關(guān)于線性算子的弱統(tǒng)計(jì)收斂

鮑玲鑫

(福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州350002)

經(jīng)典統(tǒng)計(jì)收斂的概念是在X=R中引入的，此后基于不同的目的，出現(xiàn)各種各樣推廣形式的統(tǒng)計(jì)收斂.概括地講統(tǒng)計(jì)收斂沿著以下兩個(gè)方向推廣：一是在更為一般的空間中定義統(tǒng)計(jì)收斂，例如，局部凸空間[3]，包括賦予弱拓?fù)涞腂anach空間[4-6]和一般拓?fù)淇臻g[7].另一個(gè)是利用不同的極限過程來定義統(tǒng)計(jì)收斂，例如，A-統(tǒng)計(jì)收斂[8]、lacunary統(tǒng)計(jì)收斂[9]以及最為一般的理想(或?yàn)V子)收斂[10-11].

伴隨著每一種推廣形式的統(tǒng)計(jì)收斂的引入，關(guān)于統(tǒng)計(jì)收斂與經(jīng)典收斂之間的關(guān)系都是人們研究的熱點(diǎn)問題.其中一個(gè)核心的定理是度量空間X中序列的統(tǒng)計(jì)收斂與幾乎處處收斂是等價(jià)的，即序列(xn)?X統(tǒng)計(jì)收斂于x∈X當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)統(tǒng)計(jì)零集G?N使得(xn)n∈N G在度量拓?fù)湟饬x下收斂于x(例如X=R,可參考文獻(xiàn)[12-13]).Maio等[7]證明了當(dāng)X是第一可數(shù)空間時(shí)，則上述定理也是成立的.盡管如此，但該結(jié)論反過來卻不成立.具體地，第2節(jié)中的第1個(gè)反例即構(gòu)造了一個(gè)非第一可數(shù)的拓?fù)淇臻g(X,τ)使得定義在X上統(tǒng)計(jì)收斂與幾乎處處收斂是等價(jià)的.

Bao等[14]證明了對(duì)于任意一個(gè)自由的濾子F?2N，都存在一族統(tǒng)計(jì)測度S使得S-收斂等價(jià)于F-收斂，反之亦然.最近，Cheng等[15]證明了一系列由單一統(tǒng)計(jì)測度定義的濾子收斂的特征，并在文末提出如下問題(參見文獻(xiàn)[15]，Remark 5.7).

問題1由單一統(tǒng)計(jì)測度μ定義的統(tǒng)計(jì)收斂是否等價(jià)于μ-幾乎處處收斂？或特別地，由單一退化的統(tǒng)計(jì)測度μ定義的統(tǒng)計(jì)收斂(或等價(jià)地，超濾子U-收斂)是否等價(jià)于μ(U)-幾乎處處收斂？

第1節(jié)中第2個(gè)反例構(gòu)造了Banach空間X中的一個(gè)序列(xn)以及一個(gè)超濾子U，使得(xn)是U-收斂的但不是U-幾乎處處收斂的.從而問題1的答案是否定的.

1 兩個(gè)反例

如果N的一個(gè)子集族I滿足：(i) 若A,B∈I，有A∪B∈I;(ii) 若A∈I，有2A∈I，則稱I為N上的一個(gè)理想.如果N?I(相應(yīng)地，I≠?)，則稱理想I稱為真的(相應(yīng)地，非平凡的).設(shè)F為N的一個(gè)子集族，如果IF≡{NF:F∈F}是一個(gè)理想，則F稱為一個(gè)濾子.

定義1設(shè)F ?2N是一個(gè)非平凡的濾子(等價(jià)地，IF是一個(gè)非平凡的理想).

(i) 拓?fù)淇臻gX中的序列(xn)稱為F-收斂于x∈X是指對(duì)任意x的鄰域U,BU∈F,或等價(jià)地,AU∈IF.其中AU={n∈N:xn?U}及BU={n∈N:xn∈U}.(xn)F-收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)(xn)IF-收斂于x.

(ii) 特別地，Banach空間X中的序列(xn)稱為F-收斂于x∈X是指對(duì)任意的ε>0,B(ε)∈F,或等價(jià)地，A(ε)∈IF.其中A(ε)={n∈N:‖xn-x‖≥ε}及B(ε)={n∈N:‖xn-x‖<ε}.

(iii) 拓?fù)淇臻gX中的序列(xn)稱為F(或IF)-幾乎處處收斂于x∈X是指存在G∈IF使得(xn)n∈G按通常拓?fù)湟饬x下收斂于x.

