基于雙等沉面的柔性樁承式路堤荷載-沉降分析

趙明華，張承富，劉長捷

（湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082）

樁承式路堤是一種強(qiáng)化軟土地基的工程技術(shù)，已證明其能有效地提高地基承載力、減少路基沉降[1-2].為了提高樁承式路堤中樁承擔(dān)的荷載，通常可在樁頂設(shè)置樁帽或土工材料[3-5].由于樁的壓縮模量遠(yuǎn)大于樁間土的壓縮模量，因此在荷載作用下（填土荷載、交通荷載），路堤填土以及樁底下臥層土體都會(huì)產(chǎn)生不均勻沉降.位于樁間土上方的填土有相對(duì)于樁頂上方填土向下的位移；位于樁底正下方的下臥層土有相對(duì)于樁間土下方土體向下的位移.這樣的相對(duì)位移使填土、下臥層土體內(nèi)的應(yīng)力重新分布，即土拱效應(yīng)[6].

1943 年Terzagh[6]通過“活動(dòng)門”試驗(yàn)對(duì)土拱效應(yīng)的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了描述，分析了平面土拱效應(yīng)；Hewlett和Randolph[7]基于室內(nèi)模型試驗(yàn)提出了半球形土拱模型，同時(shí)應(yīng)用彈塑性理論分析了三維土拱模型；Kempfert 等[8]提出了多層拱形理論；Van Eekelen 等[9]通過模型試驗(yàn)提出了一種基于極限平衡理論的同心拱模型.這些研究主要集中于路堤填土中土拱效應(yīng)的研究，忽略了樁-土相互作用以及其對(duì)土拱效應(yīng)的影響[10].

針對(duì)樁承式路堤工作性狀，有學(xué)者建立了能考慮樁-土-路堤變形和應(yīng)力協(xié)調(diào)的平衡方程，分析了三者協(xié)調(diào)工作的荷載傳遞特性.Deb 等[11]引入Alamgir 等[12]提出的樁間土不均勻沉降函數(shù)，分析了碎石樁-樁承式路堤的應(yīng)力和變形問題，其中土拱效應(yīng)的計(jì)算方法采用Low 等[13]提出的方法.然而，Low提出的土拱計(jì)算理論是基于土拱效應(yīng)與樁-土差異沉降無關(guān)的假設(shè).因此，Deb 等[11]引入了一個(gè)乘數(shù)因子來考慮樁土模量比對(duì)土拱效應(yīng)的影響.俞縉等[14]通過改進(jìn)的路堤荷載傳遞模型和假定的柔性樁側(cè)摩阻力分布模式，推導(dǎo)了能考慮土拱效應(yīng)、膜效應(yīng)和樁-土相互作用三者耦合作用的理論公式.趙明華等[15]在土柱模型的基礎(chǔ)上，考慮了差異壓縮量對(duì)界面摩阻力發(fā)揮的影響，推導(dǎo)了路堤底部荷載分配與差異沉降的關(guān)系，從而考慮了樁土相互作用對(duì)土拱效應(yīng)的影響.基于Alamgir 等[12]的研究，Zhao 等[16]引入土柱模型來分析樁-土相互作用對(duì)土拱效應(yīng)的影響.陳仁朋等[17]通過假定樁側(cè)摩擦力的分布方程來分析樁-土相互作用，并根據(jù)應(yīng)力和位移連續(xù)條件考慮了樁-土相對(duì)位移對(duì)土拱效應(yīng)的影響，但關(guān)于樁底下臥層的計(jì)算，作者采用Boussinesq 方程和Geddes 方程對(duì)樁底以下土層的附加應(yīng)力進(jìn)行近似求解并采用分層總和法求得其沉降.上述分析中，學(xué)者們對(duì)樁-土相互作用及其對(duì)路堤中土拱效應(yīng)的影響進(jìn)行了研究.然而，對(duì)樁底下臥層的荷載傳遞機(jī)理的研究卻很少見.

綜上所述，根據(jù)樁承式路堤中路堤部分的荷載傳遞機(jī)制、加固區(qū)樁-土相互作用以及下臥層的變形特性.本文提出了雙等沉面理論計(jì)算方法，既建立了下臥層的力學(xué)傳遞模型，又能夠考慮樁承式路堤各組成部分之間的相互作用，并對(duì)現(xiàn)有的土柱模型的不足進(jìn)行了改進(jìn).

