“圓” 來 如 此*
——芻談三角問題中“隱圓”的發(fā)掘策略

廣東省廣州市南武中學(xué) (510240) 陳長定廣東省廣州市廣州開發(fā)區(qū)外國語學(xué)校 (510700) 蔡軍喜

我們常常會(huì)遇到一類解三角形問題，道是無“源”卻有圓.對于題目中顯然存在的圓，學(xué)生求解時(shí)大多困難不大，而對于部分題目中隱性存在的圓，如果不善于挖掘題中的隱含信息，將圓化“隱”為“顯”，則計(jì)算往往會(huì)非常繁冗，以致困難．構(gòu)建將題目中的圓化“隱”為顯策略，將分散的信息集中于一個(gè)圓中，問題往往能夠化繁為簡、化難為易.下面筆者結(jié)合解三角形中部分高考及各地模擬考試中的典型試題，談?wù)勗谌切沃袑ⅰ半[圓”問題化“隱”為“顯”的常見類型和策略，供參考.

1 定長

我們知道，平面內(nèi)到定點(diǎn)(圓心)的距離等于定長(半徑) 的點(diǎn)的軌跡是圓，因此有關(guān)涉及定(共)點(diǎn)、定長或等長的問題往往可以聯(lián)想構(gòu)造輔助圓來解決．

例1 (2018六校聯(lián)考理科16題)在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DC=2BD,AB:AD:AC=3:k:1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

圖1

分析：觀察題目條件AB:AD:AC=3:k:1，即B,D,C三點(diǎn)到共點(diǎn)A的距離，聯(lián)想到圓的定義，以點(diǎn)A為圓心，分別以AB，AC長為半徑構(gòu)造圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決.

圖2

點(diǎn)評：當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)(或共點(diǎn))，并能找到到這個(gè)定點(diǎn)(或共點(diǎn))的距離等于定長的一些點(diǎn)時(shí)，常?？梢愿鶕?jù)圓的定義構(gòu)造隱形圓，輔助解題.

2 定角

在同一個(gè)圓中，同弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧長或弦長也相等.據(jù)此說明，若三角形的某邊及其對角確定(一邊一角)，則該邊所對的頂點(diǎn)必在其外接圓上運(yùn)動(dòng)．

例3 (2014全國卷Ⅰ理科16題)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為.

圖3

圖4

點(diǎn)評：當(dāng)題目條件中出現(xiàn)定線段且這條線段所對張角恒為直角時(shí)，根據(jù)直徑對直角的性質(zhì)可以這條定邊為直徑，作出隱形圓；當(dāng)定線段所對的張角為非直角的定值時(shí)，利用三角形外心的性質(zhì)，可確定輔助圓的半徑；當(dāng)條件中有兩角相等，且這兩角對著同一條線段，且在這條線段的同側(cè)時(shí)，可將這條線段看作圓中的弦，這兩個(gè)等角看作圓中同弧(或弦)所對的圓周角，從而考慮構(gòu)造隱形圓，輔助解題．

3 定比

一般地，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A、B距離之比為常λ(λ≠1)的點(diǎn)P的集合是圓，此圓叫做阿波羅尼斯圓(通常也稱為圓的第二定義)(注：本性質(zhì)教材以例題呈現(xiàn)).若題目中有關(guān)于比例關(guān)系之類的等量條件，在審題時(shí)可以利用“阿氏圓”的定義挖掘隱形圓，使問題迎刃而解．

圖5

點(diǎn)評：本題借由阿波羅尼斯圓的定義，建立直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)C所在的“隱形圓”，將求三角形面積的最大值問題轉(zhuǎn)化為求阿氏圓上的動(dòng)點(diǎn)到線段AB的距離的最大值問題.

4 定平方和

圖6

分析：本題用常規(guī)方法解答較困難.由平方和定值，可建立坐標(biāo)系“發(fā)掘”“隱形圓”，以形助數(shù)來解決.

數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化．如果不對試題的共性進(jìn)行研究進(jìn)而形成共識(shí)，則不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不能較好地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力．以上主要闡述隱含圓的發(fā)掘及其在解題中的作用，所述例題的特點(diǎn)都是題設(shè)條件涉及一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)論則需要求某一條線段長度或角度的范圍或最值，從數(shù)的角度看，最終都要依靠函數(shù)、方程和不等式的知識(shí)來解決，且都有較大的運(yùn)算量.這促使我們轉(zhuǎn)換解題的視角和入口．將“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，運(yùn)用軌跡思想尋求動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，從而發(fā)掘出“隱含圓”，進(jìn)而獲得問題的優(yōu)化解決方案，道是“無源”卻“有圓”.處理這類題目的關(guān)鍵在于能否把“隱形圓”“挖”出來，因此需要注意觀察、分析題目的結(jié)構(gòu)特征，挖掘題目中的每一條信息，篩選出形成圓的關(guān)鍵或有用的信息，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，讓其現(xiàn)出“圓”形，往往能使問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在圓中清晰地展現(xiàn)出來，從而起到化隱為顯、化難為易的解題效果，這時(shí)你就會(huì)有“圓”來如此多嬌的美妙感覺.