計(jì)算思維對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的啟示①

劉 錦 曹一鳴

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

1 引言

計(jì)算思維作為人工智能的基礎(chǔ)思維，對(duì)于未來社會(huì)的發(fā)展具有重要意義和價(jià)值.隨著互聯(lián)網(wǎng)+、大數(shù)據(jù)、人工智能等新興信息技術(shù)發(fā)展，計(jì)算思維受到國(guó)內(nèi)外廣泛關(guān)注.計(jì)算思維在數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)推理等方面具有重要價(jià)值.初中階段與計(jì)算思維相關(guān)的概念主要與運(yùn)算能力相關(guān)，要求學(xué)生“根據(jù)法則和運(yùn)算律正確的進(jìn)行運(yùn)算，理解運(yùn)算算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題”[1]；高中階段涉及“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)，要求學(xué)生“理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等”[2].計(jì)算思維在計(jì)算科學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用，關(guān)于計(jì)算思維的教育主要集中在高等教育，K12階段也有所涉及.具體到學(xué)科方面，國(guó)外對(duì)計(jì)算思維在數(shù)學(xué)、科學(xué)學(xué)科已經(jīng)進(jìn)行了一些探索，國(guó)內(nèi)的研究主要集中在信息技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)研究較少.

OECD開展的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目(PISA)以其前瞻性、先進(jìn)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和建設(shè)性被國(guó)際社會(huì)大多數(shù)國(guó)家和地區(qū)認(rèn)可并參與，成為國(guó)際上最具影響力的學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目之一[3].PISA 2021以數(shù)學(xué)為主要測(cè)評(píng)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義、內(nèi)涵以及測(cè)評(píng)內(nèi)容方面均做出了重大調(diào)整[4].其中最明顯的變化是首次引入計(jì)算思維，并將其和數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)推理一起納入21世紀(jì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分[5].未來社會(huì)的問題解決與計(jì)算機(jī)編程、算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)科學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)密不可分，均以計(jì)算思維為重要基礎(chǔ)[6].計(jì)算思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)，如何從數(shù)學(xué)的角度理解計(jì)算思維？本文結(jié)合PISA 2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架，解讀數(shù)學(xué)中的計(jì)算思維，在此基礎(chǔ)上討論對(duì)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的啟示.

2 數(shù)學(xué)中的計(jì)算思維

計(jì)算思維在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用，結(jié)合PISA 2021測(cè)評(píng)，分別從計(jì)算思維的內(nèi)涵、計(jì)算思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W習(xí)中的價(jià)值以及計(jì)算思維在數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)中的體現(xiàn)三個(gè)方面解讀數(shù)學(xué)中的計(jì)算思維.

2.1 計(jì)算思維的內(nèi)涵

計(jì)算思維作為計(jì)算機(jī)科學(xué)家的思考方式引入并被視為一種思維過程[7]，在制定問題和設(shè)計(jì)解決方案時(shí)，需要計(jì)算機(jī)、人或兩者的結(jié)合來執(zhí)行.由于技術(shù)在學(xué)生生活中發(fā)揮越來越大的作用，PISA 2021認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)包括數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維之間的協(xié)同和互動(dòng)關(guān)系.數(shù)學(xué)中計(jì)算思維的內(nèi)涵主要體現(xiàn)在：

(1)數(shù)學(xué)中計(jì)算思維的本質(zhì)

數(shù)學(xué)中計(jì)算思維的本質(zhì)被概念化為定義和闡述可通過編程表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)，允許學(xué)生動(dòng)態(tài)地建模數(shù)學(xué)概念和關(guān)系.針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的計(jì)算思維實(shí)踐包括數(shù)據(jù)實(shí)踐、建模和仿真實(shí)踐、計(jì)算問題解決實(shí)踐和系統(tǒng)思維實(shí)踐.

(2)數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的計(jì)算思維技能

數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的計(jì)算思維技能包括模式識(shí)別、分解、確定可以使用哪些(如果有)計(jì)算工具來分析或解決問題，以及將算法定義為詳細(xì)解決方案的一部分.學(xué)生應(yīng)該擁有并能夠展示計(jì)算思維技能，并將其作為問題解決實(shí)踐的一部分.

