基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析

黃 楊 王林軍 杜義賢 彭云龍 廖 瑋

（1.三峽大學(xué) 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 宜昌 443002；2.三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院, 湖北 宜昌 443002）

結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間和規(guī)定條件內(nèi)完成規(guī)定任務(wù)的能力稱為結(jié)構(gòu)可靠性.機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性是工程設(shè)計(jì)及應(yīng)用中重要的約束條件之一,是評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全性、維持機(jī)構(gòu)的功能要求.由于受到產(chǎn)品的材料屬性、加工精度以及裝配誤差等影響,在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析和設(shè)計(jì)時(shí),存在著諸多不確定性.這種影響結(jié)構(gòu)可靠性的不確定性又可分為隨機(jī)性、模糊性和知識(shí)的不完善性.

目前,研究可靠性時(shí)通?？紤]的是隨機(jī)不確定性下的可靠度.近年來(lái),研究者為了解決實(shí)際工程問(wèn)題,提出了許多新的計(jì)算方法[1-5],尤其是結(jié)構(gòu)可靠性分析領(lǐng)域.Ashok Bakkiyaraj[6]等針對(duì)復(fù)合電力系統(tǒng)可靠指標(biāo)分析,提出了二進(jìn)制差分進(jìn)化算法(BDE),將此搜索方法應(yīng)用于RBTS和IEEE-RTS測(cè)試系統(tǒng),可分析較少數(shù)目系統(tǒng)狀態(tài)的可靠性；謝少軍等[7]針對(duì)耦合區(qū)間造成的可靠性分析計(jì)算效率低的問(wèn)題,采用了序列迭代分析方法來(lái)解決這一問(wèn)題；Zadeh[8]等提出了一種基于元模型的優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法,來(lái)求解多學(xué)科多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,通過(guò)引入SQP法和元模型,來(lái)做出位于Pareto解處的模糊邏輯決策；游令非等[9]針對(duì)目前結(jié)構(gòu)普遍存在模糊變量和隨機(jī)變量混合的情況,通過(guò)改進(jìn)包絡(luò)函數(shù)來(lái)計(jì)算機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)變可靠度；王元帥[10]提出了一種基于蒙特卡洛法的可靠性分析,用來(lái)確定各參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性分析的影響；姜潮等[11]通過(guò)結(jié)合兩種概率模型來(lái)研究可靠性指標(biāo)與變量之間的關(guān)系,來(lái)分析區(qū)間變量與概率變量對(duì)可靠度指標(biāo)的影響；邱濤等[12]針對(duì)結(jié)構(gòu)中既含有區(qū)間變量又含有隨機(jī)變量提出了一種二參數(shù)尋優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的混合可靠性分析方法,對(duì)于非線性程度較高的目標(biāo)函數(shù)有較高的計(jì)算精度；孟增等[13]針對(duì)功能函數(shù)非線性程度較高時(shí),HL-RF算法會(huì)出現(xiàn)混沌、震蕩和周期解現(xiàn)象,提出了一種新的修正控制理論算法來(lái)解決迭代過(guò)程中的震蕩問(wèn)題,該法效率較高,且較為穩(wěn)定.

如今可靠度計(jì)算方法多是建立在假設(shè)影響結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量都是相互獨(dú)立的基礎(chǔ)上的,很少考慮隨機(jī)變量的相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響,且系統(tǒng)可靠性問(wèn)題通常存在大量的不確定參數(shù),若忽略了參數(shù)不確定性和變量間的相關(guān)性就會(huì)給可靠指標(biāo)的計(jì)算帶來(lái)誤差.在進(jìn)行可靠性分析時(shí),傳統(tǒng)的一次二階矩法、二次二階矩法都需要求解結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù),Monte Carlo法則需要模擬多次才能得到精確解.人群搜索算法在求解可靠度指標(biāo)時(shí),則不需要求解結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程對(duì)隨機(jī)變量偏導(dǎo)數(shù),且尋優(yōu)能力較強(qiáng).

