考慮參激振動(dòng)的折線型立體桁架拱動(dòng)力響應(yīng)分析

賀擁軍，金志文，周緒紅

（1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400044）

近年來提出的預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)[1-3]，是在網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中布置預(yù)應(yīng)力高強(qiáng)拉索而形成的一種剛?cè)峤M合空間結(jié)構(gòu)體系.預(yù)應(yīng)力的引入有效地改善了結(jié)構(gòu)的靜力性能及穩(wěn)定性，從而進(jìn)一步提高了結(jié)構(gòu)的跨越能力.預(yù)應(yīng)力拉索作為結(jié)構(gòu)主要受力構(gòu)件，具有大柔度、小質(zhì)量、小阻尼的特點(diǎn)，在地震作用下呈現(xiàn)高度非線性，當(dāng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率與拉索頻率滿足一定關(guān)系時(shí)，激發(fā)拉索的大幅度劇烈振動(dòng)，拉索可能發(fā)生參激振動(dòng)，引起拉索及其錨固端的破壞，導(dǎo)致拉索失效喪失承載力，最終影響空間結(jié)構(gòu)的安全性及耐久性.

國內(nèi)外針對(duì)工程中拉索的振動(dòng)問題進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究.Irvine[4]對(duì)索的靜力性能，動(dòng)態(tài)響應(yīng)做了深入探討，研究了拉索在外力作用下的微分方程及求解方法；陳水生等[5]考慮拉索垂度及幾何非線性導(dǎo)出了拉索在軸向激勵(lì)下的非線性振動(dòng)方程，指出發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)，激勵(lì)頻率與索的1 階頻率比略大于2，論述了激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值等因素對(duì)拉索參激振動(dòng)的影響；趙躍宇等[6]研究了索-拱組合結(jié)構(gòu)中斜拉索的非線性參激振動(dòng)；Wu 等[7]分別研究了斜拉橋在正弦激勵(lì)、車輛荷載、地震作用下的拉索局部振動(dòng)；于巖磊等[8]分析了斜拉網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中拉索發(fā)生參激振動(dòng)的可能性及影響因素；陳丕華等[9]在實(shí)驗(yàn)室觀測(cè)到了斜拉索的參激振動(dòng).而作為新型結(jié)構(gòu)體系的拉索預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，其拉索參激振動(dòng)缺乏相應(yīng)的系統(tǒng)性研究，要使其在實(shí)際應(yīng)用中安全可靠，所做的研究工作還不夠.因此，對(duì)預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的非線性耦合參激振動(dòng)現(xiàn)象及機(jī)理的進(jìn)一步研究具有重要科學(xué)意義.

本文以拉索預(yù)應(yīng)力折線型立體桁架拱為例，建立了結(jié)構(gòu)有限元模型，研究了結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和地震作用下的基本性能以及拉索發(fā)生參激振動(dòng)的條件與誘發(fā)機(jī)制，以期為預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

1 拉索參激振動(dòng)

參激振動(dòng)[10]是除自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和自激振動(dòng)以外的一種振動(dòng)形式，由外界激勵(lì)引發(fā)，激勵(lì)不是以外荷載形式作用于系統(tǒng)，而是以參數(shù)的形式出現(xiàn)在振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中，并隨時(shí)間變化.當(dāng)拉索端部橫向激勵(lì)頻率與拉索的固有頻率之比為1 ∶1 時(shí)索發(fā)生主共振；拉索端部軸向激勵(lì)頻率與拉索固有頻率之比約為2 ∶1 時(shí)索易發(fā)生參激振動(dòng).為研究預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的拉索振動(dòng)機(jī)理，將拉索模型簡(jiǎn)化為單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1 所示，索端部激勵(lì)運(yùn)動(dòng)方程為Ux=U0cos Ωt，其中Ω 為外激勵(lì)圓頻率.