(3)計(jì)算思維在數(shù)學(xué)中的作用

計(jì)算思維在數(shù)學(xué)中的作用包括特定數(shù)學(xué)主題如何與特定計(jì)算主題相互作用，以及數(shù)學(xué)推理如何補(bǔ)充計(jì)算思維等.數(shù)學(xué)教育不但在工具使用和支持學(xué)生探索強(qiáng)大學(xué)科思想的潛在方式方面不斷發(fā)展，而且可以通過精熟使用計(jì)算思維工具和技能單元?jiǎng)?chuàng)造有效的學(xué)習(xí)條件從而深化數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí).計(jì)算思維工具為學(xué)生提供了一個(gè)情境，在這個(gè)情境中，學(xué)生可以具體化抽象結(jié)構(gòu)(通過動(dòng)態(tài)方式探索和參與數(shù)學(xué)概念)，也可以用新的方式表達(dá)想法，并通過媒體和新的表征工具與概念互動(dòng).

數(shù)學(xué)與計(jì)算思維的結(jié)合，不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域概念理解的發(fā)展，也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維概念和技能的關(guān)鍵.讓學(xué)生更加真實(shí)地了解如何在現(xiàn)實(shí)世界中使用數(shù)學(xué)，進(jìn)而為他們?cè)谙嚓P(guān)領(lǐng)域的職業(yè)生涯做好更加充分的準(zhǔn)備.

2.2 計(jì)算思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W習(xí)中的價(jià)值

計(jì)算思維是數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W習(xí)的重要基礎(chǔ).結(jié)合PISA 2021框架界定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域(數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)情境)，計(jì)算思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)W習(xí)中的價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)問題解決以及特定數(shù)學(xué)內(nèi)容等方面.

明年的展會(huì)，將匯集全球最先進(jìn)的印刷機(jī)制造技術(shù)、數(shù)字印刷技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、智能制造技術(shù)及各種新材料、新工藝。絕大多數(shù)一線品牌的廠商都將帶著新產(chǎn)品參展，屆時(shí)會(huì)出現(xiàn)一批全球首發(fā)、亞州首發(fā)、中國(guó)首發(fā)的新產(chǎn)品、新材料亮相展會(huì)，也會(huì)出現(xiàn)新的商業(yè)模式和商業(yè)機(jī)會(huì)。因此，中國(guó)印刷及設(shè)備器材工業(yè)協(xié)會(huì)舉辦的世界印刷大展，代表了當(dāng)代全球印刷技術(shù)的頂尖水平，是全球印刷技術(shù)發(fā)展的風(fēng)向標(biāo)和晴雨表，吸引了全球的印刷用戶前來參觀、選購(gòu)。

(1)計(jì)算思維有助于理解數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)推理(包括演繹推理和歸納推理)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，由一些關(guān)鍵理解支持，這些理解是學(xué)校數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).其中“欣賞抽象和符號(hào)表示的力量”這一關(guān)鍵理解中涉及計(jì)算思維.數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)在于它是一個(gè)自包含的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)對(duì)象從該系統(tǒng)中獲得其意義.抽象涉及有意地和有選擇地關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象之間的結(jié)構(gòu)相似性，并基于這些相似性構(gòu)建對(duì)象之間的關(guān)系.在學(xué)校數(shù)學(xué)中，抽象形成了具體對(duì)象、符號(hào)表示和運(yùn)算(包括算法和心智模型)之間的關(guān)系.這種能力在使用計(jì)算設(shè)備時(shí)也起著作用.在重要的計(jì)算思維技能中，在技術(shù)環(huán)境中處理抽象概念時(shí)，能夠創(chuàng)造、操縱和提取意義.

