利用數(shù)學(xué)模型解決金融學(xué)問題

張梓杰 江蘇省蘇州市昆山震川高級中學(xué)

一、引言

數(shù)學(xué)是一切理科的基礎(chǔ)，是一門十分重要的基礎(chǔ)學(xué)科。數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，也推動了其他學(xué)科的發(fā)展。以物理學(xué)為例，利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識，我們可以研究物理變量的變化趨勢，探索自由落體的規(guī)律，研究電磁相互作用等。利用數(shù)學(xué)知識，我們還可以進(jìn)行金融分析；利用函數(shù)，我們可以精確地描繪出各種金融量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)，我們可以研究金融變量隨初始投入或時間推移的變化趨勢。所以，運用數(shù)學(xué)模型解決金融與經(jīng)濟問題，可以更準(zhǔn)確地研究金融與經(jīng)濟規(guī)律，促進(jìn)金融產(chǎn)業(yè)的健康穩(wěn)定發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，通過數(shù)學(xué)模型的建立，可以為我們較為精確、客觀地描述生產(chǎn)生活中的問題。研究生產(chǎn)生活中的變量之間的關(guān)系，并用具有數(shù)學(xué)含義的公式描述這種關(guān)系，就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。在對數(shù)學(xué)模型求解的過程中，我們可以得到解決實際問題的方法。在遇到十分復(fù)雜的問題或者在解決不可量化的問題時，我們可能需要對問題的產(chǎn)生原因進(jìn)行深入的分析，確定不同變量之間的關(guān)系，將不可量化的影響因素轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型中的參數(shù)，從而將復(fù)雜的問題簡單化、直觀地將問題表達(dá)出來。在利用數(shù)學(xué)模型求解的過程中，應(yīng)當(dāng)注意到現(xiàn)實問題的約束條件。比如，商品的產(chǎn)量和售價不可以是負(fù)數(shù)；在投資回報率為負(fù)數(shù)時，投資策略是不可行的[1]。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以高效地解決許多領(lǐng)域中的復(fù)雜問題。因此，數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。

三、數(shù)學(xué)模型在金融學(xué)中的實踐應(yīng)用

金融是一門快速發(fā)展的學(xué)科，在企業(yè)的存貸管理、投資決策、市場分析、戰(zhàn)略制定中有著十分廣泛的應(yīng)用。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以精確地分析在實踐中遇到的金融學(xué)問題，幫助企業(yè)的經(jīng)營者及管理者更好地解決遇到的存貸問題、投資管理問題，更高效地分析市場需求及對手戰(zhàn)略，促進(jìn)企業(yè)的發(fā)展。

（一）利用數(shù)學(xué)模型解決存貸問題

在解決存貸問題的過程中，我們需要用到指數(shù)函數(shù)的知識。實際上，指數(shù)函數(shù)在生物學(xué)、公共衛(wèi)生、社會學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域，都有著十分廣泛的應(yīng)用。在對生物的繁殖規(guī)律、細(xì)胞的生長分裂以及一些正反饋的研究中，我們都要用到指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的一個重要特點是，它的變化快慢與原函數(shù)始終成正比。在描述生活中的類似現(xiàn)象時，都會用到指數(shù)函數(shù)。實際上，在金融投資中，尤其是分析存貸的過程中，指數(shù)函數(shù)發(fā)揮了極其重要的作用。在銀行計算連續(xù)存款的利息時，我們需要用到指數(shù)函數(shù)。假設(shè)一個人有金額為A的閑置資金，想要存入銀行，有兩種存款方式可以選擇。第一種存款方式為，定期1年，年利率10%，如果到期后繼續(xù)買入，則以復(fù)利的方式計算利息。第二種存款方式為，定期8年，年利率12%，以單利的方式計算利息。在比較兩種存款方式的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果按照第一種方式存款，存款期限為n年，則n年后的本息和為T1(n)=A＊(1+10%)^n，如果按照第二種方式存款，則8年后的本息和為T2(n)=A＊(1+8＊12%)＊n，如果這個人打算將這筆存款存入銀行8年時間，即n=8，按照第一種存款方式，T1(8)=2.14A；按照第二種存款方式，T2(8)=1.96A?？梢园l(fā)現(xiàn)，雖然第一種存款方式復(fù)利的利率較低，但是由于隨著自變量的增加，指數(shù)函數(shù)的增幅逐漸變大，8年后，第一種存款復(fù)利的本息和較高。在存貸計算中，指數(shù)函數(shù)發(fā)揮著十分重要的作用。當(dāng)存款年限較長時，復(fù)利帶來的收益是十分驚人的[2]。

