基于易感-感染-恢復（SIR）模型的2019冠狀病毒病早期傳播分析及政府防控措施研究*

■ 應毅 黃慧 任凱 劉定一

1.三江學院計算機科學與工程學院 南京 210012

2.南京大學金陵學院 南京 210089

0 引言

從20世紀末開始，在全球多個地區(qū)已發(fā)現(xiàn)約30 種新發(fā)傳染病[1]。2019～2020年流感季，美國估計已有至少2900 萬例流感病例，其中1.6 萬人死于流感相關(guān)疾病[2]。2019年底，湖北省武漢市陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例原因不明的病毒性肺炎患者，國內(nèi)學者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)這是一種由新型冠狀病毒引起的肺炎[3]。2020年2月7日國衛(wèi)醫(yī)函〔2020〕42 號文件將新型冠狀病毒感染的肺炎暫命名為新型冠狀病毒肺炎，簡稱新冠肺炎（Novel Coronavirus Pneumo‐nia, NCP）。高通量測序揭示該肺炎由一種新型的β 冠狀病毒引起，2020年1月12日，世界衛(wèi)生組織將該病毒臨時命名為2019 新型冠狀病毒（2019 Novel Coronavi‐rus,2019-nCoV）[4]。2020年2月11日國際病毒分類學委員會將此次流行的新型冠狀病毒命名為嚴重急性呼吸綜合征冠狀病毒2（Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus,SARS-CoV-2）[5]。同日，世界衛(wèi)生組織將此次暴發(fā)的肺部相關(guān)疾病正式命名為2019 冠狀病毒?。–oronavirus Disease 2019,COVID-19）。

圖1 SIR傳播動力學模型

COVID-19 疫情的暴發(fā)引起世界各國的關(guān)注。2020年1月20日中國國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布2020年第1號公告，經(jīng)國務院批準，將新型冠狀病毒感染的肺炎納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病，并采取甲類傳染病的預防和控制措施。2020年1月30日，世界衛(wèi)生組織宣布新型冠狀病毒肺炎疫情為國際公共衛(wèi)生緊急事件[6]。2020年2月28日，世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒肺炎全球風險級別由“高”提高至“非常高”。

由于COVID-19具有傳播快、擴散廣的特點，短時間內(nèi)很容易造成大面積感染，因此對于COVID-19 的預防和控制工作非常重要。目前，針對COVID-19 的疫情防控相關(guān)研究主要集中在3 個方面：一是在臨床醫(yī)學[7]、藥理學[8]、疫苗研發(fā)等方面的研究；二是疫情防控管理制度、管理手段方面的研究[9]；三是對病毒傳播模式的研究。文獻[10]利用離散變量隨機概率方法對湖北省疫情的發(fā)展進行模擬和預測；文獻[11]基于SEIR 模型對CO‐VID-19 的基本再生數(shù)進行了估計；文獻[12]建立SEIAR模型計算陜西省COVID-19 疫情的基本再生指數(shù)為2.95。但以上研究僅討論了某個區(qū)域的病毒傳播情況[10,12]，而且都沒有考慮城市間人口流動因素對疫情發(fā)展的影響。針對此問題，本文根據(jù)實際情況，建立有效距離修正的SIR 模型，并引入干預項參數(shù)模擬政府所采取的防控措施，對COVID-19的早期傳播進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)結(jié)果對政府所采取的干預手段進行客觀評價，討論防控隔離和集中收治等措施對疫情發(fā)展的影響。

1 SIR傳播模型

對傳染病疫情傳播的分析可分為統(tǒng)計學方法與動力學方法。統(tǒng)計學模型在信息不全的情況下通過某一小樣本的情況對總體進行預測。動力學模型基于病毒寄生宿主后各個狀態(tài)間的因果關(guān)系，利用對該病毒已知的信息與各個狀態(tài)下人群的歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)建用于描述傳播機理的微分方程，從而得出對基本再生數(shù)、確診人數(shù)、死亡病例等指標的預測評估值。SIR 模型是傳染病研究中一種經(jīng)典的動力學模型，最早由Kermack 與McKend‐rick在1927年提出[13]。該模型能給出較為清晰的邏輯關(guān)系和準確的趨勢預測，其預測結(jié)果也與歷史上許多傳染病傳播的實際數(shù)據(jù)相互印證，因此至今仍被廣泛使用并不斷發(fā)展。