(2)計(jì)算思維豐富學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決手段和工具

數(shù)學(xué)問題解決過程包括表述、應(yīng)用和詮釋.“表述”是指學(xué)生能夠有效地識(shí)別在問題情境中使用數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，然后提供必要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以數(shù)學(xué)形式公式化情境問題；“應(yīng)用”是指學(xué)生能夠很好地進(jìn)行計(jì)算和操作，并將他們所知道的概念和事實(shí)應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題的解決方案中.“詮釋”涉及學(xué)生如何有效地反思數(shù)學(xué)解決方案或結(jié)論，在現(xiàn)實(shí)問題的背景下解釋它們并確定結(jié)果或結(jié)論是否合理或有用.在數(shù)學(xué)問題解決過程中鼓勵(lì)學(xué)生通過計(jì)算思維工具和實(shí)踐體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題解決過程，鼓勵(lì)學(xué)生練習(xí)預(yù)測(cè)、反思和調(diào)試技能.比如在“詮釋”過程中，計(jì)算思維的價(jià)值包括使用數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維進(jìn)行預(yù)測(cè)，為論證提供證據(jù)，測(cè)試和比較提出的解決方案.計(jì)算思維為學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決提供了豐富的手段和工具，可以有效激發(fā)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的積極性[8].

(3)計(jì)算思維促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)容深度學(xué)習(xí)

對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解以及將這些內(nèi)容應(yīng)用于解決有意義的情境化問題的能力非常重要.數(shù)學(xué)內(nèi)容包括變化與關(guān)系、空間與圖形、數(shù)量、不確定性與數(shù)據(jù)四個(gè)方面.以數(shù)學(xué)內(nèi)容“變化與關(guān)系”為例介紹計(jì)算思維的價(jià)值.在生物生長(zhǎng)、音樂、季節(jié)變化和周期、天氣模式、就業(yè)水平和經(jīng)濟(jì)條件等多種環(huán)境中，變化和關(guān)系是顯而易見的.函數(shù)和代數(shù)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容包括代數(shù)表達(dá)式、方程和不等式、表格和圖形表示，是描述、建模和解釋變化現(xiàn)象的核心.計(jì)算工具提供了一種將變化和關(guān)系可視化并與之交互的方法.識(shí)別計(jì)算設(shè)備如何以及何時(shí)能夠增強(qiáng)和補(bǔ)充數(shù)學(xué)概念是一項(xiàng)重要的計(jì)算思維技能.

2.3 計(jì)算思維在數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)中的體現(xiàn)

背景調(diào)查是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)評(píng)價(jià)的起點(diǎn).為了更好對(duì)教育系統(tǒng)做出評(píng)估，自第一輪PISA以來均設(shè)置學(xué)生和學(xué)校背景調(diào)查問卷.通過調(diào)查問卷可以提供背景，解釋教育系統(tǒng)內(nèi)部和之間的PISA結(jié)果；也可以為其他教育指標(biāo)提供可靠和有效的測(cè)量，這些指標(biāo)本身可以為政策和研究提供信息.PISA 2021數(shù)學(xué)框架中背景調(diào)查問卷包括四個(gè)維度：數(shù)學(xué)推理、計(jì)算思維和技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用、四個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容領(lǐng)域以及數(shù)學(xué)背景下的21世紀(jì)技能.分別從以下幾個(gè)方面對(duì)第二個(gè)維度“計(jì)算思維和技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用”進(jìn)行介紹：

(1)學(xué)生對(duì)計(jì)算思維的體驗(yàn)

(2)關(guān)鍵問題

PISA 2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)框架提請(qǐng)人們注意，技術(shù)正在以不同的方式改變世界，也在改變從事數(shù)學(xué)的意義.背景調(diào)查問卷的關(guān)鍵問題包括：首先，深入了解學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)實(shí)踐是如何變化的；其次，在技術(shù)對(duì)學(xué)生如何參與數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)人工制品等帶來影響的前提下，了解數(shù)學(xué)課堂教學(xué)法是如何演變的.對(duì)于學(xué)生來說，更好地理解技術(shù)如何影響學(xué)生的表現(xiàn)是很有意義的，可以在問卷框架的任務(wù)表現(xiàn)模塊中進(jìn)行探討；教學(xué)問題可以在學(xué)習(xí)時(shí)間、課程和教學(xué)實(shí)踐模塊中探討.