（二）利用數(shù)學(xué)模型解決邊際分析問題

在邊際分析中，導(dǎo)數(shù)有著非常廣泛的應(yīng)用。如果我們知道生產(chǎn)總成本與生產(chǎn)量的關(guān)系，就可以通過求生產(chǎn)成本對生產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，得到每個產(chǎn)品的邊際成本，這就是邊際成本的求解；如果我們知道銷售總收益與銷售量的關(guān)系，就可以通過求銷售總收益對銷售量的導(dǎo)數(shù)，得到每個產(chǎn)品的邊際收益，這就是邊際收益的求解。在進(jìn)行投資決策時，邊際分析也是十分重要的。如果我們已經(jīng)知道某個項目的投資收益與投資量之間的關(guān)系，就可以通過求投資收益對投資量的導(dǎo)數(shù)，從而得出單位投資增量帶來的單位收益增量，分析投資的邊際收益。邊際收益的增長速度有三種情況。當(dāng)邊際收益遞增時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變大，此時，投資者應(yīng)在確保風(fēng)險可控的情況下，適當(dāng)增加投資，從而提升資金回報率。當(dāng)邊際收益不變時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量保持不變，此時，投資者不應(yīng)當(dāng)盲目追加投資。這是因為，在增加投資的過程中，資金回報率不會上升，而投入的資金越多，投資者面臨的風(fēng)險越大[3]。當(dāng)邊際收益遞減時，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變小，此時，投資者需要控制投入資金的規(guī)模，并且在不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的情況下，適當(dāng)回撤一部分資金。下面，我們舉例進(jìn)行分析。

假設(shè)某投資者打算投資一個項目，當(dāng)投入資金為x（百萬元）時，投資回報率（百萬元）R(x)=[-(x+0.1)^0.5-1/ (x+0.1)+10.32]/100，通過對這一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的分析，我們可以找出投資回報率隨投入資金變化的關(guān)系。在求導(dǎo)的過程中，可以令t=x+0.1，從而簡化計算過程。R(t)=(-t^0.5-1/t +10.32)/100，易得R’(t)=(-0.5/t^0.5+1/t^2)/100，由于t和x是線性關(guān)系，且t隨x的增大而不斷增大，我們可以通過求R(t)的駐點t0，得到R(x)的駐點。令R’(t)>0，t<1.59；令R’(t)<0，t>1.59；令R’(t)=0，t=1.59。我們不難發(fā)現(xiàn)，R(t)在t<1.59時是單調(diào)增的，R(t)在t>1.59時是單調(diào)減的，R(1.59)是R(t)的最大值。令t=x+0.1=1.59，可以求得x=1.49。也就是說，當(dāng)x=1.49時，R(x)取得最大值0.084，當(dāng)投入資金為149萬元時，投資回報率最高，為8.4%。投資者可以根據(jù)計算結(jié)果，投入適當(dāng)?shù)馁Y金，從而獲得更豐厚的回報。

（三）利用數(shù)學(xué)模型解決需求價格彈性問題

在金融分析中，我們常常需要研究商品的需求規(guī)律，從而做出相應(yīng)的決策。提高企業(yè)的收入。運用導(dǎo)數(shù)知識，我們可以描述商品的需求隨價格變化的規(guī)律，并根據(jù)需求價格彈性，制定合適的銷售策略。假設(shè)A商品的價格為p時，市場需求量為q，我們就可以根據(jù)商品的歷史銷售數(shù)據(jù)，得到需求函數(shù)q = q( p) ，如果需求函數(shù)可導(dǎo)，我們就可以求出商品的需求價格彈性Ep：Ep = p/ q( p)＊q＇( p)。需求彈性在經(jīng)濟及金融學(xué)研究中，有著十分重要的作用。它可以較為直觀地反映表示某種商品需求量q 對價格p 變化的敏感程度。我們可以將Ep理解為需求量變化的百分比與價格變化的百分比之比。我們可以根據(jù)某一商品在某一價格處的需求價格彈性，制定合適的銷售策略[4]。