1 柔性樁承式路堤的雙等沉面模型

如圖1 所示，加筋式樁承式路堤主要由路堤、加筋墊層、樁、軟土組成，取路堤中心處的樁及其影響范圍內(nèi)的土體為研究對(duì)象.圖2 給出了雙等沉面模型分析單元：過任意直徑的豎向剖面圖.中性點(diǎn)以下，土體相對(duì)于樁有向上的位移直到下等沉面處，在樁底平面處，樁底位移大于樁間土位移，則樁底平面處樁間土正下方的下臥層土（外土柱）有相對(duì)于樁底正下方下臥層土（內(nèi)土柱）向上的位移.由Wu 等[18]和Li 等[19]的研究結(jié)果可得到：樁底下部一定深度的土體變形模型與路堤中倒置的土拱模型相似.

圖1 樁的平面布置圖和計(jì)算單元Fig.1 Pile layout and calculation unit

圖2 柔性樁承式加筋路堤雙等沉面模型Fig.2 Double equal settlement plane model of flexible pile supported reinforced embankment

根據(jù)幾何條件與應(yīng)力條件可將路堤分為三部分：上等沉面到路面部分、介于兩個(gè)等沉面之間的部分、下等沉面以下的部分.上等沉面到路面部分通常不考慮其對(duì)路面沉降的貢獻(xiàn)；下等沉面以下部分只對(duì)路堤的總沉降產(chǎn)生影響，采用分層總和法進(jìn)行計(jì)算；介于等沉面之間的部分可進(jìn)一步分為三部分：上等沉面到樁頂部分，樁頂?shù)綐兜撞糠?，樁底到下等沉面部?在樁頂以及樁底平面處引入應(yīng)力、位移連續(xù)條件將介于兩個(gè)等沉面之間的各部分聯(lián)系起來，根據(jù)應(yīng)力平衡來計(jì)算任意深度處的樁間土和樁的應(yīng)力.

1.1 考慮位移修正的土壓力系數(shù)

文獻(xiàn)[20]中基于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的土壓力數(shù)據(jù)和離心試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合了土壓力與變形之間關(guān)系，并基于朗肯土壓力理論，提出了考慮變形的朗肯土壓力模型[20-21].其中修正后的土壓力系數(shù)為：

1.2 土拱效應(yīng)

在實(shí)際工程中，為了避免路面出現(xiàn)不均勻沉降，路堤高度（h）基本上都大于路堤中等沉面高度（he），因此本文不考慮h≤he的情況.在土柱模型中[16，22]，等沉面處內(nèi)、外土柱相對(duì)位移為零，樁頂處相對(duì)位移最大.則在等沉面處、內(nèi)外土柱之間的摩擦力為零，樁頂處摩擦力最大.便于計(jì)算，內(nèi)、外土柱只產(chǎn)生豎向壓縮[17，22]，并建立如圖2 所示的局部坐標(biāo)系：路堤表面為z 軸的零點(diǎn)，向下為正.

內(nèi)、外土柱間摩擦力發(fā)揮程度系數(shù)β，從上等沉面到樁頂由0 線性變化到1，則路堤中，內(nèi)、外土柱之間的摩擦因數(shù)k 可表示為：

式中：he為上等沉面距樁頂距離；h 為路堤填土高度.

在任意截面z 處，取內(nèi)土柱單元進(jìn)行受力分析（如圖2 所示），其豎向受力平衡方程為：

式中：Si為內(nèi)土柱的截面面積，有樁帽時(shí)等于樁帽面積，無樁帽時(shí)為樁的截面面積；σi（z）為內(nèi)土柱的應(yīng)力；γ 是填土重度；dc為內(nèi)土柱直徑，有樁帽時(shí)為樁帽等效直徑，無樁帽時(shí)為樁徑；L 為內(nèi)、外土柱摩擦力.

將式（1）（2）（4）代入式（3），采用一階線性微分方程求解，并引入邊界條件：當(dāng)z=h-he時(shí)，σi（z）=γ（h-he），可求得任意截面處的內(nèi)土柱豎向應(yīng)力：

式中：T、H 均為中間變量.

在圖2 的計(jì)算模型中，由z 平面處的路堤填料的豎向應(yīng)力平衡得：

式中：σs（z）為外土柱的應(yīng)力；m 為面積置換率,，de是單樁的有效影響半徑.根據(jù)布樁形式，三角形布樁取de=1.05Sa；正方向布樁取de=1.128Sa.

