《數(shù)學(xué)史》課程教學(xué)評價實踐探索

徐傳勝 杜彥武 谷龍飛 王富磊

(臨沂大學(xué) 山東 臨沂 276000)

數(shù)學(xué)教育家史密斯(D. E. Smith，1860—1944)在德國海德堡第三屆國際數(shù)學(xué)家大會上，建議在大學(xué)設(shè)置精密科學(xué)史課程(含數(shù)學(xué)史)，指明“數(shù)學(xué)史已被公認為是師范教育以及大中學(xué)校學(xué)生博雅教育中的重要學(xué)科之一?！盵1]至1980年代末，美國有60%以上的師范院校開設(shè)《數(shù)學(xué)史》課程[2]，至今達到了96%左右。

我國南開大學(xué)是國內(nèi)最早設(shè)置《數(shù)學(xué)史》課程的高校，數(shù)學(xué)史家錢寶琮(1892—1974)于1925年始在該校講授《數(shù)學(xué)史》；后在任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系主任期間，他亦為該系學(xué)生講授《數(shù)學(xué)史》課程。自1980年始，我國師范院校及部分綜合性大學(xué)陸續(xù)開設(shè)了《數(shù)學(xué)史》課程。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和進步，國內(nèi)愈來愈多高校認識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的重要性和必要性。據(jù)不完全統(tǒng)計，截至2019年，國內(nèi)1246所高校(不含高職)中設(shè)置《數(shù)學(xué)史》課程者有776所，約占62.28%。其中既有清華大學(xué)、北京大學(xué)、南開大學(xué)等著名高校，也有臨沂大學(xué)、魯東大學(xué)、重慶文理學(xué)院等地方院校。

《數(shù)學(xué)史》是面向數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生開設(shè)的專業(yè)選修課，每周2學(xué)時，記2學(xué)分。主要講授古代數(shù)學(xué)(古埃及、美索不達米亞、中國、古希臘)、近代數(shù)學(xué)(中國、印度、阿拉伯、歐洲)和20世紀數(shù)學(xué)概觀，并適當(dāng)穿插介紹數(shù)學(xué)最新發(fā)展動態(tài)。側(cè)重介紹數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會、政治、經(jīng)濟和一般文化的聯(lián)系。因數(shù)學(xué)史內(nèi)容博大精深，故面對教學(xué)內(nèi)容多、課時較少的矛盾，亟需在數(shù)學(xué)思想啟迪與教學(xué)評價形式上有所創(chuàng)新。據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗，試對《數(shù)學(xué)史》課程進行了一些教學(xué)改革，尤其是在教學(xué)評價體系方面做了一些理論和實踐探索。

一、《數(shù)學(xué)史》課程教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)就是使人變得更聰明，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和意義，實現(xiàn)自由全面可持續(xù)發(fā)展。任何一門數(shù)學(xué)課程都應(yīng)教會學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”，數(shù)學(xué)史更有著其獨特的教育意義。有鑒于此，《數(shù)學(xué)史》課程應(yīng)側(cè)重于數(shù)學(xué)思想探討，其主要教學(xué)方法為：

(一)思想引領(lǐng)：彰顯著中國古典數(shù)學(xué)的輝煌成就，增強學(xué)生民族文化自信，激發(fā)其愛國情懷；分析數(shù)學(xué)科學(xué)演進規(guī)律，理解和把握數(shù)學(xué)發(fā)展的理論趨勢；

(二)方法示例：分析數(shù)學(xué)史研究的典型方法，如“文獻認證”“古算復(fù)原”“算理分析”“交流與比較”，以探索數(shù)學(xué)研究的內(nèi)在規(guī)律性；

(三)案例分析：選擇有代表性的經(jīng)典論文開展探究性閱讀和批判性思考，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的思想靈魂，進而培養(yǎng)“原創(chuàng)性研究”能力；

(四)文理融合：注重多學(xué)科交叉融合，引導(dǎo)學(xué)生不但從數(shù)學(xué)科學(xué)角度，亦要從歷史、文化、藝術(shù)等視角認識問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。

