線圈數(shù)量不同的WPT系統(tǒng)等效模型仿真分析

王偉全，王嘉梅

(云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

無線電能傳輸技術(shù)(wireless power transmission, WPT)主要是通過電源側(cè)的初級(jí)線圈電流產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，負(fù)載側(cè)的拾取線圈捕獲交變磁場(chǎng)，然后產(chǎn)生交變電壓，從而不經(jīng)過接觸將電能從電源側(cè)傳輸?shù)截?fù)載[1-2].無線電能傳輸方式在一些特定的場(chǎng)合，比如煤礦供電、海底探測(cè)、生物醫(yī)療以及油田探測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，是1種極具研究意義的新型電能傳輸方式[3-7].

無線電能傳輸系統(tǒng)主要分為近場(chǎng)傳輸和遠(yuǎn)場(chǎng)傳輸兩種類別.近場(chǎng)傳輸方式主要包括電場(chǎng)耦合式和磁場(chǎng)耦合式兩種，而遠(yuǎn)場(chǎng)傳輸方式包括微波傳輸、激光傳輸以及超聲波傳輸[8-9].

無線電能傳輸技術(shù)在19世紀(jì)末由特斯拉提出，但由于時(shí)代與技術(shù)的局限，始終未能得到很好的研究與發(fā)展，2007年，麻省理工大學(xué)的馬林研究團(tuán)隊(duì)提出了1種四線圈的磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)，引起全世界范圍的關(guān)注，掀起了全世界范圍無線電能傳輸技術(shù)研究的熱潮[10].

無線電能傳輸系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)是雙線圈結(jié)構(gòu)，該系統(tǒng)主要包括直流源、高頻逆變電路、發(fā)射線圈、接收線圈、整流電路、負(fù)載，其基本結(jié)構(gòu)圖如圖1所示[11].

圖1 無線電能傳輸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

通常評(píng)價(jià)1個(gè)無線電能傳輸系統(tǒng)的指標(biāo)有系統(tǒng)的傳輸效率以及系統(tǒng)的輸出功率.而對(duì)于1個(gè)無線電能傳輸系統(tǒng)來說，線圈個(gè)數(shù)不同時(shí)系統(tǒng)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系也不同，因此系統(tǒng)線圈個(gè)數(shù)對(duì)無線電能傳輸系統(tǒng)的影響是1個(gè)值得研究的問題，研究結(jié)果可以為無線電能傳輸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).

1 不同線圈數(shù)量的WPT系統(tǒng)建模

1.1 雙線圈WPT系統(tǒng)建模

目前，對(duì)于雙線圈無線電能傳輸系統(tǒng)，有電磁感應(yīng)式和電磁諧振式2種.電磁諧振式傳輸方式僅是電磁感應(yīng)式傳輸方式的1種特殊形式，因此接下來僅對(duì)電磁感應(yīng)式無線電能傳輸系統(tǒng)建模分析系統(tǒng)性能的影響因素[12].電磁感應(yīng)式無線電能傳輸系統(tǒng)其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示，等效電路如圖3所示.

圖2 磁感應(yīng)式無線電能傳輸 圖3 電磁感應(yīng)式無線電能傳輸系統(tǒng)等效電路

根據(jù)圖3，由基爾霍夫電壓定律即可得關(guān)系式如下[13]：

(1)

(2)

U1=i1R1-jωMi2,

(3)

0=i2(R2+RL)-jωMi1.

(4)

聯(lián)立(3)(4)式，則可得i1、i2的值，可得|i2|，同時(shí)輸出功率P2=i22RL，輸入功率P1=U1i1,則可得雙線圈電磁感應(yīng)式系統(tǒng)輸出功率為:[14]

(5)

可得雙線圈電磁感應(yīng)式系統(tǒng)的傳輸效率：

(6)

1.2 三線圈WPT系統(tǒng)建模

目前，三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)一般指的就是磁耦合諧振式三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)，其基本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示：

三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)相對(duì)于雙線圈系統(tǒng)多了1個(gè)中繼線圈[15-16]，其等效電路如圖5所示.