考慮重力平衡和小垂度建立索的振動(dòng)微分方程[5]：

式中：H 為索的初始徑向拉力；h 為索的徑向動(dòng)拉力；y 為自重作用下的位移；v 為偏離平衡位置的動(dòng)力位移；m 為索每延米質(zhì)量.取索的1 階振型函數(shù)[11]：

斜拉索面內(nèi)位移激勵(lì)1 階參激振動(dòng)方程[5]可寫為：

式中：ξ 為拉索1 階振動(dòng)模態(tài)阻尼比；ω1為考慮拉索垂度和幾何非線性后索的1 階自振圓頻率；α1為參激振動(dòng)項(xiàng)系數(shù)，與外激勵(lì)有關(guān)；α2為由垂度效應(yīng)導(dǎo)致的平方非線性項(xiàng)系數(shù)；α3為大幅振動(dòng)導(dǎo)致的立方非線性項(xiàng)系數(shù)；α4為外激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)，與外激勵(lì)幅值和拉索傾角有關(guān).

1.1 結(jié)構(gòu)分析方法

1985 年墨西哥城8.1 級(jí)地震動(dòng)時(shí)程曲線如圖2（a）所示，由于軟土地基的放大作用造成地震動(dòng)強(qiáng)度放大，中低頻成分強(qiáng)度增大，加速度峰值只有0.18 g，而且是周期約為2 s 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)[12]，其Fourier 幅值譜圖2（b）顯示其頻率集中于0.36～0.52 Hz，而在集中頻率的外激勵(lì)下，由文獻(xiàn)[5]可知，拉索可能發(fā)生劇烈振動(dòng).而大跨度拉索預(yù)應(yīng)力網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在地震作用下，一方面，由于其顯著的幾何非線性效應(yīng)，地震波起到了縱向激勵(lì)的作用，在一定條件下可能引起結(jié)構(gòu)中拉索的參激振動(dòng)，致使結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)顯著增大，甚至出現(xiàn)動(dòng)力失穩(wěn)；另一方面，拉索因其大幅度參激振動(dòng)，反過來引起巨型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性和受力性能發(fā)生改變，對(duì)整體結(jié)構(gòu)不利.所以抗震設(shè)計(jì)中需要考慮參激振動(dòng)的影響，以確保結(jié)構(gòu)在地震作用下的安全性.簡(jiǎn)諧荷載可以視為各種動(dòng)力荷載的基本成分，而地震作用可以分解為不同頻率、振幅、相位的簡(jiǎn)諧荷載的疊加，因此先對(duì)結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析，進(jìn)而再研究結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力響應(yīng).

圖2 墨西哥地震波Fig.2 Mexico earthquake wave

1.2 算例分析

以往對(duì)拉索參激振動(dòng)的研究，多采用解析的方法對(duì)參激振動(dòng)方程進(jìn)行求解，而本文將探索拉索預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載下的參激振動(dòng)現(xiàn)象，作為高次超靜定結(jié)構(gòu)，建立解析模型的可行性較小，因此，本文采用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)的參激振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值分析.對(duì)一水平拉索（如圖3（a）所示），考慮重力作用，分析在右端施加水平向位移激勵(lì)時(shí)索跨中豎向振動(dòng)特性.拉索長l=50 m、彈性模量E=180 GPa、泊松比ν=0.3、阻尼比0.001、預(yù)拉力F=300 kN、截面面積A=1 256 mm2、密度ρ=7 850 kg/m3、屈服強(qiáng)度fy=1 330 MPa.拉索的模態(tài)分析結(jié)果顯示其1 階自振頻率f1為1.745 Hz，2 階自振頻率f2為3.490 Hz，再在端部施加位移激勵(lì)Ux（t）=U0sin（2πft），取激勵(lì)幅值U0=0.02 m，激勵(lì)頻率f=3.490 Hz，為拉索1 階頻率的2 倍，時(shí)間步長Δt=0.01 s，共計(jì)40 s.計(jì)算從結(jié)構(gòu)的靜力平衡狀態(tài)開始，振動(dòng)的初始位置不在原點(diǎn)，將各個(gè)節(jié)點(diǎn)初始位移值設(shè)為零，同時(shí)以索振動(dòng)出現(xiàn)大幅度“拍”振現(xiàn)象為索發(fā)生參激振動(dòng)的充分條件.采用4 階龍格-庫塔數(shù)值積分法求解微分方程（3），索跨中豎向位移如圖3（b）所示，再采用有限元法通過ANSYS 求解，用Link180 單元模擬拉索，將索劃分為50 個(gè)等長單元，約束平面外自由度，拉索跨中豎向位移時(shí)程曲線如圖3（c）所示.