路堤中外土柱應(yīng)力為：

因此，將z=h 代入式（5）（7），可得樁頂平面處的樁土應(yīng)力分別為：

內(nèi)、外土柱由于相對(duì)位移在界面上產(chǎn)生摩擦力，外土柱受到內(nèi)土柱向上的摩擦力，使外土柱卸荷回彈；內(nèi)土柱受到外土柱的向下的摩擦力，使內(nèi)土柱壓縮變形.分析可知，樁頂平面處，內(nèi)、外土柱的沉降差等于內(nèi)土柱的壓縮變形與外土柱的拉伸變形之和.

式中：Δs 為樁頂處樁間土與樁頂?shù)牟町惓两担籈c為路堤填料的壓縮模量；Ee為路堤填料的回彈模量.通常情況下Ec＞Ee，為方便計(jì)算取E=Ec=Ee，可得：

1.3 筋材-拉膜效應(yīng)

加筋材料在荷載作用下，由于樁、土的差異沉降，使筋材產(chǎn)生向下的彎曲變形，變形后的形狀可以看作是懸鏈線[23]或拋物線[24].本文中假設(shè)筋材的變形符合拋物線方程，并以筋材變形最低點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖3 所示的局部坐標(biāo)系.

式中：e 為待定系數(shù).

圖3 筋材變形示意圖Fig.3 Deformation curves of reinforced materials

由圖3 可知，拋物線過點(diǎn)（（de-dc）/2，Δs），將其代入式（12），可得拋物方程為：

根據(jù)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系以及斜率公式，得到樁頂處筋材與水平面夾角的正弦值：

因此，在點(diǎn)（（de-dc）/2，Δs）處筋材的應(yīng)變、應(yīng)力分別為：

式中：Eg為加筋材料的抗拉剛度，kN/m；G 為筋材的拉應(yīng)力.

如圖3 所示，在筋材下側(cè)樁頂平面處進(jìn)行受力分析，可得筋材下側(cè)的樁頂應(yīng)力：

根據(jù)樁頂平面處豎向應(yīng)力平衡可求得筋材下側(cè)樁間土應(yīng)力：

式中：σs0、σp0分別為樁頂平面處樁間土應(yīng)力、樁頂應(yīng)力.則加筋材料上側(cè)的樁土應(yīng)力比nt、樁頂處樁土應(yīng)力比n 分別為：

1.4 樁-土相互作用分析

樁-土相互作用的樁側(cè)摩阻力，根據(jù)文獻(xiàn)[25]的試驗(yàn)結(jié)果可知，樁側(cè)摩阻力沿深度變化的示意圖如圖4 所示，文獻(xiàn)[26]也得到了類似的結(jié)果.為方便計(jì)算將其簡(jiǎn)化為圖5 所示.

根據(jù)圖5 樁土相互作用假設(shè)：

1）樁側(cè)負(fù)摩阻力在樁頂處最大，向下逐漸減小，到中性點(diǎn)處為零.

2）樁側(cè)正摩阻力由中性點(diǎn)向下線性增大到最大值，然后線性減小到有效樁長處為零，再往下，樁側(cè)摩阻力為零.

圖4 樁側(cè)摩阻力沿深度變化的示意圖Fig.4 The stress distribution chart of pile body

圖5 樁側(cè)摩擦力簡(jiǎn)化示意圖Fig.5 Simplified diagram of pile side friction

3）樁間土的應(yīng)力在同一平面處應(yīng)力為均勻分布.

根據(jù)圖5 和假設(shè)1）、假設(shè)2），建立以樁頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為z1軸正方向的局部坐標(biāo)系，得出剪切應(yīng)力沿樁身的分布函數(shù)：

式中：τ0、τm分別為樁身處最大負(fù)、正摩擦力；l1為最大正摩擦力處距樁頂?shù)木嚯x；lc為有效樁長.

取距樁頂z1處的樁單元體進(jìn)行豎向的受力分析，如圖6 所示.

式中：σpz1（z1）為樁身應(yīng)力；Sp為樁的橫截面面積.

對(duì)式（24）進(jìn)行積分運(yùn)算，并引入邊界條件（當(dāng)z1=0 時(shí)，σpz1（z1）=σp0），得

圖6 樁體與樁間土微元受力圖Fig.6 Soil microelement of pile and soil

如圖6 所示，根據(jù)樁的受力，同理可推出樁間土的應(yīng)力微分方程：

式中：σsz1（z1）為樁間土應(yīng)力；m1為樁底面處的面積置換率，.

1.5 樁底到下等沉面的分析

1.5.1 樁長大于等于有效樁長

當(dāng)樁長大于等于有效樁長時(shí)，在有效樁長處，樁土相對(duì)位移為零，樁土之間沒有摩擦力，此處即為下等沉面.試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示[25]：在下等沉面以下的樁體應(yīng)力很小，故忽略下等沉面以下樁土應(yīng)力差異，因此下等沉面處樁身應(yīng)力等于樁間土應(yīng)力.