根據(jù)圖5和基爾霍夫電壓定律，以上參數(shù)之間的關(guān)系可由以下公式表示出來[17]：

(7)

(8)

(9)

當(dāng)系統(tǒng)工作在諧振狀態(tài)時(shí)滿足條件：

(10)

在式(10)中，要注意的一點(diǎn)的是，L1、L2、L3、C1、C2、C3不是對(duì)稱的，即這些參數(shù)的值可以不用相等，只要取值滿足式(10)即可.

根據(jù)式(10),則式(7) (8) (9)可以化為以下式子：

U1=i1R1+jωM12i2，

(11)

0=i2R2+jωM12i1+jωM23i3，

(12)

0=i3(R3+RL)+jωM23i2.

(13)

聯(lián)立(11)(12)(13)，則可得電流i1、i2、i3，又因?yàn)檩敵龉β屎洼斎牍β实挠?jì)算公式為P3=i32RL和P1=U1i1.

則可得系統(tǒng)最終傳輸?shù)截?fù)載上的功率為：

(14)

可得系統(tǒng)的傳輸效率η為：

(15)

1.3 四線圈WPT系統(tǒng)建模

四線圈無線電能傳輸系統(tǒng)主要包括電源線圈、發(fā)射線圈、接收線圈、負(fù)載線圈以及其他補(bǔ)償電路，在接下來的分析中，選擇4個(gè)線圈均有諧振補(bǔ)償電路的系統(tǒng)進(jìn)行分析，系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖6所示，系統(tǒng)等效電路圖如圖7所示.

圖6 四線圈無線電能傳輸 圖7 四線圈無線電能傳輸系統(tǒng)等效電路

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，則可得如下關(guān)系式[18-19]：

(16)

(17)

(18)

(19)

當(dāng)系統(tǒng)共振時(shí)，4個(gè)線圈的參數(shù)滿足下列關(guān)系：

(20)

在仿真分析時(shí)，為滿足上式，可以使得L1、L2、L3、L4的值以及C1、C2、C3、C4的值相同.則式(16) (17) (18) (19)可以簡(jiǎn)化為：

U1=i1R1+jωM12i2.

(21)

0=i2R2+jωM12i1+jωM23i3,

(22)

0=i3R3+jωM23i2+jωM34i4,

(23)

0=i4(R4+RL)+jωM34i3.

(24)

(25)

可得系統(tǒng)的傳輸效率η為：

(26)

2 不同線圈數(shù)量的WPT系統(tǒng)等效模型仿真分析

由于已經(jīng)建立了WPT系統(tǒng)的輸出功率和傳輸效率模型，接下來則依據(jù)所建立的等效模型仿真分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響.

2.1 雙線圈WPT系統(tǒng)等效模型仿真分析

通過Matlab仿真，其變化曲線如圖8和圖9所示：

圖8 輸出功率隨耦合系數(shù)和負(fù)載變化圖 圖9 傳輸效率隨耦合系數(shù)和負(fù)載變化圖

圖8描繪了輸出功率P2與耦合系數(shù)k和負(fù)載RL之間的關(guān)系.當(dāng)負(fù)載一定時(shí)，隨著k的增大，P2逐漸增大，達(dá)到某一峰值，之后逐漸減?。划?dāng)發(fā)射端與接收端間距一定，即k一定時(shí)，隨著RL的增大，P2也逐漸增大，但增大的幅度逐漸放緩.

圖9描繪了傳輸效率η與耦合系數(shù)k和負(fù)載RL之間的關(guān)系.當(dāng)負(fù)載一定時(shí)，隨著k的增大，η也逐漸增大，增大的幅度逐漸緩慢，最終接近一個(gè)峰值，但其沒有峰值；當(dāng)k一定時(shí)，隨著RL的增大，η逐漸減小.

根據(jù)公式(5)和(6),可以分別求出輸出功率P2和傳輸效率η最優(yōu)時(shí)所對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)k和負(fù)載RL.