鑒于此,本文提出一種基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析方法.該方法以可靠指標(biāo)最小為目標(biāo)函數(shù),以影響結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的隨機(jī)變量構(gòu)成的極限狀態(tài)方程為約束條件建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析,為存在復(fù)雜參數(shù)相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問(wèn)題提供了有效工具.

1 本文算法介紹及可靠度指標(biāo)的建立

1.1 人群搜索算法

人群搜索算法(SOA)是直接模擬人的隨機(jī)搜索行為,它將對(duì)人的智能搜索行為運(yùn)用到對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的搜索上.所謂隨機(jī)搜索行為就是指：在搜索過(guò)程中當(dāng)搜尋者的位置較好時(shí),則在其較小領(lǐng)域內(nèi)搜索；當(dāng)搜尋者的位置較差時(shí),則擴(kuò)大搜索范圍,在較大領(lǐng)域內(nèi)搜索.SOA以搜索隊(duì)伍為種群,以每個(gè)搜尋者的位置作為候選解,以適應(yīng)度值的大小來(lái)評(píng)判候選解的優(yōu)劣,利用搜索步長(zhǎng)和方向進(jìn)行更新,來(lái)完成對(duì)問(wèn)題的優(yōu)化求解.

首先通過(guò)公式(1)來(lái)確定第i個(gè)個(gè)體在j維搜索空間上的搜索步長(zhǎng)αij.

式中：ω為慣性權(quán)值,隨進(jìn)化代數(shù)增加從0.9線性遞減至0.1；iter,itermax分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)分別為當(dāng)代種群中最大和最小函數(shù)值的位置；δij為隸屬度函數(shù)的參數(shù)；uij為j維搜索空間目標(biāo)函數(shù)值i的隸屬度；D為搜索空間維數(shù).

通過(guò)對(duì)人的利己行為、利他行為和預(yù)動(dòng)行為分析和建模,得到任意第i個(gè)搜尋個(gè)體的利他方向利己方向和預(yù)動(dòng)方向,見式(2)：

再對(duì)以上3個(gè)方向隨機(jī)加權(quán)幾何平均,確定搜索方向,可得到第i個(gè)個(gè)體在j維搜索空間上的搜索方向,見式(3)：

利用搜索步長(zhǎng)和方向來(lái)進(jìn)行位置更新,更新公式見式(4)：

人群搜索算法的流程圖如圖1所示.

圖1 人群搜索算法流程圖

1.2 等式約束增廣乘子法

在解決帶約束問(wèn)題的方程時(shí),為了將有約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束問(wèn)題,通常使用的方法有拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法.為了避免罰函數(shù)法的罰因子選取對(duì)計(jì)算精度的影響,可將拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法相結(jié)合構(gòu)造無(wú)約束目標(biāo)函數(shù),即為增廣乘子法.此方法同時(shí)結(jié)合了拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)可避免初始罰因子的選取問(wèn)題.

對(duì)于等式約束問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

則定義如下的拉格朗日增廣函數(shù)：

1.3 可靠度指標(biāo)模型的建立

設(shè)X1,X2,…,Xn是影響結(jié)構(gòu)功能的基本隨機(jī)變量,則可寫出結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)：

當(dāng)Z＞0時(shí),表示結(jié)構(gòu)是處于可靠狀態(tài)的；Z＜0時(shí),表示結(jié)構(gòu)是處于失效狀態(tài)的；Z=0時(shí),表示結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)面上.據(jù)此,可構(gòu)建結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程：

用拉科維茨-菲斯萊法將非正態(tài)變量當(dāng)量正態(tài)化,得到正態(tài)分布的均值,標(biāo)準(zhǔn)差及可靠指標(biāo)β：

由于驗(yàn)算點(diǎn)未知,故可將β看作極限狀態(tài)曲面點(diǎn)p(X1,X2,…,Xn)的函數(shù),通過(guò)求解找到β的最小值,即得到可靠指標(biāo)β和驗(yàn)算點(diǎn)p*(,,…,).由上,可建立以下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

運(yùn)用等式約束增廣乘子法將上述帶約束的數(shù)學(xué)模型化為無(wú)約束數(shù)學(xué)模型,公式為：

式中：M(X*)即為β2；右端第2項(xiàng)為懲罰項(xiàng),其中r為罰因子；右端第3項(xiàng)為乘子項(xiàng),λ為拉格朗日乘子.

