直覺：數(shù)學解題的精靈

鹽城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 (224002) 段志貴南京師范大學教師教育學院 (210023) 陳馨悅青海師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (810008) 黃云鶴

在數(shù)學思維活動中，直覺是一種特殊的思維活動，它既不同于邏輯，又不同于經(jīng)驗，是一種介于邏輯與經(jīng)驗之間的，有一定色彩的創(chuàng)造性思維活動，數(shù)學直覺在數(shù)學解題過程中往往可以發(fā)揮關鍵性的作用．

1 解題直覺的意義

嚴格意義上說，數(shù)學的直覺是指人們運用已有的知識、經(jīng)驗和技能，通過觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜測等方法對所研究的事物做出一種比較迅速的直接綜合判斷．它是對數(shù)學對象中的關系和結構的直接領悟．它不受固定邏輯規(guī)則約束，對事物迅速識別，未經(jīng)一步步的推理、分析，就能對問題突然領悟、理解或給出答案．直覺應用到數(shù)學解題之中，以其高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數(shù)學關系，促成解題思路的形成，從而有效推進解題計劃的擬定和解題方法的獲得．

有了這一思路，問題的最終解法便獲得了非?？煽康淖ナ郑趺淳拖氲睫D換為三角，想到正切二倍角公式，想到設x=tanA，y=tanB，z=tanC？這就是解題直覺！

本質(zhì)上說，解題直覺是一種認知激活——解題者認知被問題表征系統(tǒng)所激活．“三項和三項積相等”是問題的一個表征，客觀上讓人想到“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”，這是曾經(jīng)的認知被激活．再由結論中的“三項和三項積相等”以及類似正切二倍角公式的表征，從而想到對問題的假設，想到把問題轉化為證明三角恒等式，這便形成了解題直覺．

顯然，解題直覺的產(chǎn)生建立在對所涉及到的知識與技能有一定的理解和掌握基礎之上，解題直覺的涌現(xiàn)也并非一蹴而就，往往伴隨著對思維障礙的突破，存在于堅持不懈地探索與發(fā)現(xiàn)之中．

2 解題直覺的呈現(xiàn)

2.1 在探尋解法的過程中突現(xiàn)靈感

在探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題解法的過程中，針對一些已知的關系與結構，有時特定的某一條件會給我們留下特別的印象，盤旋于腦海，在搜索其它知識模塊的過程中，如果能夠產(chǎn)生某個交集，則可以使認識上產(chǎn)生一個飛躍，這種飛躍并不都具有邏輯性，但結果卻是令人興奮的，有時便形成了爆發(fā)性的頓悟，這種頓悟，就是一種解題直覺．

2.2 在演繹推理的過程中超越規(guī)則

當演繹推理與直覺交織在一起時，一般不是依三段論規(guī)則按步前進，而是采用比較迅速，比較“自由”的方式向前延伸．一種是原有邏輯程序的簡化和壓縮，多表現(xiàn)為在大腦中迅速檢索到一種“思維塊”并直接做出判斷；另一種是推理之鏈中包含有不合三段論規(guī)則的判斷，這些看似支離破碎的判斷，其實都是邏輯與直覺混合起作用的結果，它們往往也會促成解題念頭的形成．

例3 已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當x>0時，恒有f(x)<0，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

分析：要證單調(diào)性，就是要考察f(x2)-f(x1)是大于0，還是小于0．再從題目條件出發(fā)，任取x1，x2，使得x10，所以f(x2-x1)<0．于是，從這里解題直覺產(chǎn)生，并逐步向結論延伸，可以發(fā)現(xiàn)f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，所以函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減的．當然這一過程作為解題還不完備，還需要去進一步地完善充實．

2.3 在歸納總結的過程中跳躍進程

一個普遍性判斷包含有被歸納的事實中所沒有的內(nèi)容，因而在由幾個單稱判斷歸納出一個新的全稱判斷時，歸納進程必然會跳躍一下．在處理數(shù)學問題時，無論是把問題特殊化，還是把特殊化了的問題化歸到原來的一般問題，都需要直覺的跳躍．

