把脈向量中兩類夾角背景下參數(shù)的取值范圍問題

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 641300)

在平面內(nèi),非零向量a，b的夾角為銳(鈍)角的背景下探求參數(shù)的取值范圍是一類典型的易錯(cuò)易混問題，常見錯(cuò)誤是將a，b的夾角為銳(鈍)角與a·b>0(<0)混為一談.事實(shí)上，二者并不等效.一方面，若a，b的夾角為銳(鈍)角，則一定有a·b>0(<0)；另一方面，若a·b>0(<0)，則其原因還可能是a，b的夾角為0°(180°).因此，a·b>0(<0)是a，b的夾角為銳(鈍)角的必要不充分條件，a·b>0(<0)與a，b的夾角所在的范圍是[0°，90°)((90°，180°])才是等價(jià)關(guān)系.從而當(dāng)a，b的夾角為銳(鈍)角時(shí),參數(shù)的取值范圍應(yīng)該是從a·b>0(<0)時(shí)參數(shù)的取值范圍中排除a，b的夾角為0°(180°)時(shí)參數(shù)的具體值后余下的部分.本文結(jié)合實(shí)例，談?wù)勗趦上蛄康膴A角為銳(鈍)角的背景下參數(shù)的取值范圍的求解策略，供大家參考.

一、夾角為銳角

解析若(a+λb)·(λa+b)>0，即得λa2+(λ2+1)(a·b)+λb2>0.所以λ|a|2+(λ2+1)|a||b|cos45°+λ|b|2>0.即3λ2+11λ+3>0.

解得λ=1或λ=-1(舍去).

綜上，當(dāng)向量a+λb與λa+b的夾角為銳角時(shí)，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-，(1，+).

變式1已知向量m=(-2，3)，n=(1，t)，若向量m+n與m-n的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

變式2已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，0).

(1)若c=5，求sinA的值；

(2)若∠A是銳角，求c的取值范圍.

評(píng)注例1及其變式1，2的解答結(jié)果清楚地說明，如果不將兩向量夾角為0°時(shí)，參數(shù)的具體值從兩向量的數(shù)量積大于0時(shí)參數(shù)的取值范圍中剔除，那么極有可能會(huì)出現(xiàn)增解.另外，解決上述例1，如果直接從向量a+λb與λa+b的夾角為銳角出發(fā)列式，那么應(yīng)該解答如下:

解得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-，(1，+).相比之下，這種思路比前一種做法更加清晰簡(jiǎn)單，但比前一種做法的運(yùn)算量就大得多.因此，數(shù)學(xué)解題既是探索各種解答方法的過程，也是選擇運(yùn)算量多少的過程.

二、夾角為鈍角

例2 已知向量a=(-2，-1)，b=(λ，1)，且a與b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

變式2設(shè)向量a=(m-2，m+3)，b=(2m+1，m-2)，若a與b的夾角大于90°，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.