當(dāng)| Ep | < 1 時，如果企業(yè)采取降價策略，商品的需求量將發(fā)生較小的變化，總銷售收入將下降。如果企業(yè)想要提高營收，則應(yīng)在可接受的范圍內(nèi)提高價格。當(dāng)| Ep | > 1時，如果企業(yè)采取降價策略，商品的需求量將發(fā)生較大的變化，總銷售收入將上升。企業(yè)應(yīng)當(dāng)在保證銷售價高于成本價的同時，適當(dāng)降價，從而增加銷售收入。當(dāng)| Ep | 接近1 時，無論是漲價還是降價，由于需求將發(fā)生等比例反向變化，商品的總銷售收入將不會發(fā)生大的變化。因此，企業(yè)可能需要采取其他措施，提高總利潤。因此在市場經(jīng)濟中，企業(yè)的經(jīng)營者應(yīng)該充分利用導(dǎo)數(shù)，分析所經(jīng)營的商品的需求價格彈性，正確把握市場動向，及時根據(jù)趨勢調(diào)整商品的價格，從而增加企業(yè)利潤[5]。

（四）利用數(shù)學(xué)模型解決市場分析問題

在制定市場戰(zhàn)略的過程中，企業(yè)常常需要對市場情況進(jìn)行分析，在這個過程中，我們可能需要用到導(dǎo)數(shù)及博弈論的知識[6]。假設(shè)在壟斷市場上，有兩家企業(yè)A和B。這兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種商品，且A企業(yè)和B企業(yè)的生產(chǎn)成本均為300元/件，且生產(chǎn)成本在未來一段時間內(nèi)不會發(fā)生變化。這兩家企業(yè)的經(jīng)營者面臨著一個相似的問題：如何制定市場戰(zhàn)略，才能提高銷量，獲得更多的利潤？在此，我們假設(shè)兩家企業(yè)都是理性的，且它們在制定生產(chǎn)及銷售計劃時不考慮對手的計劃。它們面對的需求曲線為q=600-p。由于以上兩家企業(yè)幾乎完全相同，我們可以考慮其中一家企業(yè)的決策，從而推斷另一家企業(yè)的決策。設(shè)企業(yè)A的售出x件商品，總利潤為RA，企業(yè)B售出y件商品，總利潤為RB。那么RA(x)=(600-x-y)x-300x=-x^2-xy+300x, RA’(x)=-2x-y+300，由導(dǎo)數(shù)知識，當(dāng)y不變時，RA(x)隨x的增大先變大后變小，當(dāng)RA’(x)=0時，RA取最大值 。令RA’(x)=0，x=(300-y)/2。類似地，企業(yè)B應(yīng)選擇y=(300-x)/2，聯(lián)立這兩個方程并求解，我們可以得到，x=y=100，RA(x)=10000，RB(y)=10000，也就是說，當(dāng)兩家企業(yè)處于競爭狀態(tài)時，他們都將以100件為銷售目標(biāo)。在銷售100件時，A企業(yè)和B企業(yè)的總利潤相同，為10000元。

四、結(jié)語

利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，我們可以高效地分析許多經(jīng)典的金融學(xué)與經(jīng)濟學(xué)問題。在求解數(shù)學(xué)模型的過程中，要注意利用換元法，將較復(fù)雜的部分當(dāng)做一個整體，從而簡化函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，更清晰地顯示函數(shù)的變化規(guī)律。當(dāng)遇到包含多個變量，且變量之間存在較為復(fù)雜的關(guān)系的時候，可以借助信息技術(shù)，建立較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，并將模型可視化，從而高效地解決需要分析的問題。