圖3（b）（c）顯示拉索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)跨中豎向位移時(shí)程均出現(xiàn)5 個(gè)明顯的“拍”現(xiàn)象，MATLAB 解析解與ANSYS 數(shù)值解振動(dòng)峰值分別為0.75 m、0.72 m，誤差為4.0%，兩者計(jì)算結(jié)果基本吻合，說明ANSYS 數(shù)值解的正確性與可靠性.

圖3 算例驗(yàn)證Fig.3 Example verification

2 結(jié)構(gòu)基本動(dòng)力特性分析

2.1 結(jié)構(gòu)分析模型

研究[1]表明，主結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下，其失穩(wěn)形態(tài)為主體在平面內(nèi)發(fā)生豎向位移變形，桁架拱跨中向下凹，兩端向上略凸，平面外未出現(xiàn)失穩(wěn)情況，基于結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)，在拱跨中內(nèi)側(cè)和外側(cè)布置拉索，使拉索與拱相交的位置大致處于拱屈曲反彎點(diǎn)上，在拉索與拱之間布置撐桿，結(jié)構(gòu)形式如圖4（a）所示.采用ANSYS 有限元軟件進(jìn)行分析，桁架桿、撐桿及預(yù)應(yīng)力拉索均采用Link180 單元，各單元之間假定為鉸接，采用初始應(yīng)變法對(duì)拉索施加預(yù)拉力，結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞利阻尼，阻尼比取0.02.桁架拱跨度為120 m，桁架梁高度為3 m，撐桿長8 m，矢跨比為1/6，上弦網(wǎng)格數(shù)為6.上下弦桿截面尺寸為Φ245×14，腹桿選用Φ152×10，拉索截面為Φ40，撐桿為Φ219×10.鋼材采用Q235B，屈服強(qiáng)度為235 MPa，彈性模量E=210 GPa，采用雙線性等向強(qiáng)化模型（BISO 模型）.拱內(nèi)側(cè)拉索、外側(cè)拉索預(yù)拉力分別為300 kN、200 kN，拉索阻尼比0.001，彈性模量E=180 GPa，屈服強(qiáng)度1 330 MPa.上弦所有節(jié)點(diǎn)承受15 kN 豎向集中荷載.桁架拱兩端采用下弦固定鉸支的支撐形式.為簡(jiǎn)化分析，選取預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的一榀折線型立體桁架拱（Ⅰ-Ⅰ）進(jìn)行分析，如圖4（b）所示，約束節(jié)點(diǎn)平面外自由度，分析時(shí)考慮幾何非線性.

圖4 折線型立體桁架拱Fig.4 Folded line type 3D-trussed arch

2.2 基本動(dòng)力特性分析

首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，再對(duì)拉索單獨(dú)進(jìn)行動(dòng)力特性分析.表1 列出了結(jié)構(gòu)的自振頻率及特征，圖5 為結(jié)構(gòu)與拉索頻率的對(duì)比.由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，只列出了1～5 號(hào)拉索的前2 階自振頻率與整體結(jié)構(gòu)的前10 階自振頻率，可以看出整體結(jié)構(gòu)的2 階頻率（1.852 Hz）與最長的跨中內(nèi)側(cè)1 號(hào)拉索的1 階頻率（1.840 8 Hz）基本相等，結(jié)構(gòu)的4 階頻率（3.348 Hz）與1 號(hào)索的2 階頻率（3.684 Hz）相近.根據(jù)頻率匹配原則，可以判斷跨中內(nèi)側(cè)拉索1 發(fā)生參激振動(dòng)的可能性最大.

