雙折射干涉法測量透射相位

李 楊,張冉冉,譚永炎,2,王 霞*

(1.青島科技大學a.數(shù)理學院;b.山東省新型材料與技術工程實驗室,山東 青島266061;2.香港科技大學 物理系,香港999077)

當一束單色光在各向同性介質(zhì)(例如空氣和玻璃)的界面折射時,折射光線只有一束,而且遵循折射定律。但是,當光束入射到各向異性介質(zhì)時,在介質(zhì)內(nèi)會產(chǎn)生兩束折射光,這種現(xiàn)象叫做雙折射(Birefringence)[1-2]。雙折射是由材料的各向異性特性引起的,關于光學頻率上的雙折射,最有名的例子就是方解石晶體的雙像實驗,是由丹麥科學家BARTHOLIN 于1669 年 首 次 提 出 的[1]。1941 年,JONES[3-4]提出:瓊斯矩陣是描述偏振器件光學特性的便捷數(shù)學工具,可以用2×2矩陣描述偏振元件的特性。1968年,KORMER 指出通過測量測量材料的透射和反射特征可以用來表征晶體的雙折射。幾十年來,研究者依然多是采用這種方法來測量雙折射晶體的雙折射特性。1999 年,ABDULHALIM[5]準確的給出了透射和反射傳輸中的2×2 矩陣。因此,樣品的雙折射性質(zhì)可以通過瓊斯矩陣進行推導?；诃偹咕仃囋?ZHANG 等[6]根據(jù)雙折射晶體的雙折射特性,在圓偏振光測量體系中,用無透鏡偏振光顯微鏡對雙折射滑膜液晶體進行廣域成像,實驗成功演示了其在診斷痛風中的應用。最近,ZHOU 等[7]在雙折射干涉儀中研究了光子的干涉特性,并且用于表征雙折射晶體的溫度色散特性。雙折射晶體中有一個(或兩個)特殊的方向,當光在晶體中沿此方向傳播時,不發(fā)生雙折射,晶體內(nèi)這個特殊的方向稱為光軸。當光在晶體中垂直于光軸傳播時,會產(chǎn)生振動方向互相垂直的兩折射光。TILLEY 等[8-10]的研究表明,如果用檢偏器來檢測,這兩個不同方向的折射光均為線偏振光。如果投影到同一平面上,則兩偏振光頻率相同,光矢量(即電場強度矢量E)的振動方向相同,并且在相遇處兩光束的相位差恒定,滿足干涉條件。2019 年,NORBERT 等[11]指出通過分析在偏振光屏后觀察到的干涉圖樣,即可分析雙折射材料中雙折射色散和相位雙折射色散。本研究通過自主搭建線偏振光測量系統(tǒng),實驗測量了雙折射干涉現(xiàn)象,并通過擬合透射光譜的峰/谷求得雙折射晶體引入的透射相位。建立瓊斯矩陣,理論分析了雙折射干涉原理及其透射相位。

1 雙折射晶體

最典型表征的雙折射材料是晶體,因為晶體具有特殊的晶體構(gòu)型,相應的折射率可以被很好的定義。藍寶石(sapphire)是一種氧化鋁(α-Al2O3)的單晶[12]。藍寶石單晶的光學穿透帶很寬,從近紫外光(200 nm)到中紅外線(5μm)都具有很好的透光性[13],也因此成為本研究的首選研究對象。藍寶石雙折射晶體中包含C,A,M,R4個晶面,如圖1所示[14],晶面指數(shù)分別為(0001),(110),(100),(101),由于晶體性質(zhì)隨晶面的不同而不同,應用時必須認真考慮晶體的切割方向,本實驗選擇晶面與光軸平行的A-平面藍寶石作為研究對象,購買于合肥安中晶體材料有限公司,詳細見參考文獻[14]。