將z1=lc代入式（25b）（26b）且兩式相等：

假設(shè)樁的重度等于土的重度：

下等沉面到樁頂之間的樁土相對(duì)位移即為路堤底面處的樁土沉降差Δs.

式中：Ep為樁的壓縮模量；Es為土的壓縮模量.

將式（19b）（20）代入式（29），得

有效樁長的計(jì)算公式如下[27]：

公式（11）代表路堤底部平面處內(nèi)、外土柱間的相對(duì)位移，公式（30）代表樁頂平面（路堤底部）處樁土相對(duì)位移.同時(shí)，公式（11）等于公式（12），且兩者均是關(guān)于he的函數(shù).因?yàn)楣剑?1）和公式（30）均為高度非線性方程，所以采用Mathematica 編程求解，先給定一個(gè)初始值he，迭代求解直到兩公式的值相等，將迭代得到的he代入相應(yīng)的公式，則可求得其他參數(shù).

1.5.2 樁長小于有效樁長

式中：σp（z2）為樁底下側(cè)內(nèi)土柱應(yīng)力；k0=1 -sin φ，f=tan φ.

圖7 下臥層受力分析圖Fig.7 Stress analysis diagram of the substratum

取微元體分析，在豎直方向的平衡方程：

式中：Sp為樁的截面積.

將式（32）代入式（33），采用一元線性微分方程求解，并引入邊界條件：當(dāng)z2=0 時(shí)，σp（z2=0）=

根據(jù)豎向荷載平衡可得下臥層內(nèi)土柱應(yīng)力：

在下等沉面處內(nèi)、外土柱應(yīng)力相等，可求出下等層面距樁底的距離t.

式中：product log 為乘積對(duì)數(shù)函數(shù)，是x·exp[x]在區(qū)間（-1/e，+∞）上的反函數(shù)，又稱為Lambert W 函數(shù).

式（37）是短樁樁頂處樁土差異沉降Δs.

公式（11）代表路堤底部平面處內(nèi)、外土柱間的相對(duì)位移，公式（37）代表樁頂平面（路堤底部）處樁土相對(duì)位移，且公式（11）（37）均是關(guān)于he的函數(shù).考慮到位移連續(xù)性條件，公式（11）與（37）位移相等，采用Mathematica 編程求解，先給定一個(gè)初始值he，迭代求解直到兩者相等，將迭代得到的he代入相應(yīng)的公式可求得其他參數(shù).

2 柔性樁-樁承式路堤的沉降計(jì)算

路堤的總沉降等于上、下等沉面之間的土體壓縮變形和下等沉面下的土體的壓縮變形之和.介于兩等沉面之間的土體的壓縮變形分為長樁、短樁2種計(jì)算模式.

短樁：樁長小于有效樁長，樁長記為ls.變形分為4 部分：第1 部分S1，上等沉面到樁頂；第2 部分S2，樁頂?shù)綐兜祝坏? 部分S3，樁底到下等沉面；第4 部分S0，下等沉面以下土體壓縮量.

長樁：樁長大于有效樁長，樁長記為l1.壓縮變形分為3 部分：第1 部分S1，上等沉面到樁頂；第2 部分S2，樁頂?shù)较碌瘸撩妫坏? 部分S0，下等沉面以下土體壓縮量.

其中下等沉面以下的土體壓縮變形S0，采用分層總和法計(jì)算[28].

式中：Ei為計(jì)算土層壓縮模量；Hi為分層計(jì)算厚度；σs（z2）為對(duì)應(yīng)分層處平均附加應(yīng)力.

式（40）（41）分別為長樁、短樁第2 部分位移.

3 實(shí)例驗(yàn)證

某繞城高速公路，存在大量的軟土地基（K8+617.57 至K26+000 路段），厚度為20～30 m.選取實(shí)驗(yàn)斷面K28+830 的路堤沉降，樁頂處樁、土應(yīng)力的實(shí)測(cè)值與本文提出的雙等沉面計(jì)算模型的計(jì)算值對(duì)比.主要地質(zhì)條件如下：粉質(zhì)黏土厚度1.4～1.6 m、淤泥厚度5～7 m、淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土厚度5.1～6.4 m.采用粉噴樁加固路基，樁徑500 mm，三角形布樁，間距1.3 m，樁長為10 m，樁頂設(shè)置土工格柵墊層.根據(jù)室內(nèi)、外實(shí)驗(yàn)：路堤填料內(nèi)摩擦角φ=30°，壓縮模量15 MPa、格柵抗拉強(qiáng)度Eg=500 kN/m、樁的彈性模量Ep=50 MPa，路堤填土高度h=5.18 m、重度γ=20 kN/m3，其他參數(shù)見文獻(xiàn)[29].