(3)評(píng)價(jià)內(nèi)容示例

注重計(jì)算思維和技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)踐和教學(xué)中的作用對(duì)背景調(diào)查問卷有影響，背景調(diào)查問卷應(yīng)提供措施，以便更好地了解學(xué)生在這方面的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).尤其是問卷應(yīng)確定學(xué)生的頻率，例如：

?設(shè)計(jì)或使用計(jì)算機(jī)模擬和/或計(jì)算機(jī)模型；

?數(shù)學(xué)課堂內(nèi)外的代碼或程序；和

?接觸計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)系統(tǒng)(CSM)(包括動(dòng)態(tài)幾何軟件)；電子表格；編程軟件(如Logo和Scratch)；圖形計(jì)算器；游戲等).

3 對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的啟示

信息技術(shù)變革對(duì)學(xué)生未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出更高的要求，計(jì)算思維將發(fā)揮重要的作用.下面分別從數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)三個(gè)方面闡述計(jì)算思維帶來的啟示.

3.1 豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的理解

隨著新興信息技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生生活的世界發(fā)生了巨大的變化，數(shù)學(xué)素養(yǎng)被賦予了新的內(nèi)涵.PISA 2021測(cè)評(píng)框架指出21世紀(jì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)問題解決和計(jì)算思維.計(jì)算思維成為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的組成部分.關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出十個(gè)關(guān)鍵詞，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出六大學(xué)科核心素養(yǎng).二者雖然均強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生很大的影響，但并未明確提出計(jì)算思維.因此，在當(dāng)前義務(wù)教育改革深化的背景下，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)將計(jì)算思維納入數(shù)學(xué)素養(yǎng)之中.與此同時(shí)，義務(wù)教育可以借鑒PISA 2021 數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架，從計(jì)算思維視角對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延進(jìn)行明確界定，從而促進(jìn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革.

3.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合

計(jì)算思維有利于學(xué)生開展數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)問題解決，在特定數(shù)學(xué)內(nèi)容上提供了行之有效的解決方案.但并不是所有的課程內(nèi)容都適合與計(jì)算思維整合，要結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和計(jì)算思維的特性合理安排.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 2011 年版)》明確指出，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)著社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展；積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，合理地應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學(xué)方式，提高課堂教學(xué)的效益[1]，但并未明確計(jì)算思維如何與課程內(nèi)容整合.修訂數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可以以計(jì)算思維為導(dǎo)向，進(jìn)行深度改革與實(shí)踐，全面更新、重構(gòu)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，通過實(shí)踐、總結(jié)再到實(shí)踐，最終構(gòu)建出真正融合計(jì)算思維的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，使得數(shù)學(xué)課程內(nèi)容更加與時(shí)俱進(jìn).

3.3 拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的維度

已有的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)問題解決評(píng)價(jià)等，未將計(jì)算思維的考察納入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)當(dāng)中.PISA 2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)背景調(diào)查問卷中納入計(jì)算思維，拓展了數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)維度.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)應(yīng)當(dāng)兼顧計(jì)算思維，理想的方式是讓學(xué)生通過計(jì)算工具進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)作，作品可以是模擬某個(gè)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型、經(jīng)過數(shù)據(jù)挖掘而得到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)等.這樣既能體現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，又能展現(xiàn)學(xué)生計(jì)算思維與實(shí)踐的能力.通過引入計(jì)算思維的評(píng)價(jià)擴(kuò)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)維度，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的目的.

4 結(jié)語

未來社會(huì)中學(xué)生需要在復(fù)雜情境中創(chuàng)造性地做出非常規(guī)的決策，計(jì)算思維將與數(shù)學(xué)推理、問題解決等共同發(fā)揮關(guān)鍵作用.本文以PISA 2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)為例，從數(shù)學(xué)的角度解讀計(jì)算思維,在此基礎(chǔ)上探討了對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革帶來的啟示.數(shù)學(xué)中計(jì)算思維的引入，對(duì)我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展提供了良好的借鑒，促進(jìn)深化數(shù)學(xué)課程改革，從而進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育走向現(xiàn)代化.