(27)

此時(shí)得最優(yōu)k為：

(28)

保持k不變，對(duì)RL求偏導(dǎo)，令其偏導(dǎo)為0，即：

(29)

此時(shí)得最優(yōu)RL為：

(30)

(31)

求出最優(yōu)RL為：

(32)

通過以上的分析可以看出，影響雙線圈電磁感應(yīng)式無線電能傳輸系統(tǒng)性能的因素主要有耦合系數(shù)k和負(fù)載RL，而且總存在1個(gè)k和RL使得輸出功率P2達(dá)到最優(yōu)，存在1個(gè)RL使得傳輸效率η達(dá)到最優(yōu).但最優(yōu)P2和最優(yōu)η所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值不同，可以根據(jù)實(shí)際中是需要最優(yōu)輸出功率還是最優(yōu)傳輸效率來選擇最優(yōu)參數(shù)值.

2.2 三線圈WPT系統(tǒng)等效模型仿真分析

f= 6.78 MHz；U1=15 v；L1=1 μH；L2=3 μH；L3=2 μH；C1=150 pF；C2=50 pF；C3=75 pF；R1=1 Ω；R2=3 Ω；R3=2 Ω；RL=20 Ω；

則通過Matlab仿真，可得耦合系數(shù)與系統(tǒng)性能之間得關(guān)系圖如圖10和圖11所示.

圖10 三線圈系統(tǒng)輸出功率隨耦合系數(shù)變化圖 圖11 三發(fā)射系統(tǒng)傳輸效率隨耦合系數(shù)變化圖

圖10描述了三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)的輸出功率P3隨耦合系數(shù)k12和k23變化而變化的趨勢(shì).由圖可知，當(dāng)k12固定不變時(shí)，隨k23逐漸增大，P3逐漸增大，在達(dá)到1個(gè)峰值之后，可以看到P3有1個(gè)緩慢的下降趨勢(shì)；當(dāng)k23固定不變時(shí)，隨著k12的增大，P3呈先增大后減小的趨勢(shì).同時(shí)，從圖中還可以看出，當(dāng)k12過大或k23過小時(shí)，輸出功率極小，幾乎為0，同時(shí)也沒有上述的變化趨勢(shì).

圖11描述了三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)傳輸效率η與耦合系數(shù)k12、k23之間的關(guān)系.從圖中可以看出，隨k12和k23逐漸增大時(shí)，η逐漸增大，并最終達(dá)到了1個(gè)峰值.

(33)

(34)

保持k23不變，在式(2～33)中，對(duì)k12求偏導(dǎo)，令其偏導(dǎo)為0，即求：

(35)

此時(shí)得最優(yōu)k12為：

(36)

保持k12不變，對(duì)k23求偏導(dǎo)，令其偏導(dǎo)為0，即：

(37)

此時(shí)得最優(yōu)k23為：

(38)

(39)

此時(shí)最優(yōu)的k23為：

(40)

通過以上對(duì)三線圈系統(tǒng)的建模和Matlab仿真以及計(jì)算，可以看出在負(fù)載RL確定的情況下，影響系統(tǒng)性能的主要參數(shù)為耦合系數(shù)k12和k23，其在整個(gè)系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)的物理量是發(fā)射端與中繼線圈間距和中繼線圈與接收端的間距.由圖10可知，k23不能過小，因此表示中繼線圈與接收端的間距要盡量小一點(diǎn)，k12對(duì)應(yīng)的是傳輸距離，在保證傳輸距離的情況下，可以根據(jù)實(shí)際情況，選擇最優(yōu)的k23，保證P3或η最優(yōu).

2.3 四線圈WPT系統(tǒng)等效模型仿真分析

f=6.78 MHz；U1=15 v；L1=L2=L3=L41 μH；C1=C2=C3=C4=150 pF；R1=R2=R3=R4=1 Ω；RL=20 Ω；

通過Matlab參數(shù)仿真，可以得到耦合系數(shù)與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系圖如下所示.