在使用增廣乘子法時(shí),罰因子只需取一個(gè)較大的數(shù)值即可,并不要求罰因子趨近于無(wú)窮大,這樣就避免了單純使用罰函數(shù)法罰因子的選取問(wèn)題.

2 算 例

2.1 數(shù)值算例

設(shè)變量x1和x2均服從正態(tài)分布,其均值分別為0和0,標(biāo)準(zhǔn)差分別為1和1,極限狀態(tài)方程為：

分別使用本文算法、一次二階矩法(FOSM),蒙特卡羅法(MCS)求解其可靠性指標(biāo).得到的可靠性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果見表1,本文算法和FOSM法可靠指標(biāo)及失效概率迭代對(duì)比圖,如圖2所示.

表1 3種方法可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

通過(guò)表1可看出,本文算法計(jì)算所得的可靠指標(biāo)為2.545 9；FOSM法計(jì)算所得的可靠指標(biāo)為2.552 9；MCS法計(jì)算所得的可靠指標(biāo)為2.624 4.這3種算法計(jì)算的可靠指標(biāo)大致相同,驗(yàn)證了本文算法的可行性.同時(shí)本文算法只需要迭代3次就可以得到可靠性指標(biāo),而FOSM法需要迭代9次,且由圖2可知,本文算法收斂速度更快,且較為穩(wěn)定,故本文算法更優(yōu).

圖2 本文算法和FOSM法的對(duì)比

2.2 汽車正面高速碰撞

如圖3所示,考慮汽車正面耐撞的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,研究汽車高速碰撞時(shí)對(duì)乘員的傷害.由于汽車正面高速碰撞時(shí),要求盡可能減小乘員所受傷害,且需保證有足夠的安全空間,故可將衡量車身的安全指標(biāo)定義為發(fā)動(dòng)機(jī)上下兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的侵入量,且應(yīng)小于給定的額定值[14].

圖3 高速正面碰撞

本文選取發(fā)動(dòng)機(jī)下標(biāo)記點(diǎn)侵入量為安全指標(biāo),且應(yīng)小于給定的額定值=350 mm,變量X1～X3均為正態(tài)隨機(jī)變量,分別表示為前保險(xiǎn)杠厚度和吸能盒內(nèi)、外板厚度；Y1,Y2為區(qū)間分布變量,分別表示為前縱梁內(nèi)、外板厚度.車輛有限元碰撞模型如圖4所示,隨機(jī)變量參數(shù)取值和分布類型見表2.其中對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量,參數(shù)1和參數(shù)2分別表示均值和標(biāo)準(zhǔn)差；對(duì)于區(qū)間變量,參數(shù)1和參數(shù)2分別表示變量的上邊界與下邊界.

圖4 高速正面碰撞的有限元模型

表2 不確定變量分布類型和參數(shù)取值情況

通過(guò)使用有限元分析軟件建立汽車碰撞模型,再對(duì)仿真模型進(jìn)行采樣,來(lái)構(gòu)建功能函數(shù)的二階響應(yīng)面[15].其功能函數(shù)可表示為：

使用本文算法,求得其可靠指標(biāo)β=4.388,失效概率Pf=5.715 7×10-6；使用MCS算法,求得其可靠指標(biāo)β=4.363,失效概率Pf=6.400×10-6.兩種算法計(jì)算結(jié)果近似相同,同時(shí)可看出其失效概率接近于0,說(shuō)明了該算例在本文條件下具有較高的可靠性.