表1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性Tab.1 Structural dynamic characteristics

圖5 拉索前2 階自振頻率與全結(jié)構(gòu)前10 階自振頻率對(duì)比Fig.5 Comparisons between the first two orders natural frequency of cable and the first ten order natural frequency of the structure

3 簡(jiǎn)諧荷載作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析

為研究結(jié)構(gòu)中拉索發(fā)生參激振動(dòng)的條件與誘發(fā)機(jī)制，對(duì)結(jié)構(gòu)施加簡(jiǎn)諧加速度A sin Ωt，其中A 為加速度幅值，Ω 為外激勵(lì)頻率.由2.2 節(jié)計(jì)算得到跨中內(nèi)側(cè)拉索1 前2 階頻率分別為1.840 8 Hz、3.684 1 Hz.拉索1 階圓頻率ω=2π×1.840 8 rad/s.采用完全法瞬態(tài)分析，分別取激勵(lì)頻率比Ω/ω 為0.3～3.0，加速度峰值A(chǔ) 取為200 cm/s2，時(shí)間步長取0.01 s，計(jì)算時(shí)間為25 s.結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)及單元如圖6 所示，以索出現(xiàn)大幅度“拍”振現(xiàn)象為索發(fā)生參激振動(dòng)的充分條件.

圖6 結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和單元Fig.6 Key nodes and elements of structure

3.1 豎向激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

3.1.1 不同頻率比拉索關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)振動(dòng)特性

對(duì)結(jié)構(gòu)施加豎向簡(jiǎn)諧加速度，圖7 為拱內(nèi)側(cè)1號(hào)拉索跨中15 號(hào)節(jié)點(diǎn)，拱外側(cè)4 號(hào)拉索跨中12 號(hào)節(jié)點(diǎn)豎向時(shí)程曲線最大值的頻率響應(yīng)曲線.可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率比為0.9～1.2 時(shí)，外激勵(lì)頻率接近結(jié)構(gòu)2 階頻率（1.85 Hz），12 號(hào)節(jié)點(diǎn)最大位移達(dá)到0.79 m；當(dāng)外激勵(lì)頻率比為1.9～2.09 時(shí)，跨中內(nèi)側(cè)索振幅急劇增大，拉索發(fā)生參激振動(dòng)，頻率比為2.05 時(shí)1 號(hào)索振幅達(dá)到最大值0.57 m，而未發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)的最小振幅只有0.009 m，振幅增加約63 倍；當(dāng)激勵(lì)頻率比在其他范圍時(shí)，由于結(jié)構(gòu)未發(fā)生共振及參激振動(dòng)，1 號(hào)拉索的響應(yīng)均很小.4 號(hào)拉索其1 階頻率為4.35 Hz，除激勵(lì)頻率比為1 左右時(shí)有較大振幅外，12號(hào)節(jié)點(diǎn)未出現(xiàn)較大振幅.

圖7 拉索節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)曲線Fig.7 Frequency-response curve of the nodes of cable

3.1.2 拉索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)的響應(yīng)特性

深入研究激勵(lì)頻率比為2.05 時(shí)1 號(hào)拉索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)特性.圖8（a）為拉索15 號(hào)節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)時(shí)程曲線，由于拉索阻尼和非線性的影響，在0～6 s 內(nèi)節(jié)點(diǎn)在平衡位置處小幅度振蕩，最大振幅為0.04 m，從7 s 開始振幅迅速增加，14 s 達(dá)到峰值0.57 m，出現(xiàn)一個(gè)“拍”的現(xiàn)象，此后峰值略有減小，從19 s開始穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，振幅基本穩(wěn)定維持在0.48 m 直至25 s 計(jì)算結(jié)束.由振動(dòng)頻譜曲線圖8（b）可知，拉索發(fā)生了相對(duì)幅值較大的1 階振動(dòng).圖8（c）為1 號(hào)索拉力時(shí)程曲線，拉索大幅度振動(dòng)時(shí)引起張拉力發(fā)生改變導(dǎo)致拉索的頻率偏離其原有頻率，索節(jié)點(diǎn)位移最大值出現(xiàn)在激勵(lì)頻率比Ω/ω=2.05 而不是Ω/ω=2.0.圖8（d）為索與撐桿交點(diǎn)13 號(hào)節(jié)點(diǎn)的水平向振動(dòng)頻譜，頻率集中在3.76 Hz，為索1 階頻率的2.04倍，即在豎向外激勵(lì)作用下，易激發(fā)拉索發(fā)生參激振動(dòng).

