立足起點 關(guān)注卡點 突破難點
——《絕對值三角不等式》磨課反思

張 倩

(浙江省湖州市安吉藝術(shù)高級中學(xué) 313300)

《絕對值三角不等式》是高中數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》中的一節(jié)內(nèi)容.筆者從初次授課的學(xué)生思維卡點出發(fā)，立足學(xué)生思維起點，關(guān)注學(xué)生思想建構(gòu)，以“同課異構(gòu)”的形式，對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了多次磨課，將本節(jié)課在定理探究、本質(zhì)挖掘、內(nèi)在聯(lián)系、思想滲透等方面的反思與感悟整理成文.

一、初次教學(xué)設(shè)計及課堂實錄片段

【創(chuàng)設(shè)情境】近日中美貿(mào)易戰(zhàn)持續(xù)升級，導(dǎo)致中美兩國關(guān)系日益緊張，中方下令加強(qiáng)航空管制，取消一切中美“直飛航班”.原本由M地直飛N地的航班，不得不經(jīng)停P點.

師：航空管制前后，飛機(jī)飛行路程有否變化？位移呢？

生：路程有變,位移不變

師：隨著中轉(zhuǎn)站P點的改變，航空管制前后飛行路程的大小能否確定？ 何時取到最小值.

生：MP+PN≥MN,當(dāng)且僅當(dāng)M、P、N三點共線時取到最小值.

師：上述不等式體現(xiàn)了三角形中怎樣的“三邊關(guān)系”？

生：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊.

師：猜想，向量三角不等式的實數(shù)形式是怎樣的？是否正確？

生：學(xué)生靜默.

師：那我們帶著這個疑問一起來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容.

【溫故已學(xué)】

問題1：|a|的代數(shù)定義？

問題2：|a|的幾何意義？

問題3：|a-b|的幾何意義?

【探究新知】

環(huán)節(jié)1.幾何探究

師：設(shè)a、b為實數(shù)，你能確定|a-b|與|a|+|b|兩者間的大小關(guān)系嗎？我們借助幾何畫板一起來探究一下.

師：|a-b|、|a|、|b|的幾何意義是什么？

生：A、B兩點間的距離，點A到原點O的距離及點B到原點O的距離.

師：A、B兩點在數(shù)軸上的位置能否確定？

生：不確定.

師(操作)：固定A、B兩點，讓點O在數(shù)軸上動起來，通過變動點O從而體現(xiàn)A、B兩點在數(shù)軸上的變化.

師：觀察點O與AB有幾種位置關(guān)系？

生：在AB左側(cè)、AB中間、AB右側(cè).

師(操作)：利用幾何畫板，用紅、藍(lán)兩種顏色分別表示出|a-b|及|a|、|b|所對應(yīng)的線段.

師：分別觀察點O在AB左側(cè)、AB中間、AB右側(cè)三種情況下，紅色線段AB(即|a-b|)與藍(lán)色線段OA、OB之和(即|a|+|b|)的大小關(guān)系.

生：O在AB左側(cè)時，AB長度小于OA、OB之和；

O在AB中間時，AB長度等于OA、OB之和；

O在AB右側(cè)時，AB長度小于OA、OB之和；

師：能否用代數(shù)式表示上述的大小關(guān)系？

生：O在AB左側(cè)時，|a-b|<|a|+|b|；

O在AB中間時，|a-b|=|a|+|b|；

O在AB右側(cè)時，|a-b|<|a|+|b|；

師：即|a-b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)O在AB中間時取“=”.

師：“O在AB中間”能否用數(shù)學(xué)語言描述？

生：a、b兩者一正一負(fù).

師：即ab≤0.

環(huán)節(jié)2.代數(shù)證明

師：至此，我們已經(jīng)探究得到了|a-b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時取“=”.那能否對其進(jìn)行證明？

師：處理含有絕對值的式子，我們有哪些方法？

生1：把絕對值去掉.

師：去掉絕對值時要注意什么？

生2：對絕對值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行分類討論.

師：很好！那你們看看上述不等關(guān)系中有幾個絕對值？需要對哪些數(shù)進(jìn)行分類討論.

生：共有3個絕對值，分別要對a-b的正負(fù)，a的正負(fù)，b的正負(fù)進(jìn)行討論.

