基于“以學(xué)為中心”理念的格林公式的探究式教學(xué)?

景慧麗 劉 華

(火箭軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引 言

格林公式是《高等數(shù)學(xué)》課程中的一個重點內(nèi)容也是一個難點內(nèi)容[1]，從形式上建立了平面有界閉區(qū)域上的二重積分和區(qū)域邊界上的第二類平面曲線積分之間的聯(lián)系，實質(zhì)揭示的是函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的取值規(guī)律和區(qū)域邊界上的取值規(guī)律之間的聯(lián)系，具有重要的理論價值和應(yīng)用價值.其在多元函數(shù)積分學(xué)中最重要的應(yīng)用之一是計算第二類平面曲線積分.但是在教學(xué)中大部分學(xué)生甚至是復(fù)習(xí)考研的學(xué)生使用格林公式時經(jīng)常出錯，甚至都不知道格林公式的使用條件.這是因為一方面格林公式確實是比較抽象，另一方面?zhèn)鹘y(tǒng)講授法都是先復(fù)習(xí)牛頓—萊布尼茨公式[2]，再給出平面區(qū)域的分類及其邊界曲線的正向定義，然后直接給出格林定理及其證明，最后再應(yīng)用格林公式，所以大部分學(xué)生既記不住格林公式，更不理解格林公式的使用條件.為了幫助學(xué)生理解和熟記格林公式，并能正確地運用格林公式計算第二類平面曲線積分，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實踐，對這部分內(nèi)容進(jìn)行了探究式教學(xué).

1 格林公式的教學(xué)過程

(1)強調(diào)聯(lián)系性，提出問題，進(jìn)行探索.

圖1 X-型域

推導(dǎo)到這里，很容易發(fā)現(xiàn)并能總結(jié)出其間的關(guān)系，即:若令g(x，y)=P(x，y)， 則

(2)大膽猜想，進(jìn)行驗證.

由于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同，接受新事物的能力也不同，所以存在猜想“五花八門”或“瞎猜胡猜”的現(xiàn)象.因此，強調(diào)“猜想”要建立在一定基礎(chǔ)知識之上，通過觀察、分析和實驗等合情猜想.對猜想進(jìn)行驗證是讓學(xué)生尋找方法對自己的猜想進(jìn)行驗證.最后進(jìn)行總結(jié)，可以類比式(1)的獲得過程，即把二重積分轉(zhuǎn)化成定積分試試，并帶領(lǐng)學(xué)生共同推導(dǎo)驗證:

圖2 Y-型域

其中L是D的逆時針方向的邊界曲線.

這個等式與大部分學(xué)生的猜想是不同的，是通過讓學(xué)生總結(jié)式(2)成立的條件這種方法來解決學(xué)生的疑惑的.接下來需要把式(2)中的函數(shù)P(x，y)換成Q(x，y)，并沒有直接替換，這是由于教材中第二類平面曲線積分的定義[1]是以 ∫LP(x，y)dx、∫LQ(x，y)dy形式給的，數(shù)學(xué)符號不要亂用，最好與教材符號保持一致，所以把式(2)中的函數(shù)P(x，y)換成Q(x，y)，即得等式

顯然式(1)和(3)相加就是常用形式的格林公式，但是如果直接讓式(2)相加，學(xué)生就會產(chǎn)生疑惑:為什么要相加?相加有什么意義呢?基于以上考慮，需先回憶第二類平面曲線積分的物理背景，然后了解其常見形式是∮LPdx+Qdy，觀察式(1)和(3)，會發(fā)現(xiàn)2式右端相加剛好是∮LPdx+Qdy.此時，提出問題:2式能相加嗎?相加的條件是什么?通過對上述問題的解答，并經(jīng)過歸納總結(jié)就得到了下面的結(jié)論:

當(dāng)區(qū)域D既是X-型域又是Y-型域，L是D的逆時針方向的邊界線時，等式

成立.

其實式(4)就是特殊單連通區(qū)域上的格林公式.即由平面上的有界閉區(qū)域并不都是這么特殊引出單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域的概念.這樣就解決了學(xué)生的疑惑——為什么要講這個概念，學(xué)生更容易理解和接受新知識.

(3)單、復(fù)連通區(qū)域及曲線正向見面.

在單、復(fù)連通區(qū)域的概念后，提出2個問題讓學(xué)生思考、猜想:一般單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域上式(4)是否成立?如果L是D的順時針方向的邊界線，式(4)還成立嗎?由此引出曲線正向的概念，這樣就避免了一開始就給出該概念的突兀性.到此，所有準(zhǔn)備工作完成，接下來就是證明式(4)在一般單連通區(qū)域及復(fù)連通區(qū)域上也是成立的.

(4)借助已知來研究未知，獲取格林公式.

借助已知來研究未知是最常用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)研究問題的方法一般是從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生很自然地想到先證明一般單連通區(qū)域的情形，啟發(fā)學(xué)生把一般的轉(zhuǎn)化成特殊的，這樣很容易地完成此類區(qū)域的證明過程.對于復(fù)連通區(qū)域的證明，類比一般單連通區(qū)域的證明方法，把復(fù)連通區(qū)域轉(zhuǎn)化成一般單連通區(qū)域來證明.但是部分學(xué)生不知道如何轉(zhuǎn)化，是通過實物演示的方法來輔助分析的.另外，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，部分學(xué)生會用大區(qū)域減去小區(qū)域這種錯誤的方法進(jìn)行證明，因此用了故意出錯的策略.

(5)揭示格林公式的本質(zhì)，類比推廣.

獲得格林公式后，讓學(xué)生從被積函數(shù)和積分域2個方面思考、總結(jié)公式所蘊含規(guī)律，從而揭示格林公式的本質(zhì).并讓學(xué)生把格林公式和牛頓—萊布尼茨公式作比較，從而得到2個公式之間的關(guān)系，最后再類比這2個公式的本質(zhì)，把這種思想推廣到空間，這樣既拓展了學(xué)生的知識又為后面的教學(xué)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).

(6)應(yīng)用格林公式，加深理解.

為了加深對格林公式的理解，精選下面的例題[4]:

其中L是圓周x2+y2=ax(a＞0)的正向.

2 結(jié)束語

格林公式的探究式教學(xué)還原了知識的創(chuàng)建過程，融入了數(shù)學(xué)思想方法，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).需要注意的是，在探究式教學(xué)中，教師是學(xué)生探索活動的設(shè)計者和探索過程中的引導(dǎo)者，如，在格林公式的教學(xué)中，式(1)的獲得是探究式教學(xué)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，運用了從特殊引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的策略.所以，要想充分發(fā)揮好探究式教學(xué)的優(yōu)勢，教師必須提高自身素質(zhì)、熟悉教學(xué)內(nèi)容、了解教學(xué)對象，這樣才能充分發(fā)揮好自己的主導(dǎo)作用.