索-拱耦合振動(dòng)作用表現(xiàn)為一個(gè)能量傳遞的過程，能量通過桁架拱、撐桿傳遞到拉索上，引起跨中內(nèi)側(cè)拉索發(fā)生參激振動(dòng)，當(dāng)拉索阻尼和非線性因素影響越來越大，外激勵(lì)輸入能量，拉索振動(dòng)、恢復(fù)力作負(fù)功耗散能量平衡時(shí)，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)振動(dòng).值得注意的是當(dāng)激勵(lì)頻率比為1 左右時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，如圖9 所示，桿件迅速進(jìn)入塑性導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)下沉，而索跨中節(jié)點(diǎn)先劇烈振動(dòng)，后振動(dòng)幅度減小，由于桁架拱的下沉導(dǎo)致其豎向位移增大.

圖8 參激振動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性Fig.8 Response characteristics of the structure

圖9 結(jié)構(gòu)共振時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性Fig.9 Structure resonance dynamic characteristics

3.1.3 不同頻率比桿件內(nèi)力及拱節(jié)點(diǎn)豎向位移

由于過大的振動(dòng)必然對(duì)結(jié)構(gòu)造成危害，故需要對(duì)結(jié)構(gòu)桿件內(nèi)力及拱節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析.圖6（b）拱x 正向的單元20～32 為正向立體桁架網(wǎng)格交叉部位和各網(wǎng)格中間部位下弦桿件.單元桿件內(nèi)力峰值圖如圖10 所示.由圖10 可知，由于結(jié)構(gòu)自重的影響，靠近支座端部的軸力較大，而靠近跨中的內(nèi)力先大幅減小，然后存在一定程度的增加.當(dāng)激勵(lì)頻率比Ω/ω=1.0 時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，支座端部桿件進(jìn)入塑性，除拱頂桿件軸力略小于其他頻率比下的反應(yīng)以外，其他均為最大；當(dāng)激勵(lì)頻率比Ω/ω=2.05 時(shí)，1 號(hào)拉索發(fā)生參激振動(dòng)，靠近支座端部桿件進(jìn)入塑性，拱頂附近桿件軸力達(dá)到最大值，說明拉索大幅振動(dòng)會(huì)增大相應(yīng)位置處桿件內(nèi)力.

圖10 單元桿件內(nèi)力峰值Fig.10 Peak internal forces of elements

節(jié)點(diǎn)1 至11 為撐桿桁架連接處，索桁架連接處及拱關(guān)鍵位置節(jié)點(diǎn).圖11 顯示節(jié)點(diǎn)豎向位移峰值從支座端部向跨中逐漸增大，到達(dá)拱頂時(shí)達(dá)到最大，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí)，拱頂6 號(hào)節(jié)點(diǎn)達(dá)到0.63 m 時(shí)，為便于對(duì)比未列出；索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)，索拱連接處與索撐桿連接處豎向位移均大于其他頻率下的響應(yīng)，但拱頂節(jié)點(diǎn)6 未出現(xiàn)大幅振動(dòng)，其原因是索的劇烈振動(dòng)主要是影響靠近索端部的桁架拱.

以上現(xiàn)象說明外激勵(lì)頻率對(duì)結(jié)構(gòu)存在影響，一旦激起結(jié)構(gòu)共振或拉索的參激振動(dòng)，均會(huì)增大相應(yīng)桿件內(nèi)力及節(jié)點(diǎn)位移，對(duì)結(jié)構(gòu)造成不利影響.