SIR 模型將處于疫情暴發(fā)群體中的個體分為3 類：未感染疾病且對于疾病缺乏免疫能力的人群被稱作易感人群（Susceptible，記為S）；已經(jīng)感染疾病且具有傳播能力的人群被稱作感染人群（Infected，記為I）；病愈（具有免疫能力）和死亡等不再參與疾病傳播過程的人群被稱作移除人群（Removed，記為R）。任何個體均是上述3種狀態(tài)之一。SIR 模型的建立依賴如下假設：(1)總?cè)丝谑冀K保持在一個固定水平上；(2)一個病患一旦與易感者接觸就必然形成一定的傳染力；(3)被傳染后，病患經(jīng)過一定時間會康復，并且獲得對該傳染病的免疫能力，即在疫情結(jié)束前不發(fā)生二次感染；(4)沒有對已感染病患進行隔離管控等措施。

基于以上4個基本假設條件，3類人群在病毒發(fā)展規(guī)律下以一定概率向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移，形成“易感態(tài)—感染態(tài)—移除態(tài)”的動力學模型，3 種狀態(tài)的變化過程如圖1所示。其中，傳染速率IR（Infection Rate）與人口總數(shù)、感染比例、接觸速率有關(guān)；康復速率RR（Rehabilitation Rate）與平均患病時間有關(guān)。

另一方面，本次COVID-19 疫情發(fā)生于2019年年底，非常接近中國農(nóng)歷新年，作為全國城市網(wǎng)絡中的重要節(jié)點，武漢具有非常強的交通輻射能力。因此，人群的遷徙行為對于COVID-19的傳播影響也不能忽視。有研究表明，疫情的傳播與城市間的地理距離關(guān)系較小，與城市間的有效距離關(guān)系密切[14]。有效距離是指根據(jù)城市間交通流量數(shù)據(jù)折合之后的距離。原因在于交通流量越大的兩個城市，病毒攜帶者來往概率也越大。

根據(jù)上述討論，本文考慮了城市間的交通流量因素，修正了經(jīng)典的SIR 模型。記in是n 城市的感染比例；sn是n 城市的疑似人群比例；rn是n 城市的恢復健康或死亡的人群比例，Pmn是m 城市與n 城市之間的有效距離，用于COVID-19疫情的SIR動力學方程構(gòu)建如下：

圖2 SIR模型與實際確診病例的擬合對比

圖3 無干預下的病毒擴散情況

基本再生數(shù)R0是一個能夠反映病毒傳播速度的重要參數(shù)，它是指沒有干預的情況下，在一個全部是易感人群的環(huán)境中，平均一個病患可以傳染的人數(shù)。它受病毒特性、人群體質(zhì)、環(huán)境、氣候、溫度、季節(jié)等因素的多重影響[15]，全球各地的研究團隊針對COVID-19 的R0測算結(jié)果差距較大。中國疾控中心和武漢疾控中心等機構(gòu)對R0的估計值為2.2[16]；中國香港中文大學賽馬會公共衛(wèi)生與基層醫(yī)療學院對R0的估計值為2.24[17]和2.56[18]；中國香港大學公共衛(wèi)生學院對R0的估計值為2.6[19]；廈門大學公共衛(wèi)生學院對R0的估計值為3.58[20]；西安交通大學數(shù)學與生命科學交叉研究中心的專家對R0的估計值為6.47[21]；本文根據(jù)數(shù)據(jù)擬合情況設R0=3.8。

式(1)中參數(shù)α 為感染率、參數(shù)β 為治愈率、參數(shù)γ 為平均遷出人口比。根據(jù)報道，病患從確診到病情穩(wěn)定（或死亡）平均為10天，故β=0.1；根據(jù)百度遷徙數(shù)據(jù)和全國城市總?cè)丝跀?shù)計算得γ=0.1255；根據(jù)SIR 模型，R0=α/β，反向計算出α=0.38；根據(jù)百度遷徙公布的流量數(shù)據(jù)計算主要城市間的有效距離Pmn。

本文所采用的真實疫情數(shù)據(jù)來源于國家衛(wèi)生健康委員會和各省衛(wèi)生健康委員會公開發(fā)布的疫情通報數(shù)據(jù)，選擇2020年1月10日作為數(shù)據(jù)研究的起始點。模型計算及圖形繪制采用軟件Python 3.6.1。

