函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的應(yīng)用

江蘇省泰州中學(xué) (225300) 宋 健

關(guān)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)是三角知識的一個重要節(jié)點，從函數(shù)知識方面來說就是一個高點，關(guān)注與此有關(guān)的綜合問題有助于全面理解課本知識體系，站在新的高度檢驗對這些知識點的掌握程度，本文通過分析幾類典型題例的求解方法，展示此類問題的解題方案，務(wù)求給讀者朋友有所幫助．

一、識圖像 重應(yīng)用

二、先轉(zhuǎn)化 再化歸

評注：這一類典型題目的解法是利用三角公式化簡，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式，然后根據(jù)三角函數(shù)在特定區(qū)間上的有界性求出函數(shù)的最大值和最小值．

三、抓特點 定參數(shù)

圖1

評注：在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中，如何根據(jù)已知條件確定其中的參數(shù)A、ω、φ，也是一類常見問題，這里必須抓住特點、精巧列式，本題中由正三角形的剖析是解題關(guān)鍵．

四、用性質(zhì) 建方程

評注：本題的解決實際上是抓住兩個對稱性列方程、解方程的過程，由于三角函數(shù)有多值的特點，故需對參數(shù)k分類討論，然后再逐個驗證后確定，否則可能出現(xiàn)增解或漏解．

五、擬函數(shù) 再運用

例5 某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日的水深數(shù)據(jù).

t03691215182124y10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

經(jīng)長期觀察，這組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，擬合函數(shù)擬合函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5 m或5 m以上被記為是安全的(船舶?？繒r只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底離水平面的距離)為6.5 m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港口，那么它至多能在港內(nèi)停留多久？(忽略進出港所需時間)

評注：本題是一個實際生活中的應(yīng)用問題，由列表數(shù)據(jù)分析可得對應(yīng)的函數(shù)圖像是一個正弦曲線，抓住這個重要信息，擬合出函數(shù)解析式，為后面的實際問題的解決創(chuàng)造了條件．

六、綜合題 抓主線

圖2

評注：本題是一道綜合應(yīng)用問題，先運用所給數(shù)據(jù)確定函數(shù)表達(dá)式，解決了關(guān)鍵的線段MP的長，然后再通過設(shè)∠PMN=θ，由正弦定理列式，建立了折線段賽道MNP的函數(shù)式，運用三角函數(shù)的有界性解決了最值問題，這就是此類題的求解主線．