在A-平面藍寶石晶體中[15-16],兩束折射光線中有一束折射光線始終遵循折射定律,即不論入射光束的方位如何,這束折射光線總是在入射面(入射光線和界面法線決定的平面)內(nèi)傳播,并且折射角的正弦與入射角的正弦之比等于常數(shù),把這束折射稱為尋常光折射率,用符號o表示,折射率記為no。而另一束折射光則不然,這束折射光往往不在入射面內(nèi),不遵循折射定律,因此,稱為非尋常光,用符號e表示,折射率記為ne[17]。在A-平面藍寶石晶體中折射率大小滿足方程(20 ℃,λ＝0.2μm 至λ＝5.5 μm 波段)[18]。

圖1 藍寶石晶體中的不同晶面[14]Fig.1 Different crystal ographic planes of sapphire crystal[14]

2 實驗測量

圖2為自主搭建的光學測量裝置示意圖。顯微鏡選自OLYMPUS 公司奧林巴斯BX6,光譜儀選自美國的OCEAN OPTICS 公司的海洋光學USB4000光纖光譜儀,光譜儀的探測信號通過USB接口傳送到計算機。入射光源為顯微鏡中的鹵素燈,可以看作是自然光入射,自然光經(jīng)過起偏器(PI)后轉(zhuǎn)變?yōu)榫€偏振光,經(jīng)藍寶石晶體后光的偏振態(tài)發(fā)生變化,最后經(jīng)過檢偏器,只有特定方向的偏振光可以經(jīng)光纖光譜儀傳送至電腦被記錄下來。左下方插圖為測量原理圖,α和β表示偏振片的偏振方向,其設定均以x軸方向為參考;定義逆時針方向為正,順時針方向為負,θ是藍寶石的光軸與x軸方向的夾角。該測量系統(tǒng)操作簡單,靈敏度高,可廣泛應用于局部微區(qū)測量。

圖2 透射光譜測量原理圖Fig.2 Schematic setup for transmission measurement

圖3為線偏振光(x/y)入射測量藍寶石晶體透射相位的原理圖,箭頭0表示入射光束,箭頭2表示出射光束,晶體內(nèi)部由光束1表示,虛線分別表示尋常光1o和非尋常光1e,是振動方向互相垂直的兩種偏振態(tài)。光軸箭頭表示藍寶石晶體的光軸方向,L表示藍寶石晶體的厚度。

圖3 o光和e光的實例分析Fig.3 Illustration of different o-and e-rays

圖4為偏振光入射藍寶石晶體的透射光譜。由實驗測量原理圖(圖2所示),當α＝0～90°,β＝0～90°時,可以容易測得藍寶石晶體4個方向的透射光譜,即T xx,T yy,T xy,以及T yx,如圖4(a)所示,右下方插圖為兩個周期的放大圖。但受顯微鏡數(shù)值孔徑(NA)的影響,如果在測量原理中直接加入數(shù)值孔徑參數(shù),干涉強度分布復雜[19],將難以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)直接擬合出相位,另外系統(tǒng)的實際有效數(shù)值孔徑也難以確定。但若不考慮數(shù)值孔徑效應,則只能得到相對相位[20],針對這一問題,參考文獻[21],綜合考慮系統(tǒng)數(shù)值孔徑和色散等因素,引入波數(shù)校正因子

其中λNA表示顯微鏡的測量波長,λ0表示校準后的測量波長。擬合結(jié)果如圖4(b)所示,插圖為擬合誤差。如圖4(c)為通過確定校正因子后f,右下方插圖為兩個周期的放大圖,對實驗結(jié)果得到的峰值波數(shù)進行校正后的透射光譜,與校準前相比較有較小移動,如圖4(d)所示,以T xx透射光譜為例,實線表示顯微鏡直接測得干涉光譜,虛線表示校正后的干涉光譜。