基于式(1)所示模型和以上參數(shù)取值，本文進行了SIR 模型與各主要城市的實際確診病例的擬合對比，如圖2所示。圖2橫坐標為從2020年1月10日（第一個確診病例日期）開始的時間，單位為天；縱坐標是不同城市的感染人口數(shù)據(jù)，主要挑選了武漢周邊的城市和北京、上海、廣州之類的一線城市。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，SIR 模型的計算結(jié)果與實際公布的數(shù)據(jù)吻合較好，說明本文提出的模型（包括參數(shù)取值）是合理可行的。

圖4 無干預下的病患情況

圖5 ξ項的變化曲線（t0=20、tm=50）

2 COVID-19的早期傳播分析

利用式(1)所描述的SIR 傳播模型（包括參數(shù)取值），結(jié)合本次疫情的早期數(shù)據(jù)（2020年1月10日至1月23日，武漢進入全面封城狀態(tài)之前），本文計算了病毒在無任何限制條件下的擴散傳播情況和病患情況，如圖3、圖4所示。在圖3中，橫坐標為時間，縱坐標為每個城市的感染人口數(shù)量，幾個特別關(guān)注城市用不同顏色較清晰地繪制而出，其他城市用淡色作為背景繪制出一個帶狀區(qū)域，左下角的圓點表示已知的實際數(shù)據(jù)。從圖中數(shù)據(jù)可知，在不采取任何措施的情況下，COVID-19 的擴散在2020年1月底還處于非常早期的階段，真正的指數(shù)級暴發(fā)將在2月20日左右開始；在自然條件下，疾病的最終退去要等到5月底至6月初；感染人口最多的城市將是北京，而非武漢，其原因在于北京人口基數(shù)更大，而且其他幾個大型城市的感染人數(shù)都會比武漢多；在城市層面，病毒的擴散存在著兩個高峰，第一個高峰是以武漢為首的湖北境內(nèi)城市，第二個高峰以北京、廣州等大城市為主，峰值的到來會比武漢推遲10天左右。

COVID-19 在短時間內(nèi)的快速傳播對人民群眾的身體健康構(gòu)成了持續(xù)的威脅，我國政府迅速采取一系列措施來對抗疫情，對病毒的傳播進行了干預和控制。在基于有效距離的SIR 模型的基礎上，本文引入ξ 項來模擬這種傳播干預手段，重建政府干預下的SIR 模型，如式(2)所示。

其中：

ξ 是一條隨時間t 逐漸從1 衰減至η 的函數(shù)，表示對疾病的控制作用的強度情況，ξ 越大，控制力度越小，反之越強，ξ 與感染率α 相乘，直接影響健康者與感染者的交互概率。圖5示意了ξ 項的變化情況，曲線有兩個關(guān)鍵拐點，一個是開始顯著下降的點，這個點由參數(shù)t0刻畫，表示開始對病毒傳播進行干預控制的時間點；第二個拐點是曲線顯著接近于0.1 的時間點，這個時間長度是最終完全將病毒傳播控制住所需要花費的時間，用參數(shù)tm刻畫。η 是人為控制能達到的最小值，可以根據(jù)能夠達到的目標基本再生數(shù)進行估算。

圖6 有干預下的病毒擴散情況

圖7 有干預下的病患情況

武漢于2020年1月23日實施封城管控，相對于1月10日是13 天之后，故t0=13；假設實現(xiàn)干預目標需要一個月時間，故tm=30；希望通過干預手段將基本再生數(shù)降低到1以下，按照目標基本再生數(shù)R*0=R0/4計算（即管控后，每個人交互的機會減少到原來1/4），得R*0=0.95，最低感染率η=1-R*0β=0.905。

利用政府干預下的SIR 模型和以上參數(shù)取值，本文計算了病毒在有干預下的擴散傳播情況和病患情況，如圖6、圖7所示。圖6的橫/縱坐標含義與圖3相同，觀察圖6數(shù)據(jù)可知，感染人口的數(shù)量峰值大約在2月中旬達到，之后仍然會維持相當長的時間，大約在4月份病毒的擴散才會進入尾聲。假設COVID-19 的平均致死率為3.1%[22]，圖7計算了全國總感染人數(shù)、累積死亡人數(shù)、累積康復人數(shù)，圖中數(shù)據(jù)顯示累積感染人數(shù)總量將達到135000人，死亡人數(shù)將接近5600人。