師：除了去掉絕對值這種方法之外，有沒有更簡潔的方法，可以處理諸如上式這樣的不等號兩邊都有絕對值的式子？

生3：兩邊平方.

師：很好！那請大家嘗試用這種方法嚴(yán)密證明下.

生(草稿紙上書寫)：

師(板書引導(dǎo))：要證：|a-b|≤|a|+|b|

即證：|a-b|2≤(|a|+|b|)2

即：a2-2ab+b2≤|a|2+|b|2+2|a||b|

即要證：-2ab≤2|a||b|,即：|a||b|+ab≥0，ab≤0時上式取“=”.此結(jié)論顯然成立，所以原命題得證.

環(huán)節(jié)3.定理剖析

師：至此，我們從幾何和代數(shù)角度都證得：

如果a、b是實數(shù)，|a-b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時取“=”.

師：如果用○代替不等式中的a，用□代替不等式中的b，則上述不等式具有怎樣的形式特征？

生：|○-□|≤|○|+|□|

師：很好！即“差的絕對值”≤“絕對值之和”！

環(huán)節(jié)4.定理變形

師：嘗試用不同的數(shù)或式代換○、□中的值 ，能否得到新的結(jié)論？

生：|1-2|≤|1|+|1|；

|1-(-3)|≤|1|+|-3|；

|1-0|≤|1|+|0|；

……

師：能否用更具有一般性的字母代換，如試試用“a”、“-b”分別代換○、□中的值？

生：|a+b|≤|a|+|b|.

師：很好！至此，我們通過變量代換，又得到：

如果a、b是實數(shù)，|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時取“=”

師：用“a-b”、“-b”去代換，又有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|，即|a|≤|a-b|+|b|

師：很好！即我們得到：

如果a、b是實數(shù)，|a-b|≥||a|-|b||.

師：那|a+b|≥||a|-|b||是否成立？如何證明？

生：用“-b”代換|a-b|≥||a|-|b||中的“b”即可.

環(huán)節(jié)5.定理剖析

師：至此，我們探究得到：如果a、b是實數(shù)，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

即：‖○|-|□‖≤|○±□|≤|○|+|□|;即：“絕對值之差”≤“和(差)的絕對值”≤“絕對值之和”.

【知識應(yīng)用】

例1已知m>0，|x-a|

例2兩個施工隊A、B分別被安排在公路路碑10km和20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？

二、起點、卡點、難點——磨課中的取舍與反思

1.起點——先“加式”還是先“減式”

筆者在磨課過程中，都以||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中的后半組|a±b|≤|a|+|b|作為教學(xué)的起點，設(shè)計時從不同的角度出發(fā)，分別采用過將|a+b|≤|a|+|b|作為主體和將|a-b|≤|a|+|b|作為主體兩種切入手段.從課堂效果來看，以|a+b|≤|a|+|b|作為首推的不等關(guān)系給出，再通過變量代換推得其余三個不等關(guān)系，雖然遵循了加法運(yùn)算的基礎(chǔ)性，但給學(xué)生理解其幾何意義設(shè)置了障礙.以|a-b|≤|a|+|b|作為首推的不等關(guān)系給出，更接近學(xué)生認(rèn)知的起點，能讓學(xué)生更直觀的理解絕對值不等式所體現(xiàn)的“兩點間距離”這一幾何本質(zhì)，有利于后續(xù)新知的展開.

2.卡點——先“幾何”還是先“代數(shù)”

幾何和代數(shù)是一個事物的兩種呈現(xiàn)形式，“數(shù)”往往比較精煉，“形”往往比較直觀.從數(shù)的角度切入探究||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，常常采用的手段是由特殊到一般，即由幾組特殊的數(shù)值的“和、差的絕對值”與“絕對值之和”、“絕對值之差”間的大小關(guān)系的比較，猜想這樣的大小關(guān)系是否具有一般性.從形的角度切入探究則可從絕對值的幾何意義入手，借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓A、B兩點固定不動，探究當(dāng)動點O在數(shù)軸上運(yùn)動時，位于何處時距兩定點A、B間的距離最短.從課堂反響來看，選擇從形的角度切入更顯直觀，亦更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì).

3.難點——先“數(shù)量”還是先“向量”

兩種開篇方式各有利弊，因而，如何更好地建立起實數(shù)形式的絕對值三角不等式與向量形式的三角不等式之間的聯(lián)系，是筆者百思不得解的一塊內(nèi)容.