從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)科學(xué)蘊含著豐富的人文精神，利用數(shù)學(xué)家的偉大成就，可培養(yǎng)學(xué)生愛科學(xué)、愛祖國情懷；重現(xiàn)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新思想，可激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新火花；挖掘數(shù)學(xué)家身上具有的辯證唯物主義因素，可幫助學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀；弘揚數(shù)學(xué)家的高貴品質(zhì)，可培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的意志。故數(shù)學(xué)家的人格魅力可使學(xué)生精神達到凈化和升華，身心得到和諧健康的發(fā)展。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想，而且數(shù)學(xué)發(fā)展過程的多元化、數(shù)學(xué)思考的多樣性所展現(xiàn)出的無窮智慧，可逐漸沉積為學(xué)生的內(nèi)在涵養(yǎng)，成為其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的理論支撐[3]。

《數(shù)學(xué)史》課程評價方法既不適合以期末考試成績作為主要評價依據(jù)，也不宜以一篇小論文確定最終成績。課題組在講授課程內(nèi)容的同時，從學(xué)生現(xiàn)有認知水平出發(fā)，設(shè)定多項切實可行、生動有趣、富有創(chuàng)新性的任務(wù)。由教師為學(xué)生提供學(xué)習(xí)平臺和學(xué)習(xí)支持，引導(dǎo)其以學(xué)習(xí)小組為單位，通過對信息的收集、分析、處理和總結(jié)，完成學(xué)習(xí)任務(wù)并展示其學(xué)習(xí)成果。

二、《數(shù)學(xué)史》課程評價方案

(一)課程基本評價體系

挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(N. H. Abel，1802—1829)曾把高斯(C. F. Gauss，1777—1855)比喻成狐貍，用尾巴抹平了自己在沙地上走過的腳印，因其著述簡明扼要，未展現(xiàn)其最初的創(chuàng)新思維。而高斯卻答：“凡有自尊心的建筑師，在瑰麗大廈建成之后，決不會把腳手架留在那里?！豹q如數(shù)學(xué)教育家弗羅伊登塔爾(H．Freudenthal，1905—1990)云，今已把數(shù)學(xué)家的原始“火熱思考”變成了“冰冷美麗”。作為行走于數(shù)學(xué)和歷史之間的《數(shù)學(xué)史》課程，應(yīng)注重創(chuàng)新人才培養(yǎng)，彰顯其獨特教育功能，充分展示數(shù)學(xué)家的思維活動，綻放數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新花火，重現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程。

人類對數(shù)與形的認識是從簡單到復(fù)雜，這與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與形的順序基本一致。遠古時代的數(shù)字用來計算野果、人群、獵物數(shù)量，而幾何圖形則被用來測量田地、河流和繪制道路。從此，觀察者、夢想人、好奇者和匠人踏入了數(shù)學(xué)領(lǐng)地。若想了解數(shù)學(xué)到底是什么，就必須追隨其腳步，追溯那漫漫歲月。這樣也有助于思考我是誰，我能干什么，我的夢想是啥？每個學(xué)生都擁有強大的學(xué)習(xí)潛能，而打開這寶庫的鑰匙是其發(fā)自內(nèi)心的原動力。

基于建構(gòu)主義成績評價觀，《數(shù)學(xué)史》課程的學(xué)生成績評價基本方案為：以促進學(xué)生全面發(fā)展為中心，既通過評價其學(xué)習(xí)內(nèi)容，也評價了知識結(jié)構(gòu)；既通過評價其獨立學(xué)習(xí)能力,也評價了合作學(xué)習(xí)能力；既注重對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價，也注重對學(xué)習(xí)過程的評價；既考察其書本知識，也考察在社會實踐中的表現(xiàn)。課程學(xué)習(xí)評價方式主要包括日常表現(xiàn)(占30%)、學(xué)習(xí)過程(占30%)和結(jié)果性評價(占40%)(表1)。同時，為了鼓勵部分學(xué)生自主學(xué)習(xí)、脫穎而出，我們精心設(shè)計了期末考試免試條件。旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。以本為本，促進學(xué)生主動發(fā)展和全面發(fā)展，使數(shù)學(xué)文化浸潤和滋養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，強化學(xué)生對知識的理解和運用能力，挖掘?qū)W生自我實現(xiàn)的個體潛能，全面提高學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力。滿足下列條件之一者，成績直接記為優(yōu)等：