設(shè)F是N上的一個(gè)濾子.如果∩{F∈F}=?，稱濾子F為自由的.在N上所有濾子構(gòu)成的集F′上定義如下自然序“?”：F1?F2如果F1?F2.F′中按照自然序意義下的極大元稱為N上的超濾子.從而由Zorn引理以及濾子的定義可知任意一個(gè)濾子F，都存在N上的一個(gè)超濾子U使得U?F.濾子F是一個(gè)超濾子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的A?N，有A∈F或NA∈F.若F是一個(gè)自由的超濾子， 則F不包含任意有限子集，或等價(jià)地，包含F(xiàn)réchet濾子FF≡{A∈N:(NA)#<∞}.

拓?fù)淇臻gX中序列的統(tǒng)計(jì)收斂是否等價(jià)于幾乎處處收斂很大程度上由空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定的. 正如引言中所述的，有大量的文獻(xiàn)在第一可數(shù)的拓?fù)淇臻g(包括實(shí)空間、度量空間等)框架下證明了統(tǒng)計(jì)收斂與幾乎處處收斂是等價(jià)的.但該結(jié)論反過來是否成立仍然是一個(gè)未解決的問題.本文給出如下反例：

例1存在一個(gè)非第一可數(shù)的拓?fù)淇臻g(X，τ),X中序列的統(tǒng)計(jì)收斂與幾乎處處收斂是等價(jià)的.

證明令I(lǐng)st={A?N:δ(A)=0}，則Ist-收斂即為通常意義下的統(tǒng)計(jì)收斂.記Fst={A?N:NA∈Ist}.令U表示任意一個(gè)包含濾子Fst的超濾子，則不難驗(yàn)證U是一個(gè)自由的超濾子.

第1步.定義一個(gè)非第一可數(shù)的拓?fù)淇臻g(X,τ).

第2步.證明(X,τ)中序列統(tǒng)計(jì)收斂與幾乎處處收斂是等價(jià)的.

因?yàn)镮st-幾乎處處收斂總是意味著Ist-收斂，只需證明Ist-收斂意味著Ist-幾乎處處收斂.設(shè)(xn)?X，Ist-收斂于x∈X.下面要證明存在G∈Fst使得(xn)n∈G在拓?fù)洇右饬x下收斂于x.分為如下兩種情形：

(i) 若x≠0，即存在某個(gè)k∈N使得x=k.注意到單點(diǎn)集{k}是其自身的一個(gè)領(lǐng)域，只需令G={n∈N:xn∈{k}}={n∈N:xn=k}∈Fst即完成證明.

(ii) 若x=0,則根據(jù)(xn)Ist-收斂于0以及超濾子的相關(guān)性質(zhì)，有如下不難驗(yàn)證的事實(shí)：

事實(shí)1 令A(yù)k={n∈N:xn=k}，k=1,2,…，則有Ak∈Ist對(duì)所有的k∈N.

事實(shí)2 對(duì)任意的B∈U，根據(jù)τ的定義可知，∪k∈N BAk∈Ist.

事實(shí)3 對(duì)任意的B?N，則有B∈U或NB∈U.則根據(jù)事實(shí)2可知，∪k∈BAk∈Ist或∪k∈N BAk∈Ist.

斷言：存在B1與B2使得N=B1∪B2,∪k∈B1Ak?Ist及∪k∈B2Ak?Ist.

由N=B1∪B2以及超濾子的性質(zhì)可知，B1∈U或B2∈U.不失一般性，假設(shè)B1∈U，則{n∈N:xn?U(0,B1)}=∪k∈B2Ak.又因?yàn)?xn)Ist-收斂于0,有∪k∈B2Ak∈Ist.這與上面斷言是矛盾的.

下面只需證明斷言.任取一個(gè)足夠大的n1∈N使得

注意到Ai∩Aj=?對(duì)任意的i≠j.則至多有限多個(gè)“Ak”與{1,2,…,n1}有非空的交集.從而存在m1∈N使得

其中M1≡{1,2，…,m1}?N.根據(jù)事實(shí)1,可以選取足夠大的n2∈N使得

且

重復(fù)上面的方法不斷進(jìn)行下去，可以得到兩個(gè)單調(diào)遞增的自然數(shù)序列{nj}與{mj}使得

且

這證明了

i.e.，B1?Ist.同理可以證明B2?Ist.從而斷言得證.

例2設(shè)X是一個(gè)Banach空間.存在X中的一個(gè)序列(xn)以及N上的一個(gè)自由的超濾子U使得(xn)是U-收斂于0的但不是U-幾乎處處收斂于0的.

