橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同
——一道?？碱}的講評(píng)歷程及變式探究

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) (213000) 徐 穎

高考模擬題的設(shè)計(jì)力求情境熟悉，切入口多，方法靈活多樣，其中填空題的設(shè)計(jì)以短、平、活為主，能更好地體現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度和應(yīng)試能力，研究?jī)r(jià)值很高. 本文通過(guò)對(duì)2020年蘇錫常鎮(zhèn)高三數(shù)學(xué)一模卷14題答題情況的調(diào)研，分析學(xué)生思維受阻的原因，試圖尋找教學(xué)中存在的問(wèn)題，進(jìn)而提高教學(xué)的有效性.

1.試題

圖1

本題考察解三角形、平面向量的運(yùn)算、最值問(wèn)題.考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其背景常規(guī)，綜合性較強(qiáng)，區(qū)分度高，涉及的知識(shí)點(diǎn)也較多，對(duì)學(xué)生化歸能力要求較高.

2. 教學(xué)過(guò)程

2.1 橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同

(在點(diǎn)評(píng)前，老師要求學(xué)生先自行訂正，找出問(wèn)題)

教師：那位同學(xué)愿意分享一下解題思路？

圖2

圖3

學(xué)生2舉手示意：關(guān)于點(diǎn)O的位置，我認(rèn)為可以利用平面幾何知識(shí)，如圖3，取AE中點(diǎn)T,連接DT，由于E,T為AC的三等分點(diǎn)，故E為T(mén)C中點(diǎn)，由BE//DT可知O為CD中點(diǎn).

教師：學(xué)生1采取建系，這是將代數(shù)問(wèn)題幾何化的一種常見(jiàn)方式，非常棒！我很欣賞學(xué)生2的確定O點(diǎn)位置的兩種方法，利用幾何法抓住圖形的特征，太贊了，讓我們茅塞頓開(kāi)，也學(xué)會(huì)了找線段定比分點(diǎn)的方法，他發(fā)現(xiàn)了這道題目的第一個(gè)本質(zhì)，這要求我們有靈動(dòng)的思維，多從圖形中發(fā)現(xiàn)動(dòng)中有定.接下來(lái)，大家思考如何表示三角形面積？

(下面掌聲一片！)

教師：學(xué)生5，6的解法又讓我們眼前一亮，將問(wèn)題與軌跡思想聯(lián)系，揭示了這道問(wèn)題的第二個(gè)本質(zhì). 前面提到的三點(diǎn)共線定理和阿波羅尼斯圓其實(shí)都是課本上例題或練習(xí)題，看來(lái)在最后復(fù)習(xí)階段我們還要回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握經(jīng)典模型.

2.2 等閑識(shí)得東風(fēng)面，萬(wàn)紫千紅總是春

針對(duì)問(wèn)題的不斷深入，在尋求解法的同時(shí)，領(lǐng)略考題的本質(zhì)，挖掘其深刻內(nèi)涵，作出一些必要的延伸和拓展，充分發(fā)揮試題的功能和作用.

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng)：三角形中關(guān)注一些小結(jié)論，如上，利用角平分線定理能更快得到D點(diǎn)位置.

圖6

3.教學(xué)啟示

3.1 解題教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的參與，構(gòu)建動(dòng)態(tài)教學(xué)

在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，時(shí)間緊，任務(wù)重，有的教師急功近利，追求大容量，往往只提解題思路，展示正確的解題方法，很少顧及學(xué)生的真實(shí)感受，學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)不多，缺少思維過(guò)程，只會(huì)死記套路. 告知學(xué)生，他們會(huì)忘記；板演給學(xué)生看，他們會(huì)記??；本題的一題多解，不是教師預(yù)設(shè)好硬塞給學(xué)生的，而是通過(guò)生生互助，師生互動(dòng)，在一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中形成的產(chǎn)物，，讓學(xué)生參與其中，親經(jīng)歷，真學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，獲得解題的成就感，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 解題教學(xué)應(yīng)注重挖掘課本例習(xí)題的潛在教學(xué)功能

本題的兩個(gè)切入點(diǎn)就是三點(diǎn)共線定理和軌跡思想，在必修4向量章節(jié)和必修5直線與圓章節(jié)都有涉及(課本例題或習(xí)題)，我們知道課本例題、習(xí)題常常是高考命題的生長(zhǎng)點(diǎn)，那么怎樣具體實(shí)施教學(xué)才叫活用教材？只有教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，認(rèn)真鉆研，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，做到以少勝多，舉一反三，幫助學(xué)生實(shí)踐從“一題多解”到“多題一解”的跨越，不在于解法的多樣性，而應(yīng)該挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成通性通法，擴(kuò)大解題的“武器庫(kù)”[1]，這樣才能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,實(shí)現(xiàn)真正減負(fù).