1.課堂討論踴躍參與，并有5次以上回答具有創(chuàng)新思想者；

2.復(fù)原某個數(shù)學(xué)問題者，如祖沖之求圓周率的編程實現(xiàn)；

3.對某數(shù)學(xué)家思想有深入研究者(不是泛泛而談，要有獨到之處)；

4.閱讀數(shù)學(xué)經(jīng)典(如《九章算術(shù)》《幾何原本》《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》)2部以上者；

5.數(shù)學(xué)史講座優(yōu)秀者，數(shù)學(xué)文化演講優(yōu)秀者；

6.數(shù)學(xué)史讀書筆記、調(diào)研報告優(yōu)秀者，數(shù)學(xué)文化傳播和實踐活動優(yōu)秀者；

7.精美數(shù)學(xué)文化元素工藝品制作者；

8.其它方面相關(guān)優(yōu)秀表現(xiàn)者。

表1課程評價基本體系

(二)日常學(xué)習(xí)表現(xiàn)和學(xué)習(xí)過程評價

引導(dǎo)學(xué)生透過一些史實和現(xiàn)象，觸摸到其蘊含的數(shù)學(xué)文化價值和數(shù)學(xué)原始理念，使其構(gòu)成一種具有生命活力的積極影響。進而引導(dǎo)學(xué)生逐步進入廣袤而深邃的數(shù)學(xué)世界，欣賞其空谷幽蘭、冰山雪蓮和絕頂靈芝。將學(xué)生置身于數(shù)學(xué)規(guī)則發(fā)生、發(fā)展、形成的生動過程，引導(dǎo)其親歷觀察、猜想、驗證、建模、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，可獲得一種更有力度、充滿張力的數(shù)學(xué)思考及觸及心靈的精神愉悅，誠可謂“道理躍如，若指掌按圖無難坐得”。開課伊始，師生分別建立《數(shù)學(xué)史》課程學(xué)習(xí)檔案，以通過觀察和記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)情景中完成各種學(xué)習(xí)任務(wù)時的表現(xiàn)來評價之。此乃監(jiān)控和了解學(xué)生整個學(xué)習(xí)過程，把握其學(xué)習(xí)軌跡，進而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)反思的有效手段之一。

大約在授課三、四周后，學(xué)生已初步了解《數(shù)學(xué)史》課程內(nèi)容，為培養(yǎng)良好團隊協(xié)作精神，讓其自由組合成學(xué)習(xí)討論小組，一般7人左右，選出組長1名，分別冠以數(shù)學(xué)家名字，諸如牛頓小組、高斯小組、歐拉小組、劉徽小組和祖沖之小組等。每個小組都根據(jù)組名來確定討論主題，精讀教材相關(guān)內(nèi)容，收集相關(guān)數(shù)學(xué)史資料，同時組長做好過程性學(xué)習(xí)活動記錄。各成員之間既有分工又有合作，有收集資料者，有負責(zé)撰寫者，有負責(zé)實驗者等。大家齊心協(xié)力取得了一些可喜成績。如：祖沖之小組給出了其求圓周率的編程程序；何承天組討論了《元嘉歷》創(chuàng)立的數(shù)學(xué)背景；阿基米德小組給出多種求球體積的方法；笛卡兒小組給出了一些奇思妙想等。

當(dāng)然，成立學(xué)習(xí)小組并不在于學(xué)生是否能夠取得研究成果，關(guān)鍵是讓他們逐步形成了正確數(shù)學(xué)觀。因而過程性評價較為全面地評價學(xué)生的研究性學(xué)習(xí),是對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)效果進行三位一體的評價。注重“學(xué)得好”是希望通過讓學(xué)生體驗參與研究性學(xué)習(xí)活動獲得親身體驗，培養(yǎng)其認知探究方法、創(chuàng)新精神和實踐能力。同時學(xué)生亦可及時反思自己的進步和不足，以便盡快調(diào)整學(xué)習(xí)策略和方法。