證明第1步.定義目標(biāo)序列(xn).

第2步.構(gòu)造目標(biāo)超濾子U.令={NAk:k∈N},ε≡{A∈N:AkA是有限集對(duì)所有的k∈N}及=∪ε.則顯然包含了Fréchet濾子F.下面證明可生成一個(gè)濾子，即證明任意有限個(gè)中的元素都有非空的交.事實(shí)上，對(duì)任意的A,B∈ε,Ak(A∩B)=(AkA)∪(AkB)是一個(gè)有限集對(duì)所有的k∈N.從而A∩B∈ε.進(jìn)一步地，對(duì)任意的A∈ε與k∈N,不難看出A∩(NAk)是一個(gè)非空集(實(shí)際上，是一個(gè)無限集).此外，由(Ak)的定義可知，(NAk)∩(NAj)≠?對(duì)所有的k,j∈N.記表示由生成的濾子，則是自由的.任取一個(gè)包含的超濾子U,則U也是自由的.

第3步.驗(yàn)證(xn)是U-收斂于0但非U-幾乎處處收斂于0 .

2 線性算子的弱統(tǒng)計(jì)收斂

考慮引入有界線性算子序列在弱算子拓?fù)湟饬x下的統(tǒng)計(jì)收斂.為此，先回顧一下Banach空間中序列在弱拓?fù)湟饬x下的統(tǒng)計(jì)收斂：Banach空間X中的序列(xn)稱為弱統(tǒng)計(jì)收斂于x∈X是指對(duì)任意的ε>0以及任意的x*∈X*，A(x*;ε)={n∈N:|〈x*,xn-x〉|≥ε}具有自然密度0.如果(xn)弱統(tǒng)計(jì)收斂于0,稱(xn)為弱統(tǒng)計(jì)零序列.

1) (Tn)稱為弱統(tǒng)計(jì)收斂于T是指對(duì)任意的x∈X以及任意的x*∈X*,δ({n∈N:|〈x*,Tnx-Tx〉|≥ε})=0對(duì)任意的ε>0.此時(shí)，記為T=w-st-limTn.

2) (Tn)稱為幾乎處處弱收斂于T是指存在一個(gè)統(tǒng)計(jì)零集G∪N使得(Tn)n∈N G在弱算子拓?fù)湟饬x下收斂于T.此時(shí)，記為T=al-w-limTn.

引理1(可參閱文獻(xiàn)[4，16]) 設(shè)A1,A2,…是N的一個(gè)子集列滿足δ(Ai)=1對(duì)所有的i∈N.則存在A?N使得δ(A)=1且(AAi)#<∞對(duì)所有的i∈N.

定理1[4]設(shè)X是一個(gè)可分的Banach空間.則X*是可分的當(dāng)且僅當(dāng)任意有界的弱統(tǒng)計(jì)零序列都是幾乎處處弱收斂的.

引理2[17]設(shè)X是一個(gè)可分的Banach空間.則存在一個(gè)從l1到X滿的有界線性算子.

下面將證明一個(gè)Connor-Ganichev-Kadets型定理.

|〈x*,Tnx〉|≤‖x*‖‖Tn‖‖x-xk‖+

|〈x*,Tnxk〉| <ε.

這證明了(Tn)是幾乎處處弱收斂于0的.設(shè)(Tn)幾乎處處弱收斂于0,由定義即可推出(Tn)弱統(tǒng)計(jì)收斂于0.從而必要性得證.

充分性.令

S={(xn)?X:(xn)有界的弱統(tǒng)計(jì)收斂于0}.

則斷言S#=X#=c,其中S#表示集合S的基數(shù)，c表示連續(xù)統(tǒng)的基數(shù).事實(shí)上，根據(jù)引理2,X#≤c.由于F×X=X,X#≥c,其中F表示定義Banach空間X的數(shù)域.從而有X#=c.另外,S#≤cN0=(2N0)N0=2N0·N0=2N0=c.注意到F×S=S,S#≥c.這意味著S#=c=X#.定義雙射g:X→S.

則(Tn)一列有界的連續(xù)線性算子.對(duì)任意x∈X，x可以表示為x=λx0+y.則(Tn(x))=λ(xn)弱統(tǒng)計(jì)收斂于0.這說明(Tn)弱統(tǒng)計(jì)收斂于0.但當(dāng)λ≠0,(Tn(x))=λ(xn)非幾乎處處弱收斂于0.從而(Tn)非幾乎處處弱收斂于0.這與充分性的假設(shè)矛盾.