圖11 關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)豎向位移Fig.11 Key nodes vertical displacement

3.2 水平向激勵(lì)和雙向激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)

僅對(duì)結(jié)構(gòu)施加水平向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，如圖12（a）所示，當(dāng)激勵(lì)頻率比為Ω/ω=0.5 時(shí)，外激勵(lì)頻率0.920 4 Hz 與結(jié)構(gòu)1 階頻率0.83 Hz 相近，誘發(fā)結(jié)構(gòu)共振，最終導(dǎo)致失效破壞，其他頻率比下各單元內(nèi)力相差不大.從拉索1 振幅及各關(guān)鍵點(diǎn)位移圖12（b）和圖12（c）可以看出，除結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí)豎向位移較大以外，其余頻率比下各關(guān)鍵點(diǎn)位移均很小，水平向簡(jiǎn)諧激勵(lì)未能誘發(fā)拉索發(fā)生參激振動(dòng).

圖12 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)Fig.12 Dynamic response of the structure

同時(shí)施加水平向和豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)頻率比Ω/ω 為2.05，索15 號(hào)節(jié)點(diǎn)振幅如圖12（d）所示，豎向位移略小于僅施加豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)，即水平向激勵(lì)對(duì)索發(fā)生參激振動(dòng)有抑制作用.對(duì)預(yù)應(yīng)力拱，豎向激勵(lì)的影響遠(yuǎn)大于水平向的激勵(lì)，這是由于結(jié)構(gòu)豎向剛度較弱導(dǎo)致的.

3.3 參數(shù)分析

3.3.1 預(yù)拉力的影響

考慮內(nèi)側(cè)拉索預(yù)拉力分別為100、200、300、400、500 kN，施加豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)頻率為拉索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)的3.77 Hz，其余參數(shù)均相同.不同預(yù)拉力下1 號(hào)拉索15 號(hào)節(jié)點(diǎn)振幅最大值如表2 所示.

表2 不同預(yù)拉力下15 號(hào)節(jié)點(diǎn)振幅最大值Tab.2 Maximum amplitude of node 15 under different prestress

預(yù)拉力對(duì)拉索振動(dòng)有很大影響，除了預(yù)拉力為300 kN 時(shí)，拉索發(fā)生參激振動(dòng)豎向位移達(dá)到0.509 m以外，其余均是隨著預(yù)拉力的增加而減小，其原因是預(yù)拉力改變了拉索的固有頻率，而適當(dāng)提高拉索的預(yù)拉力，有利于減小拉索在動(dòng)荷載下的振動(dòng)幅度.

3.3.2 外激勵(lì)幅值的影響

對(duì)結(jié)構(gòu)施加豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，激勵(lì)頻率為3.77 Hz，激勵(lì)幅值分別為50、100、150、200、250 cm/s2，1號(hào)拉索15 號(hào)節(jié)點(diǎn)最大振幅值如表3 所示.

表3 不同激勵(lì)幅值下15 號(hào)節(jié)點(diǎn)振幅最大值Tab.3 Maximum amplitude of node 15 under different excitation amplitude

節(jié)點(diǎn)豎向位移隨激勵(lì)幅值的增加而先增加，后稍有降低.即使外激勵(lì)頻率滿足拉索發(fā)生參激振動(dòng)的頻率條件，也只有激勵(lì)幅值達(dá)到一定程度時(shí)，才會(huì)引起結(jié)構(gòu)拉索的參激振動(dòng).

4 地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析

第3 節(jié)的研究結(jié)果顯示，結(jié)構(gòu)的拉索在特定頻率下會(huì)發(fā)生參激振動(dòng)，本節(jié)研究結(jié)構(gòu)在地震作用下發(fā)生參激振動(dòng)的可能性.

4.1 地震波輸入

計(jì)算模型同第3 節(jié)，選用抗震設(shè)防烈度為8 度（0.2 g），罕遇地震，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為2 組，特征周期值為0.45 s，10 條中硬場(chǎng)地天然地震波，以及采用三角級(jí)數(shù)法，控制頻率范圍及增量，擬合規(guī)范反應(yīng)譜的頻率較為集中的2 條人工波作為地震波輸入，所選的地震波列于表4，反應(yīng)譜如圖13 所示，8度罕遇地震，將加速度峰值調(diào)整為400 cm/s2，僅考慮豎向地震波作用.