在課堂教學(xué)過程中，我們注重張揚學(xué)生的個性，吸引更多人參與到課堂討論。每堂課我們都精心準備，反復(fù)思考以下問題如何有機融入課堂教學(xué)：

1.如何利用數(shù)學(xué)史料激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進其不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題；

2.如何借助數(shù)學(xué)史料激發(fā)學(xué)生主動探究的學(xué)習(xí)欲望，由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)化為“我要學(xué)”，做到上課不玩手機，認真聽老師講課；

3.如何通過數(shù)學(xué)史料來研究學(xué)生的數(shù)學(xué)認知規(guī)律，促進其實現(xiàn)數(shù)學(xué)認識的新飛躍，能夠真正享受數(shù)學(xué)；

4.如何利用數(shù)學(xué)史料陶冶學(xué)生高尚情操，啟迪其科學(xué)智慧，激勵學(xué)生的創(chuàng)造熱情,改變其固有的數(shù)學(xué)觀；

5.如何通過數(shù)學(xué)史料來滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐步提升學(xué)生的綜合科學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

另外，《數(shù)學(xué)史》課程“教的過程”和“學(xué)的過程”皆不能僅僅局限于課堂，故教師對學(xué)生記錄檔案不是簡單進行等級評價，而是以學(xué)生真實學(xué)習(xí)表現(xiàn)縱向評價學(xué)生個人的發(fā)展軌跡(以入學(xué)成績作為參照，對比第1、2學(xué)期考試成績)，評價亦能做到因人而異(有些學(xué)生可能高考失常，梳理其易麻痹大意之處)；對于少數(shù)民族學(xué)生，尤其是維吾爾族學(xué)生因其母語不是漢語，要給予更多關(guān)愛。同時鼓勵他們多多參與課堂討論，注意挖掘自己民族的寶貴數(shù)學(xué)文化。

因此，建立《數(shù)學(xué)史》課程學(xué)習(xí)檔案，不僅可評價學(xué)生在學(xué)習(xí)過程所表現(xiàn)出的創(chuàng)新精神、協(xié)作能力、實踐能力，還能了解其情感態(tài)度價值觀等諸多發(fā)展情況。猶如歐拉(L.Euler，1707—1783)云：“一個科學(xué)家若只是做出了給科學(xué)寶庫增加財富的發(fā)現(xiàn)，而不能坦率闡述那引導(dǎo)他做出發(fā)現(xiàn)的思想，則其就沒有給科學(xué)做出足夠的工作?！盵4]

(三)學(xué)習(xí)結(jié)果性評價

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家蘇霍姆林斯基(В.А.Сухомли нский,1918-1970)提出：“只有教師思考的大腦才能教會學(xué)生大腦的思考，同樣只有喜歡學(xué)習(xí)的教師才能培養(yǎng)喜歡學(xué)習(xí)的學(xué)生?！盵5]隨著以海量、多樣和高速為特征的大數(shù)據(jù)時代到來，應(yīng)利用大數(shù)據(jù)的挖掘與分析指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，為每個學(xué)生量身定做學(xué)習(xí)環(huán)境與個性化活動。充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)拓展學(xué)習(xí)空間，以交往學(xué)習(xí)、自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)理念設(shè)計教學(xué)，融知識傳授、能力培養(yǎng)和素質(zhì)提升于一體，注重理論與實踐相結(jié)合、課內(nèi)與課外學(xué)習(xí)相結(jié)合、面授與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)相結(jié)合、班級授課與小組合作交流學(xué)習(xí)相結(jié)合。根據(jù)課程內(nèi)容和學(xué)生個性特征，靈活運用講授法、討論法、探究法、案例法、對話教學(xué)法、實踐體驗法等多種教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過程，增加合作交流、自主學(xué)習(xí)的自我意識和發(fā)展愿望。[6]