3 政府防控措施的作用

從SIR傳播模型在無干預和有干預兩種情況下的測算結(jié)果可以看出：為了降低感染者數(shù)量和病患死亡人數(shù)，更好地控制疫情的發(fā)展，降低感染率和降低致死率是兩個最主要手段。相對SARS 疫情從2002年12月底發(fā)現(xiàn)到2003年5月9日國務院發(fā)布第376 號令，公布施行《突發(fā)公共衛(wèi)生事件應急條例》，歷時約4個月[23]，在本次疫情中，從武漢報告首例病患，到1月底湖北、北京、上海、天津、重慶等眾多省份、直轄市啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件I 級響應機制，僅不到1 個月。在COVID-19 流行的早期，政府部門就立即實施嚴厲的公共衛(wèi)生政策，將會極大地阻止疫情的蔓延。

在個人層面：佩戴口罩、防護設備，勤洗手，衛(wèi)生消毒，居家、減少外出和聚會，個體間保持1 米距離等通常做法，可有效降低感染率。在社會層面：利用媒體加強健康教育和抗“疫”宣傳，交通管制，限制或停止人群聚集活動，停工、停學，也能夠有效地、盡快地降低感染率。在醫(yī)療層面：對確診患者集中治療，對疑似患者定點隔離，對密切接觸者進行集中醫(yī)學觀察，建設火神山、雷神山等專門醫(yī)院對危重病人強化治療和輔助生命支持，建設方艙醫(yī)院對輕微癥病人的“應收盡收、應治盡治”等政策，不僅能降低感染率，而且能大幅度降低致死率。

事實證明，1月23日之后，全國30 個省份的日新增感染人數(shù)在極短的時間內(nèi)（3-7 天）即開始觸頂下降；2月12日，絕大部分省份的日新增感染人數(shù)已經(jīng)降至峰值的5%-10%以下。說明COVID-19 的基本再生數(shù)R0在迅速減小，達到目標基本再生數(shù)R*0所需時間比本文預估的30天更短，政府的干預手段對疫情的大面積發(fā)展產(chǎn)生了較好的抑制效果。3月18日武漢首次出現(xiàn)新增病例和疑似病例雙清零[24]，這比本文估計的時間早了1 個月。截止本文完成時（3月30日），國內(nèi)的COVID-19 累計確診病例81518 例、累計死亡病例3305 例，都低于本文測算的數(shù)據(jù)。這說明政府采取的防控措施比本文設想的更加高效。

4 結(jié)論

COVID-19 疫情在我國暴發(fā)后，在以習近平同志為核心的黨中央的堅強領(lǐng)導下，全國人民齊心協(xié)力，采取了最強有力的防控措施，以罕見的“中國速度、中國規(guī)模、中國效率”阻止了病毒蔓延，這場斗爭已經(jīng)取得了階段性重要成果。本文對COVID-19的傳播動力學模型進行研究，主要結(jié)論如下：

(1)在經(jīng)典SIR 模型的基礎上，結(jié)合人口遷徙因素，提出基于有效距離的SIR 傳播模型，通過模型計算結(jié)果與實際確診病例的擬合對比，證明了新模型的有效性。引入干預項參數(shù)ξ 模擬政府的防控措施，建立有干預的SIR 傳播模型，根據(jù)COVID-19 疫情的早期數(shù)據(jù)，分析了疫情的發(fā)展規(guī)律。從動力學方程的解和實際數(shù)據(jù)的比較來看，有干預的SIR 傳播模型能夠較好地反映疫情的趨勢變化，為制訂未來的疫情干預決策提供理論支持。此外，已有研究鮮有考慮區(qū)域之間人群流動行為對疫情發(fā)展的影響，本文提出的基于有效距離的SIR 模型和有干預的SIR 模型拓寬了COVID-19 傳播模式的研究思路，做出了創(chuàng)新性的學術(shù)貢獻。

(2)從模型的測算結(jié)果進行分析，降低感染率和致死率是減少感染者數(shù)量和病患死亡人數(shù)的主要手段，因此，在沒有疫苗和針對性藥物的情況下，防控隔離和集中收治仍然是控制疫情的最有效措施，從而證明了政府的干預手段起到了非常積極的作用。

(3)針對近期COVID-19 疫情在境外各國的快速蔓延態(tài)勢，根據(jù)本文研究結(jié)果，與實際情況相結(jié)合，建議干預策略應從“群防群治”轉(zhuǎn)變?yōu)椤熬珳史揽亍?，依托社區(qū)力量關(guān)注重點人群，有效防范輸入性病例引起的繼發(fā)傳播。