圖12描繪了系統(tǒng)輸出功率P4與耦合系數(shù)k12、k23之間的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)k23一定，k12逐漸增大時(shí)，P4先增大，達(dá)到1個(gè)峰值后，然后逐漸緩慢減小，因此存在1個(gè)最優(yōu)的k12，使得P4達(dá)到最大；當(dāng)k12一定，k23逐漸增大時(shí)，P4在k12取值小的時(shí)候，呈先增大后緩慢減小的趨勢(shì)，在k12取值大的時(shí)候，P4隨k23的增大而逐漸增大.因此匹配合適的k12、k23可以使得P4達(dá)到最優(yōu).

圖13描繪了系統(tǒng)輸出功率P4與耦合系數(shù)k12、k34之間的關(guān)系，由圖可知，當(dāng)k34一定且其值較大時(shí)，隨著k12的逐漸增大，P4先逐漸增大，達(dá)到1個(gè)峰值后，逐漸減小；當(dāng)k12一定且其值較大時(shí)，隨著k34的增大，P4先增大后減小，當(dāng)k12一定且其值不大時(shí)，隨著k34的增大，P4逐漸增大，達(dá)到峰值.因此，合適匹配k12、k34的值可以使得P4達(dá)到最優(yōu).

圖12 系統(tǒng)輸出功率與耦合系數(shù)k12、k23關(guān)系圖(k34=0.8) 圖13 系統(tǒng)輸出功率與耦合系數(shù)k12、k34關(guān)系圖(k23=0.8)

圖14描繪了系統(tǒng)輸出功率P4與耦合系數(shù)k23、k34之間的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)k23、k34都比較小時(shí)，P4極小，隨著k23、k34的逐漸增大，可以看出P4逐漸增大，最終達(dá)到峰值.因此，在選擇k23、k34時(shí)，應(yīng)該選擇比較大的值.

圖15和圖17描繪了系統(tǒng)傳輸效率η與耦合系數(shù)k12、k34之間的關(guān)系以及與耦合系數(shù)k23、k34之間的關(guān)系，從兩圖中可以看出，隨著k12、k34的逐漸增大，η也逐漸增大，所以在選擇k12、k23時(shí)應(yīng)保證其比較大；對(duì)于k23、k34，也應(yīng)該遵循這一原則.

圖16描繪了系統(tǒng)傳輸效率η與耦合系數(shù)k12、k23之間的關(guān)系，從圖中可以看出，隨著k12、k23的逐漸增大，η也逐漸增大，但增大的幅度逐漸平緩，所以在選擇k12、k34時(shí)應(yīng)在保證傳輸效率的情況下匹配合適的k12、k34.

圖14 系統(tǒng)輸出功率與耦合系數(shù) 圖15 系統(tǒng)傳輸效率與耦合系數(shù) k23、k34關(guān)系圖(k12=0.8) k12、k23關(guān)系圖(k34=0.8)

圖16 系統(tǒng)傳輸效率與耦合系數(shù) 圖17 系統(tǒng)傳輸效率與耦合系數(shù) k12、k34關(guān)系圖(k23=0.8) k23、k34關(guān)系圖(k12=0.8)

(41)

(42)

首先，分析當(dāng)P4最優(yōu)時(shí)對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)的表達(dá)式.通過將式(41)分別對(duì)耦合系數(shù)求偏導(dǎo)，并令其為0，得出耦合系數(shù)的對(duì)應(yīng)表達(dá)式.

對(duì)k12求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得P4最優(yōu)時(shí)的k12為：

(43)

對(duì)k23求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得P4最優(yōu)時(shí)的k23為：

(44)

對(duì)k34求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得P4最優(yōu)時(shí)的k34為：

(45)

接下來分析η最優(yōu)時(shí)對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)的表達(dá)式.同樣，根據(jù)式(42),分別對(duì)耦合系數(shù)求偏導(dǎo)，令所得的偏導(dǎo)為0.