表4 選用地震波列表Tab.4 List of seismic wave records

圖13 地震動(dòng)加速度反應(yīng)譜Fig.13 Acceleration spectra of ground motions

4.2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

1 號(hào)拉索、桁架拱各節(jié)點(diǎn)位移峰值分別如圖14（a）和14（b）所示.索各關(guān)鍵點(diǎn)豎向位移均從端部向跨中逐漸增大；拱桁架節(jié)點(diǎn)豎向位移從兩端向跨中先逐漸增加，在撐桿桁架交接處之后稍有降低，而后豎向位移繼續(xù)增大，在跨中處達(dá)到最大值.在6 號(hào)地震波作用下，拱頂節(jié)點(diǎn)6、索跨中節(jié)點(diǎn)15 豎向位移均最大，圖14（c）顯示6 號(hào)地震動(dòng)傅里葉譜在1.86 Hz左右的頻率分量最為豐富，與結(jié)構(gòu)2 階豎向振動(dòng)頻率基本一致，且與1 號(hào)拉索1 階頻率相近，易與結(jié)構(gòu)產(chǎn)生“類共振”，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)響應(yīng)最為強(qiáng)烈.圖14（d）為桁架各單元軸力，桿件軸力較為相近，人工波1 作用下桁架拱靠近跨中處桿件內(nèi)力最大.

人工波1、2 Fourier 譜如圖15（a）所示，人工波1卓越頻率為3.83 Hz，為1 號(hào)拉索1 階頻率的2.08倍；拉索15 號(hào)節(jié)點(diǎn)豎向位移時(shí)程曲線如圖15（b）所示，由圖15（b）可知，未出現(xiàn)圖8（a）拉索發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)的劇烈振動(dòng)，其原因是地震波頻率較為分散地分布在3.64～3.98 Hz 內(nèi)，且激勵(lì)幅值不斷變化；人工波2 卓越頻率為5.66 Hz，為1 號(hào)拉索頻率的3.09倍，遠(yuǎn)離索的1、2 階頻率，未能激起拉索的參激振動(dòng)，桁架、索節(jié)點(diǎn)豎向位移均最小.值得注意的是，激勵(lì)頻率靠近參激振動(dòng)頻率范圍時(shí)較遠(yuǎn)離其頻率范圍時(shí)拉索有相對(duì)較大響應(yīng)，即在特定條件下，拉索具有發(fā)生參激振動(dòng)的可能性.

圖14 結(jié)構(gòu)響應(yīng)及地震動(dòng)Fourier 譜Fig.14 Response of structure and Fourier spectrum

圖15 人工波Fourier 譜及結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.15 Fourier spectrum of artificial waves and response of the structure

5 結(jié)論

對(duì)預(yù)應(yīng)力折線型立體桁架拱在簡(jiǎn)諧荷載和地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)作了詳細(xì)分析，得到以下結(jié)論：

1）拉索的大幅度非線性振動(dòng)與折線型立體桁架拱是相關(guān)聯(lián)的，拉索發(fā)生參激振動(dòng)的可能性及振動(dòng)特性有必要從加速度的角度在全結(jié)構(gòu)中進(jìn)行考慮.

2）無論是水平向還是豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)，結(jié)構(gòu)均存在明顯共振現(xiàn)象.豎向外激勵(lì)頻率約為結(jié)構(gòu)中某拉索1 階頻率的2 倍時(shí)，易誘發(fā)拉索發(fā)生參激振動(dòng)，拉索振幅較未發(fā)生參激振動(dòng)時(shí)增加約63 倍，桿件內(nèi)力及桁架拱位移均有部分增加.

3）適當(dāng)提高預(yù)拉力能減小拉索振動(dòng)，激勵(lì)頻率和幅值均滿足一定條件，才能激起拉索的參激振動(dòng).

4）地震波激勵(lì)幅值和頻率的不斷變化會(huì)減小結(jié)構(gòu)中拉索發(fā)生參激振動(dòng)的可能性，但由于集中頻率地震波的存在性，拉索預(yù)應(yīng)力巨型網(wǎng)格結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)需要考慮參激振動(dòng)的影響.