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析與設(shè)計(jì)時(shí),由于實(shí)際情況和成本因素等限制,常缺乏足夠準(zhǔn)確的樣本信息來(lái)描述系統(tǒng),從而會(huì)產(chǎn)生各種不確定性因素[16].同時(shí)在計(jì)算過(guò)程中大多都假設(shè)各隨機(jī)變量彼此之間相互獨(dú)立,而忽略了參數(shù)之間相關(guān)性問(wèn)題可能會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果帶來(lái)的誤差.下面通過(guò)上述工程算例來(lái)討論均值和標(biāo)準(zhǔn)差不確定性以及參數(shù)之間存在相關(guān)性時(shí),對(duì)可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果的影響.

1)若考慮變量均值μ不確定性,并保證標(biāo)準(zhǔn)差σ不變,應(yīng)用本文方法計(jì)算所得可靠指標(biāo)β變化范圍及其不確定度情況見表3.

表3 考慮均值不確定性的可靠指標(biāo)

由表3可知均值不確定度與可靠指標(biāo)不確定度的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖5所示.由表3和圖5可知,隨著均值不確定度不斷變化,其可靠指標(biāo)不確定度也發(fā)生了變化,且呈正相關(guān)關(guān)系.

圖5 可靠指標(biāo)受均值不確定度的影響

2)若考慮標(biāo)準(zhǔn)差σ不確定性,并保證均值μ不變,應(yīng)用本文方法計(jì)算所得可靠指標(biāo)β變化范圍及其不確定度情況見表4.

表4 考慮標(biāo)準(zhǔn)差不確定性的可靠指標(biāo)

由表4可知標(biāo)準(zhǔn)差不確定度與可靠指標(biāo)不確定度的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖6所示.

圖6 可靠指標(biāo)受標(biāo)準(zhǔn)差不確定度的影響

由表4和圖6可知,隨著標(biāo)準(zhǔn)差不確定度不斷變化,其可靠指標(biāo)不確定度也發(fā)生了變化,且呈正相關(guān)關(guān)系.對(duì)比均值不確定度和標(biāo)準(zhǔn)差不確定度分別對(duì)可靠指標(biāo)不確定度帶來(lái)的影響,發(fā)現(xiàn)后者對(duì)可靠指標(biāo)不確定度的影響較小.

3)考慮變量間的相關(guān)性給可靠性指標(biāo)帶來(lái)的影響,設(shè)定隨機(jī)變量X1和X2存在相關(guān)性,且兩個(gè)隨機(jī)變量與X3、Y1、Y2之間均相互獨(dú)立,其中相關(guān)系數(shù)ρx1x2由-0.9到0.9,以0.3為等分點(diǎn)劃區(qū)間依次取值,應(yīng)用本文方法所得可靠指標(biāo)變化情況見表5.

由表5可知相關(guān)系數(shù)ρx1x2的取值與可靠性指標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖7所示.

表5 可靠指標(biāo)變化情況

圖7 可靠指標(biāo)受相關(guān)系數(shù)的影響

由表5和圖7可知,隨著相關(guān)系數(shù)ρx1x2增大,該結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)也隨之增大,可靠性逐漸增強(qiáng).可見,如果在結(jié)構(gòu)可靠性分析中,忽略了參數(shù)的不確定性和隨機(jī)變量間的相關(guān)性,將會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)較大影響.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析方法,為求解考慮不確定性和相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題提供了有效工具.兩個(gè)算例驗(yàn)證了本文方法的有效性,結(jié)果表明：本文方法在處理具有一定非線性程度的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)時(shí),與傳統(tǒng)算法相比,在保證精度的前提下,迭代次數(shù)更少；均值不確定度和標(biāo)準(zhǔn)差不確定度與可靠指標(biāo)不確定度呈線性相關(guān),且均值不確定度較標(biāo)準(zhǔn)差不確定度對(duì)可靠指標(biāo)的計(jì)算有更大的影響；隨著變量間的相關(guān)系數(shù)取值不同,結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)也會(huì)發(fā)生變化.此外,未來(lái)可引入Nataf變換的隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)本文進(jìn)行拓展,來(lái)解決隱式極限狀態(tài)函數(shù)的結(jié)構(gòu)中變量間存在多維相關(guān)性的問(wèn)題.