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    基于無失效數(shù)據(jù)的某型發(fā)動機(jī)可靠性參數(shù)Bayes估計

    2021-01-28 03:08:34李東兵胡文林
    海軍航空大學(xué)學(xué)報 2020年5期
    關(guān)鍵詞:指數(shù)分布失效率穩(wěn)健性

    李東兵,胡文林

    (1.海軍參謀部某訓(xùn)練中心,北京100841;2.92728部隊,上海200436)

    在定時截尾試驗中,對于高可靠性、高精度的產(chǎn)品,經(jīng)常會出現(xiàn)極少失效甚至是無失效數(shù)據(jù)的情形[1-4]。如何在無失效數(shù)據(jù)情況下對產(chǎn)品的可靠性參數(shù)進(jìn)行科學(xué)合理的評估,具有重要的理論和實用價值[5-10]。

    文獻(xiàn)[11]給出了泊松分布參數(shù)的期望Bayes(Expected Bayes,E-Bayes)表達(dá)式;文獻(xiàn)[12]給出了只有一個失效數(shù)據(jù)時失效概率的E-Bayes估計;文獻(xiàn)[13]在特定超參數(shù)先驗分布的條件下,推導(dǎo)了失效率的EBayes 估計;文獻(xiàn)[14]采用修正多層Bayes 方法對某型軸承的失效概率進(jìn)行估計;文獻(xiàn)[15]研究了復(fù)雜系統(tǒng)可靠度的多層Bayes估計。

    這些文獻(xiàn)雖然對可靠性參數(shù)作出了較為準(zhǔn)確和穩(wěn)健的估計,但大多只專注于某一類估計方法。

    本文在某型裝備發(fā)動機(jī)無失效數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布時,探討失效率的多層Bayes估計方法和E-Bayes估計方法,對比2種方法的推導(dǎo)證明過程,并結(jié)合實例數(shù)據(jù)分析得到可靠度的估計結(jié)果,指出E-Bayes 估計方法的結(jié)果更為準(zhǔn)確和穩(wěn)健,且計算更加方便。

    1 失效率的多層Bayes估計

    本文研究對象為某型裝備發(fā)動機(jī),已知其儲存失效數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布,其概率密度函數(shù)為:

    式(1)中:t>0;0<λ<∞,λ 為指數(shù)分布失效率。

    1.1 多層先驗分布的確定

    在指數(shù)分布下,失效率對應(yīng)的共軛先驗分布為Gamma分布[16],其密度函數(shù)為:

    根據(jù)超參數(shù)的減函數(shù)構(gòu)造法[17],對密度函數(shù)關(guān)于λ 求一階導(dǎo):

    因而,當(dāng)00 時,π(λ|a,b)為λ 的減函數(shù)。基于對Bayes 估計的穩(wěn)健性考慮,超參數(shù)b 取值越大,先驗分布的尾部將越細(xì),這會使Bayes估計具有越差的穩(wěn)健性[1]。因此,對b 設(shè)立一個上界s,s>0 為某一常數(shù),由此確定超參數(shù)的取值范圍為0

    1.2 多層先驗密度函數(shù)的確定

    考慮a 和b 分別服從[0,1]和[0,s]上的均勻分布,則失效率λ 的多層先驗密度函數(shù)為:

    1.3 失效率的多層Bayes估計

    對壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進(jìn)行m 次定時截尾試驗,結(jié)果為{ }(ni,ri,ti),i=1,2,…,m 。其中:ti為在第i 次試驗中的截尾時間,且t1

    假設(shè)失效率λ 的多層先驗密度函數(shù)πHB(λ)可由式(3)給出,則在平方損失下,λ 的多層Bayes估計為:

    證明:

    1)似然函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量Xi表示第i 次定時截尾試驗中發(fā)生失效的樣品個數(shù),則Xi~π(nitiλ),即Xi服從參數(shù)為nitiλ 的泊松分布:

