，且W{f1(t)}=F1(w)，W{f2(t)}=F2(w)，則有

W{af1(t)+bf2(t)}=aF1(w)+bF2(w)

(5)

該性質(zhì)利用定義(1)即可證明。

性質(zhì)2(卷積定理)如果函數(shù)f1(t)，f2(t)的W變換存在且W{f1(t)}=F1(w)，W{f2(t)}=F2(w)，則

W{f1(t)*f2(t)}=F1(w)·F2(w)

(6)

或

(7)

性質(zhì)3(積分性質(zhì))設(shè)W{f(t)}=F(w)，α為正實(shí)數(shù)，則f(t)的α階積分的W變換為

(8)

性質(zhì)4(微分性質(zhì))設(shè)W{f(t)}=F(w)，k∈N+，則整數(shù)階微分的W變換形式為

W{f(k)(t)}=wkmF(w)-wm(k-1)f(0-)-…-f(k-1)(0-)

(9)

若α為正實(shí)數(shù)，則Caputo分?jǐn)?shù)階微分[18]的W變換形式為

(10)

其中，?·」表示向下取整函數(shù)。

特別地，當(dāng)0<α<1時(shí)，Caputo型分?jǐn)?shù)階微分的W變換公式為

(11)

Caputo定義的W變換與整數(shù)階微分的W變換表達(dá)式形式相同，且初值均為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，這有利于求解分?jǐn)?shù)階微分方程。

2 有理冪次分?jǐn)?shù)階電路方程的W變換解法

2.1 有理冪次分?jǐn)?shù)階電路方程的W域象函數(shù)

描述有理冪次分?jǐn)?shù)階電路的微分方程可以寫成[19]

(12)

考慮初始條件，對式(12)取W變換可得

(13)

式中，Y(w)、U(w)為輸入函數(shù)u(t)、輸出函數(shù)y(t)的象函數(shù)。則有理冪次分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)輸出的象函數(shù)為

(14)

對于W域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，式(14)簡化為

(15)

值得注意的是，由式(14)和式(15)的表達(dá)式可以看出，w的冪次并不總是從0到n連續(xù)變化，這是因?yàn)槎鄠€(gè)分?jǐn)?shù)階冪次會導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階線性電路的W域象函數(shù)冪次發(fā)生跳躍，這與傳統(tǒng)的整數(shù)階線性電路不同。

2.2 W域有理象函數(shù)的部分分式展開法

對于W域象函數(shù)Y(w)，若其為假分式，即分子中w的最高冪次不小于分母中w的最高冪次，則可用多項(xiàng)式除法將Y(w)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和，即

(16)

由有理多項(xiàng)式G(w)的表達(dá)式可以得到兩種基本類型：1、wk。

(17)

當(dāng)w的階次較高時(shí)，用部分分式展開定理直接展開象函數(shù)，其展開式的項(xiàng)數(shù)會非常多，使得時(shí)域形式變得復(fù)雜。因此，為了簡化時(shí)域表達(dá)式，需要充分考慮W域象函數(shù)中w的冪次跳躍情況，對部分分式展開式進(jìn)行合并化簡。

(18)

將式(18)中的各項(xiàng)進(jìn)行合并，式(18)可改寫為

(19)

利用定義(1)以及公式(4)，可以求得Y(w)這6種類型象函數(shù)的原函數(shù)形式，就能夠得到有理元次分?jǐn)?shù)階線性電路的時(shí)域解y(t)。

上述6種常用象函數(shù)的原函數(shù)如表1所示。

表1 常用象函數(shù)表

3 綜合示例

例1對電池的研究當(dāng)中，鋰電池由于能量密度大、壽命長、功率高等優(yōu)點(diǎn)得到了很大重視，而且現(xiàn)有的電動汽車中用的就是鋰離子動力電池[20]。鋰電池基于2階RC的分?jǐn)?shù)階等效電路模型如圖1所示。已知，電阻R1=2 Ω，R2=1 Ω，電容的階次α為0.5，Cα=1F/s1-α，電源us(t)=sin(t)V，求電流i(t)。

圖1 時(shí)域電路

解：取m=2，根據(jù)圖1可得電路的微分方程為

(20)

對式(20)兩邊取W變換，可得

(21)

代入數(shù)據(jù)并化簡可得

(22)

利用表1中的結(jié)果可得時(shí)域解為

(23)

為了驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性，將電壓激勵us(t)=sin(t)V應(yīng)用于圖1所示的分?jǐn)?shù)階電路，通過頻域分析得到的電流響應(yīng)與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果的對比如圖2所示。

圖2 電流i(t)的電路仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果

由圖2可知，電路仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果是一致的，因此利用本文求解電路的方法是正確的。例2 電路如圖3所示，已知電阻R1=2 Ω，R2=1 Ω，電容階次α=0.1，Cα=1 F/s1-α，電感階次β=0.2，Lβ=1 H/s1-β，電源us(t)=ε(t)V，試求分?jǐn)?shù)階電感電流i(t)和分?jǐn)?shù)階電容電壓uc(t)。

圖3 時(shí)域電路

解：取m=10，利用基爾霍夫定律，得到電路的方程為

(24)

對式(24)兩邊取W變換，可得

(25)

代入數(shù)據(jù)并化簡可得

(26)

(27)

利用表1中的結(jié)果可得時(shí)域解為

uc(t)=0.23t0.1E0.1,1.1(-1.28t0.1)+

(-0.12-0.11j)E0.1,1.1((0.14+1.53j)t0.1)+

(-0.12+0.11j)E0.1,1.1((0.14-1.53j)t0.1)

(28)

i(t)=-0.06t0.1E0.1,1.1(-1.28t0.1)+

(0.03-0.30j)E0.1,1.1((0.14+1.53j)t0.1)+

(0.03+0.30j)E0.1,1.1((0.14-1.53j)t0.1)

(29)

為了驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，將電壓激勵us(t)=ε(t)V應(yīng)用于如圖3所示電路，得到的電壓響應(yīng)uc(t)以及電流響應(yīng)i(t)與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果對比如圖4所示。

圖4 電路仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果對比圖

由圖4可知，電路仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果是一致的，因此利用本文求解電路的方法是正確的。

4 結(jié) 論

本文給出了W變換的定義以及主要性質(zhì)，然后將這種變換應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階線性電路方程的求解。該變換應(yīng)用于有理冪次分?jǐn)?shù)階線性電路時(shí)，W域代數(shù)方程的冪次為整數(shù)階次。在此基礎(chǔ)上，本文給出了W域象函數(shù)的部分分式展開法，考慮到有理冪次分?jǐn)?shù)階電路方程中w的冪次跳躍的特點(diǎn)，對部分項(xiàng)進(jìn)行合并化簡，避免了時(shí)域解過于復(fù)雜。同時(shí)，W域象函數(shù)均可由6種基本象函數(shù)類型組合得到，因此可以解決含多個(gè)不同冪次的分?jǐn)?shù)階電路的求解問題。本文的工作為后續(xù)分?jǐn)?shù)階電路的時(shí)域—W域分析奠定了基礎(chǔ)。