《數(shù)學(xué)史》課程的評價方法從學(xué)生現(xiàn)有認知水平出發(fā)，設(shè)定了若干項切實可行、生動有趣、引人入勝、富有創(chuàng)新性的學(xué)習(xí)活動。諸如原著閱讀比賽、數(shù)學(xué)史演講、數(shù)學(xué)文化沙龍、美與數(shù)學(xué)、史料研究、數(shù)學(xué)史小品等學(xué)習(xí)活動。尤其是讓少數(shù)民族學(xué)生講解該民族的數(shù)學(xué)發(fā)展動態(tài)，既增強了他們的民族文化自信，又開闊了同學(xué)們的數(shù)學(xué)視野。

學(xué)習(xí)結(jié)果評價是對學(xué)生在學(xué)習(xí)活動結(jié)束后所獲得的知識技能、思想方法、情感態(tài)度等諸多方面進行地評價，旨在考察和檢測學(xué)生研究性學(xué)習(xí)后的成果和質(zhì)量。對于研究性學(xué)習(xí)結(jié)果評價，我們是從整體角度，以學(xué)生的最終文字材料為基本依據(jù)進行總結(jié)性評價。學(xué)習(xí)結(jié)果有多種表現(xiàn)方式，可以是數(shù)學(xué)編程、數(shù)學(xué)劇目、數(shù)學(xué)詩歌、數(shù)學(xué)漫畫、數(shù)學(xué)論文、讀書筆記、工藝作品、數(shù)學(xué)史演講、數(shù)學(xué)文化研究報告、研究成果現(xiàn)場匯報等。

對于學(xué)習(xí)結(jié)果作品進行評價時，由教師、學(xué)生代表一起對各學(xué)習(xí)小組的作品進行評價，必要時也可以邀請相關(guān)專家參加，最終給出指導(dǎo)性意見和建議。這樣可使得每個人都能有所收獲。

對于期末考試試題，我們可謂進行了精心打造。按照教學(xué)內(nèi)容，命2套同等難度的覆蓋整個學(xué)期授課內(nèi)容的試題。其中基礎(chǔ)題占65%，中等難度題占20%，高難度題占15%。試題遵循教學(xué)大綱的要求，注意突出重點，既要考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的識記和理解，也要檢驗對學(xué)生分析問題和解決問題的能力?？荚囶}型主要包括填空題、名詞解釋、計算題、簡答題和論述題。整套試題力求避免學(xué)生死記硬背現(xiàn)象，注重考察其綜合科學(xué)素養(yǎng)和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的基本能力。多年教學(xué)經(jīng)驗、試卷分析和學(xué)生反饋已充分證實了這一點，一般成績分布為偏正態(tài)分布。

結(jié)語

在《數(shù)學(xué)史》課程教學(xué)評價實踐探索過程中，我們應(yīng)注重教與學(xué)、訓(xùn)與練和主題研討互相依存、互相聯(lián)系，從而構(gòu)成有機多元化的教學(xué)評價過程。評價主體包括教師和學(xué)生，即教師對學(xué)生的評價、學(xué)生間的相互評價以及學(xué)生的自我評價三個部分。其中教師評價與學(xué)生評價相互均衡分配，既能保證學(xué)生的主體地位,也保證了評價信息的公正與全面；既尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，也尊重了學(xué)生在評價中的主體地位。

通過實施《數(shù)學(xué)史》課程過程評價方式，能夠體現(xiàn)和細化學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，更加準確地評價學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。該評價體系極大調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與性，使得學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了解數(shù)學(xué)史知識，而且鍛煉了其實踐能力、研究能力及合作意識，最可貴的是不少學(xué)生逐漸學(xué)會了數(shù)學(xué)思考。因此，注重課程過程性評價并未把學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)成果分隔開來,而是對學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)成果的綜合性評價，旨在為學(xué)生設(shè)計一條專享性路徑，培養(yǎng)其獨特性的創(chuàng)新素養(yǎng)之路。