對(duì)k12求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得η最優(yōu)時(shí)的k12為0，因此沒有對(duì)應(yīng)的k12使得η最優(yōu)，對(duì)k23求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得η最優(yōu)時(shí)的k23為：

(46)

對(duì)k34求偏導(dǎo)，并令其偏導(dǎo)為0，則可得η最優(yōu)時(shí)的k34為：

(47)

綜上所述，在四線圈系統(tǒng)的設(shè)計(jì)好后，當(dāng)負(fù)載一定時(shí)，影響輸出功率P4和傳輸效率η的主要因素則就是耦合系數(shù).耦合系數(shù)k12、k23、k34分別對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)物理量是電源線圈與發(fā)射線圈間距、發(fā)射與接收線圈間距、接收與負(fù)載線圈間距.根據(jù)圖12、圖13，k12并不是越大越好，對(duì)其選擇合適的值才能得到最優(yōu)的P4，而根據(jù)圖15、圖16，對(duì)于η來說，k12則是越大越好，所以得根據(jù)系統(tǒng)是側(cè)重輸出功率還是傳輸效率來進(jìn)行選擇，這一點(diǎn)在求取最優(yōu)耦合系數(shù)時(shí)也體現(xiàn)出來了，因?yàn)樽顑?yōu)的輸出功率和最優(yōu)的傳輸效率所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)耦合系數(shù)是不一樣的.至于k23、k34，則是越大對(duì)系統(tǒng)性能越好，但k23對(duì)應(yīng)的是傳輸距離，所以得是在保證傳輸距離的前提下，k23、k34才能越大對(duì)系統(tǒng)性能越好.

3 結(jié)語

本文研究了目前常見的3種線圈數(shù)不同的無線電能傳輸系統(tǒng).分別對(duì)雙線圈、三線圈、四線圈無線電能傳輸系統(tǒng)從基本結(jié)構(gòu)、互感模型以及參數(shù)對(duì)性能影響這3個(gè)方面進(jìn)行了分析.構(gòu)造了系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)圖，并通過等效電路建立了互感模型，再通過Matlab進(jìn)行仿真分析，得出參數(shù)與性能之間的關(guān)系.

對(duì)于無線電能傳輸系統(tǒng)，線圈數(shù)的不同所對(duì)應(yīng)的影響系統(tǒng)性能的主要因素如下：

1)對(duì)于雙線圈電磁感應(yīng)式無線電能傳輸系統(tǒng)，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)好之后，影響系統(tǒng)性能的主要參數(shù)為耦合系數(shù)k和負(fù)載RL，同時(shí)在系統(tǒng)性能最優(yōu)時(shí)，分別有對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)和負(fù)載值，可以根據(jù)系統(tǒng)是側(cè)重輸出功率還是側(cè)重傳輸效率來選擇最優(yōu)的參數(shù).

2)對(duì)于三線圈無線電能傳輸系統(tǒng)，使得負(fù)載RL為定值，再對(duì)系統(tǒng)性能的影響參數(shù)進(jìn)行分析，可以得出影響因素主要有耦合因數(shù)k12、k23，k12對(duì)應(yīng)系統(tǒng)傳輸距離.同時(shí)存在最優(yōu)的k23使得系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu)，在保證傳輸距離的情況下，可以選擇最優(yōu)的k23使得輸出功率或傳輸效率達(dá)到最優(yōu).

3)對(duì)于四線圈無線電能傳輸系統(tǒng)，同樣使負(fù)載RL為定值，則影響系統(tǒng)性能的主要因素為耦合因數(shù)k12、k23、k34，k12根據(jù)系統(tǒng)側(cè)重點(diǎn)的不同進(jìn)行選擇，而k23、k34則是越大對(duì)系統(tǒng)性能影響越好，但k23對(duì)應(yīng)系統(tǒng)傳輸距離，所以得滿足系統(tǒng)傳輸距離的前提下，盡量選擇較大的值.

無線電能傳輸系統(tǒng)線圈數(shù)不同，影響系統(tǒng)性能的主要因素也會(huì)有所變化，通過對(duì)3種系統(tǒng)進(jìn)行建模仿真，對(duì)影響系統(tǒng)性能的主要因素進(jìn)行綜述，可為線圈數(shù)不同的無線電能傳輸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考.