表1 給出了文獻(xiàn)[29]現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)沉降的穩(wěn)定值（從2000 年8 月29 日到2001 年3 月）、復(fù)合模量法計(jì)算值和雙等沉面理論方法（本文方法）的計(jì)算值.結(jié)果表明：現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)路堤中心沉降穩(wěn)定值為12.9 cm、路肩沉降穩(wěn)定值12.1 cm，路堤中心的沉降量比路肩的沉降值略大；復(fù)合模量法計(jì)算值為15.4 cm，雙等沉面方法計(jì)算沉降值為14.14 cm.復(fù)合模量法的計(jì)算值相對(duì)路堤中心、路肩的實(shí)測(cè)值誤差分別為19.4%、27.3%；雙等沉面方法的計(jì)算值相對(duì)路堤中心、路肩的實(shí)測(cè)值誤差分別為9.6%、16.9%.復(fù)合模量法計(jì)算的加固區(qū)壓縮量為6.4 cm，占總沉降的41.6%，下臥層沉降為7.1 cm，占總沉降的46.1%；雙等沉面模型計(jì)算的加固區(qū)壓縮值為7.12 cm，占總沉降的50.4%，下臥層沉降為6.16 cm，占總沉降的43.6%，與實(shí)際相符.雙等沉面模型和復(fù)合模量法的計(jì)算值都略大于實(shí)測(cè)值，但是本文的計(jì)算值更加接近實(shí)測(cè)值.

表1 沉降實(shí)測(cè)值與計(jì)算值結(jié)果Tab.1 Test and calculated results of settlement

表2 給出了樁土應(yīng)力比的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值.路堤中部7.8 m 處（行車道中心處）的實(shí)測(cè)樁頂處樁土應(yīng)力比最大值為5.1，穩(wěn)定值為4.7；本文計(jì)算土工格柵上樁土應(yīng)力比為4.234，土工格柵下樁土應(yīng)力比為4.451.土工格珊上側(cè)計(jì)算值與實(shí)測(cè)最大值、穩(wěn)定值相比，相對(duì)誤差分別為16.98%、9.91%；土工格柵下側(cè)計(jì)算值與實(shí)測(cè)最大值、穩(wěn)定值相比，相對(duì)誤差分別為12.73%、5.30%.雙等沉面模型計(jì)算的樁土應(yīng)力比、沉降都與實(shí)測(cè)值接近，且各組成部分的沉降計(jì)算值占總沉降的百分比與復(fù)合模量計(jì)算的相近，證明了本文方法的合理性.

表2 樁土應(yīng)力比實(shí)測(cè)值與計(jì)算值結(jié)果Tab.2 Test and calculated results of stress ratio

4 結(jié)論

本文針對(duì)柔性樁加固的加筋樁承式路堤的荷載傳遞機(jī)理與樁土相互作用的變形特性，以路堤中心處單樁影響范圍內(nèi)的復(fù)合地基和路堤為研究對(duì)象，建立了基于路堤-樁-土共同作用的雙等沉面模型，獲得了該類樁承式路堤的樁土應(yīng)力比以及沉降的計(jì)算方法.該方法能考慮樁承式路堤中所有的荷載傳遞機(jī)理之間的相互作用.同時(shí)，該方法還對(duì)現(xiàn)有土拱計(jì)算方法在路堤中等沉面處內(nèi)、外土柱摩擦力不為零的缺陷進(jìn)行了改進(jìn)，并根據(jù)下臥層的變形特性，引入了下等沉面的概念及其計(jì)算模型，使計(jì)算更加合理.通過實(shí)例分析，得出以下幾個(gè)結(jié)論：

1）樁承式路堤的總沉降主要由加固區(qū)的壓縮量和下臥層的壓縮量組成.對(duì)于摩擦樁，下臥層的變形量約占總沉降的45%.

2）對(duì)于下臥層土體不是硬土層的樁承式路堤，由于樁土的相互協(xié)調(diào)變形，樁-土的相對(duì)位移較小，則土工格柵的作用不能充分發(fā)揮.

3）對(duì)于未打穿軟土的柔性樁承式路堤，當(dāng)樁長超過有效樁長后，通過增加樁長來控制沉降不是很有效的方法.