化歸思想在高中函數(shù)中的簡單應(yīng)用

楊金諾

(黑龍江省伊春市第一中學(xué) 153000)

一、化歸思想概述

函數(shù)問題側(cè)重于解決實(shí)際問題，化歸思想講究的也就是實(shí)際運(yùn)用.在學(xué)習(xí)的過程中，知識點(diǎn)是有限的，但是題型是無限的，不同于以往的“問題—解決—新問題—解決”的解題思路，化歸思想講究的是“知識點(diǎn)—問題—新問題—知識點(diǎn)”的解決方式.用已知的定義新的知識，并解決新的問題，就是化歸思想的核心.在解題過程中，可以運(yùn)用多種方式和方法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的目的.

二、化歸思想的意義

化歸思想可以歸為唯物主義的觀點(diǎn)之一，在唯物主義中，將抽象的物體具體化，復(fù)雜的問題簡單化，化整為零是其核心思想之一.化歸思想在解題的時(shí)候強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化，眾所周知，任何數(shù)學(xué)思想都是在解題和學(xué)習(xí)的過程中不斷總結(jié)和歸納出來的，在解題過程中我們追求的是速度和準(zhǔn)確率，而化歸思想可以很好地滿足該條件.

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)是十分重要的學(xué)習(xí)對象之一，高中的函數(shù)包括三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等八種函數(shù).我們解題時(shí)會發(fā)現(xiàn)基本的函數(shù)會演變成各種各樣的形式，比如復(fù)合函數(shù)、復(fù)數(shù)函數(shù)或者是抽象函數(shù)等，如何運(yùn)用基本的函數(shù)形式來解決這類比較復(fù)雜的函數(shù)就顯得十分重要.此時(shí)就可以考慮利用化歸思想，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的形式，利用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，或者是圖象等方式解決問題.

三、化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用

化歸思想在函數(shù)解題中十分常見，為了更好地了解其在解題過程中的重要性，我們可以通過具體的例題進(jìn)行分析.

1.已知推算未知

在解函數(shù)題過程中，我們常常會遇見陌生的函數(shù)題型，化歸思想的基礎(chǔ)就是將未知的問題轉(zhuǎn)為已知的問題.比如我們在解三角函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等簡單的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.這樣就可以將復(fù)雜抽象的問題簡單化、具體化.不僅可以很好地解決問題，還可以加深對已學(xué)知識的理解和運(yùn)用.例如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，最常見的就是證明題.

2.數(shù)形結(jié)合的方法

數(shù)形結(jié)合的方法也是我們解題時(shí)最常用的方法.因?yàn)閿?shù)字是抽象的符號，但是數(shù)據(jù)過多的時(shí)候，我們就很難理清楚各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,過多的數(shù)據(jù)會導(dǎo)致我們忽略一些數(shù)據(jù)，而在解題過程中，任何一個(gè)數(shù)據(jù)都有著很大的意義.通過數(shù)形結(jié)合，一方面可以使得抽象的問題具體化，另一方面可以使得數(shù)據(jù)的獲取更加全面.

數(shù)字與圖形自古就有，很多時(shí)候可以互相轉(zhuǎn)化.函數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)就是抽象，雖然它能解決具體問題，但是解決過程卻十分抽象.為了更好地掌握函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合方法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，顯得更加生動和直觀.

例2關(guān)于x的方程2x2-3x-2k=0在(-1, 1)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是什么？

該題目是求k的取值范圍，但是題干中的方程中還含有一個(gè)變量x，我們可以通過轉(zhuǎn)化2x2-3x-2k=0，使其變成函數(shù)y=2x2-3x，這樣一來，我們就將題目變成求解y=2x2-3x和函數(shù)y=2k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

圖1

在解這一類題目過程中，如果采用單純的解題方式，很容易造成漏解的情況，但是在采用數(shù)形結(jié)合的方法后，就顯得一目了然.

3.復(fù)雜變量簡單化

在解函數(shù)題的過程中，當(dāng)涉及到過多變量的情況時(shí)，題目就會顯得十分繁瑣，通過化歸思想中變量轉(zhuǎn)化的方法，將復(fù)雜的變量簡單化可以讓我們更好地理解題意，降低錯誤率.

例3若cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

該題目是求m的取值范圍，但是題干的條件中除了m之外，還有sinθ和cosθ兩個(gè)函數(shù)，這樣一來，在這個(gè)題目中一共有三個(gè)變量，而我們掌握的是二元函數(shù)，所以考慮將題目中的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù).

通過轉(zhuǎn)化變量的方法，令sinθ=t，則cos2θ=1-sin2x，于是f(t)=t2-2mt+2m+1.

根據(jù)題目的要求，只要滿足f(t)>0在[-1，1]上恒成立即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析令sinθ=t，可以得出，要想cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，可以通過轉(zhuǎn)化變量，設(shè)f(t)=t2-2mt+2m+1，則只要f(t)>0在[-1，1]上恒成立.

由于f(t)=(t-m)2+2m+1-m2(-1≤t≤1)，所以只要f(t)的最小值大于零即可.

若m<-1，則當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)min=2+4m，令2+4m>0，得m>-0.5，這與m<-1矛盾，故舍去；

若m>1，則當(dāng)t=1時(shí)，f(t)min=2，所以m>1.

這個(gè)題目原本十分復(fù)雜，但是在轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)之后，題干部分就顯得十分簡單明了，這樣就可以很好地降低解題的難度.

4.正面問題反面化

正面的問題反面化也就相當(dāng)于運(yùn)用了矛盾的思維.在解數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)常會遇見題干十分簡單，但是卻無從下手的情況；或者是采用常規(guī)的解題方式十分麻煩，而且很難達(dá)到我們想要的結(jié)果.為了更好地解決問題，我們可以采用化歸思想中的反向思考的方式，也就是我們常說的逆向思維.

例4已知函數(shù)f(x)滿足：f2(x)-2f(x)f(x+1)+2f(x+1)=0(x∈R)，證明：f(x)不可能為正比例函數(shù).

根據(jù)題目的要求，我們要證明f(x)不可能為正比例函數(shù)，首先就是利用化歸思想，將該函數(shù)和正比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)關(guān)聯(lián)起來，然后利用函數(shù)轉(zhuǎn)化的思想，將其轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù).假設(shè)f(x)=kx(k≠0),代入f2(x)-2f(x)f(x+1)+2f(x+1)=0,得-kx2+(2k-2k2)x+2k=0對任意x恒成立，故必有k=0，但由題設(shè)知k≠0，所以假設(shè)不成立.所以f(x)不可能為正比例函數(shù).

在解題時(shí)，我們的思維一定不能局限于課堂上的知識或者是已知的知識，更重要的是融會貫通，這樣才可以更好地解決問題.

5.隱藏條件明顯化

函數(shù)解題的過程中，很多條件都是隱藏存在的，針對這一類情況，我們可以通過知識之間的聯(lián)系融會貫通，充分利用這些條件，達(dá)到解題的目的.

圖2

化歸思想在很多時(shí)候和數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想十分相近，但是又不完全一樣，它側(cè)重的是一種歸納，是對已學(xué)和已知的知識的歸納.這樣在遇見新的問題或者是復(fù)雜的問題時(shí)，也可以很好地解決.要想很好地掌握這種數(shù)學(xué)思想，最基礎(chǔ)的就是多練習(xí)、多思考，才可以很好地運(yùn)用化規(guī)思想.