3 理論計算

實驗中,藍寶石雙折射晶體(厚度為d)垂直于z軸放置,設線偏振光垂直入射(Φ＝0),其振動方向與光軸的夾角為θ,則二維空間的旋轉(zhuǎn)矩陣

入射光束進入波片后,平行光軸的光波成為e光,垂直光軸的光波成為o光。由于o光和e光在波片內(nèi)的傳播速度不同,穿過波片后,產(chǎn)生確定相位差,記為

圖4 藍寶石透射光譜及分析數(shù)據(jù)Fig.4 Transmission spectrum of sapphire and analysis data

則藍寶石雙折射晶體的瓊斯矩陣可寫為

矩陣S即為雙折射晶體在線性空間中的瓊斯矩陣。實驗中,設定θ＝45°,則雙折射晶體的瓊斯矩陣可以表示為

假設有一束單色平面波沿z軸傳播,其電場強度的瓊斯矢量為

其中E ij為電場強度的復數(shù)表達,下角標i表示出射光,j表示入射光。E x0,E y0為兩個復數(shù)分量,分別表示入射光束沿x,y方向的電場矢量。結(jié)合方程(7)可得出射光波電場強度的瓊斯矢量:

其中,E tx,E ty為兩個復數(shù)分量,分別表示出射光束沿x,y方向的電場矢量。當光矢量沿x軸入射時,E x0＝1,E y0＝0。則有

對應的電場強度為

同理,當光矢量沿y軸入射時,E x0＝0,E y0＝1。則有

對應的電場強度為

式(5)代入公式(11)、(12)、(14)、(15)可得雙折射晶體的4個方向的透射光譜,即T xx,T yy,T xy,以及T yx,如圖5(a)所示。圖5(b)為實驗測量結(jié)果與理論計算結(jié)果的對比圖,以T xx方向的透射光譜為例,實驗結(jié)果與理論計算結(jié)果高度一致。

圖5 實驗結(jié)果與理論計算對比圖Fig.5 Comparison figures between experiment and simulation

圖6為T xx對應的干涉級數(shù)m與相應的波數(shù),由雙光束干涉模型可知,雙折射晶體中,o光和e光干涉相長時滿足

其中,λm為雙折射晶體中第m級干涉級數(shù)對應的波長,d為o光和e光在晶體中的光程。Φij為雙折射晶體的相位,對應于方程(11)、(12)、(14)、(15),Φij＝0或±π(等式右邊加π即為o光和e光干涉相消)。等式(16)等價于

由公式(17)可知,m與成線性關系,因此,通過Origin擬合,即可求得藍寶石晶體的透射相位。圖6右下方的插圖為擬合誤差,表明擬合效果較好。

圖7為藍寶石晶體的透射相位。

圖6 T xx對應的線性擬合結(jié)果及擬合誤差Fig.6 Linear fitting results of T xx and the residuals of the fitting

圖7 實驗測量與理論計算數(shù)據(jù)的比較Fig.7 Comparison of experimental measurement and theorical calculation data

圖7(a)為實驗測量結(jié)果的擬合數(shù)據(jù),圖7(b)圖標為理論計算結(jié)果的擬合數(shù)據(jù),實線及虛線為理論分析結(jié)果,即－1或－0.5(除以2π作歸一化處理)。Φ＝－1表示同方向的透射相位,雙折射晶體沒有引入透射相位值;Φ＝－0.5 表示交叉方向的透射相位,因入射光束偏振方向與出射光束的偏振方向垂直,故引入π的相位差。實驗測量結(jié)果與理論計算結(jié)果高度一致。

4 結(jié) 語

通過自主搭建顯微鏡線偏振測量系統(tǒng),在可見光范圍內(nèi)測得了藍寶石雙折射晶體的干涉現(xiàn)象,并通過擬合透射光譜的峰/谷求得兩折射光束引入的透射相位。根據(jù)雙折射晶體的瓊斯矩陣,理論推導了雙折射干涉原理,實驗測量結(jié)果與理論計算結(jié)果相符合。