    式中:ri=0,1,2,…,ni,i=1,2,…,m。

    事實上,X1,X2,…,Xm是相互獨立的,則失效率λ的似然函數(shù)表示為:

    試驗結(jié)果為無失效情形時,ri=0,i=1,2,…,m,由此得到無失效情形下失效率λ 的似然函數(shù)為:

    2)后驗分布。依據(jù)Bayes 定理,λ 的多層后驗密度為:

    記(b+Q)λ=ξ ,由于b>0,Q>0,0<λ<∞,故0<ξ<∞。代入式(5)右端的分母積分項可得:

    代入式(5)可得

    3)多層Bayes 估計。在平方損失下,失效率λ 的多層Bayes估計為:

    令(b+Q)λ=ξ,同式(5)的推導(dǎo)過程,可得:

    證畢。

    2 失效率的E-Bayes估計

    2.1 先驗分布的確定

    在式(1)、(2)的基礎(chǔ)上,與1.1節(jié)相同,對b 設(shè)立一個上界s,s>0 為某一常數(shù),確定超參數(shù)的取值范圍為0

    2.2 失效率的E-Bayes定義

    2.3 失效率的E-Bayes估計

    根據(jù)1.3 節(jié)的無失效數(shù)據(jù)的描述,假設(shè)失效率λ的先驗密度函數(shù)π(λ|a,b)由式(2)給出,則在平方損失下,λ 的E-Bayes估計為:

    證明:

    1)似然函數(shù)。與1.3 節(jié)證明相同,似然函數(shù)為L(0|λ)=exp(-Qλ)。

    2)后驗分布。若λ 的先驗密度函數(shù)由式(2)給出,則依據(jù)Bayes定理,λ 的后驗密度為:

    記(b+Q)λ=ξ,同式(5)的推導(dǎo)過程,可得:

    3)λ 的Bayes估計。在平方損失下,λ 的Bayes估計為:

    4)λ 的E-Bayes 估計。在平方損失下,失效率λ的E-Bayes估計為:

    證畢。

    3 實例分析

    3.1 可靠度的估計

    產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布,則其可靠度函數(shù)為:

    R(t)=exp(-λt)。

    由1.3節(jié)和2.3節(jié)分別給出的λ 的多層Bayes估計和E-Bayes估計,得出可靠度R(t)的多層Bayes估計和E-Bayes估計如下:

    3.2 參數(shù)估計的評價

    穩(wěn)健性是統(tǒng)計學(xué)中的一個專門術(shù)語,20世紀(jì)70年代開始在控制理論的研究中流行起來,用以表征控制系統(tǒng)對特性或參數(shù)擾動的不敏感性[18]。本文主要以可靠性參數(shù)估計值的極差來表征由2種估計方法得到的估計值的穩(wěn)健性,極差值越小,反映得到的可靠性參數(shù)估計值越穩(wěn)健。

    3.3 可靠性參數(shù)估計及分析

    表1 發(fā)動機(jī)無失效數(shù)據(jù)Tab.1 Zero-failure data of the engine

    表2 λ 的2類估計結(jié)果Tab.2 Calculation results of different estimations on λ ×10-5

    表3 R(t)的2類估計結(jié)果Tab.3 Calculation results of different estimations on R(t)

    圖1 s=1 000 時可靠度的2類估計值Fig.1 Calculation results of two types of estimations while s=1 000

    圖2 可靠度2類估計值的極差Fig.2 Ranges of two types of estimations on R(t)

    (3)在推導(dǎo)和計算過程中,相比于含有二重積分的多層Bayes估計,失效率的E-Bayes估計計算更為方便簡潔,因而也更適用于工程應(yīng)用中。

    4 結(jié)論

    下一步將針對壽命服從其他分布情形時的參數(shù)估計值進(jìn)行討論,并探討超參數(shù)服從的分布類型對估計值的影響。

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