2.4 在解題聯(lián)想的過程中不落窠臼

依據(jù)解題中的相關對象或相似因素，或熟悉的解題模式，人們在解題中常常會做出某些跳躍式的自由聯(lián)想，這些聯(lián)想與解題者的經(jīng)驗有很大關系，有的聯(lián)想極有可能幫助我們獲得解題的有效線索．

3 解題直覺的捕獲

3.1 透視背景形成直覺

許多問題的解決往往要通過仔細觀察分析，去發(fā)現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，尤其是要透過問題的表象，直覺捕獲問題背后蘊藏的數(shù)學知識點和數(shù)學思想方法，真正感知到編題者命題的意圖所在，為順利解決問題奠定基礎．

例6 設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，求a的值或取值范圍．

圖1

分析：觀察本題已知條件，可能看到本題的背景源自于兩個簡單的函數(shù)之積，一個是一次函數(shù)y1=(a-1)x-1，另一個是二次函數(shù)y2=x2-ax-1，從兩個函數(shù)入手，我們分別作出它們的函數(shù)圖像，如圖1所示，很快可以分析得到這兩個函數(shù)都過定點P(0,-1)．

再把直線與x軸的另一個交點坐標代入到拋物線方程中去，就很快可求得本題的解了．當然，要注意本題在真正實施求解的時候，為體現(xiàn)解題的完整與規(guī)范，首先要a分為a=1和a≠1這兩種情況去討論．可以看出，對于這么一個比較難的問題我們只要把它還原到它所在的大背景下看就容易多了．

3.2 數(shù)形結合產(chǎn)生直覺

通俗地理解數(shù)形結合，就是使某些幾何問題轉化為代數(shù)問題，某些代數(shù)問題用更為直觀的幾何圖形來解決．數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，在解題中，數(shù)與形的轉換經(jīng)常用到，通過數(shù)形結合構造某種數(shù)學形式，使數(shù)學題中的條件和結論的關系很清晰地表現(xiàn)出來，易于產(chǎn)生解題直覺，從而使問題得到解決

3.3 審美賞析產(chǎn)生直覺

對于一個特定的數(shù)學問題，在我們尋找解題路徑時利用數(shù)學美，有時亦能收獲特別的解題直覺．在“和諧”美的背景下，追求統(tǒng)一性、對稱性、不變性、恰當性；在“簡單”美的情境下，思考如何用簡單的原理、公式來概括大量的事實；在“奇異”美的感悟下，人們會涌現(xiàn)奇特與新穎的感受，所有這些都會在美的感召下，迸發(fā)出智慧的火花，這火花就是數(shù)學直覺．法國大數(shù)學家阿達瑪說過:“數(shù)學直覺的本質(zhì)是某種‘美感’或‘美的意識’，‘美的意識’越強，發(fā)現(xiàn)和辨別隱蔽和諧關系的直覺也就越強”．審美直覺可以激發(fā)靈感，發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，利用數(shù)學簡單美、對稱美、和諧美和奇異美來解決問題．

3.4 結構相似產(chǎn)生直覺

所謂結構相似我們也可以看作是類比構造，它是通過比較所研究問題的對象之間或這些對象與已學過的知識間存在的形式上的相同或相似性得到啟發(fā)，產(chǎn)生直覺，在此基礎上構造一種兼有兩者共同特點的數(shù)學形式，運用這種數(shù)學形式的豐富內(nèi)涵達到解決問題的目的．

圖2

3.5 問題變式產(chǎn)生直覺

有些問題生疏隱晦，解題時需對問題作一番提煉、抽象和標準化，并根據(jù)對應同構原理，對其恰當賦義，構造出一個全新的數(shù)學模型，以找到有效的解題途徑．這類模型的構想往往超越了問題的原有意境，因此需要更為豐富的想象力和創(chuàng)造力以及直覺能力．

4 解題直覺的辯證思考

4.1 解題直覺具有相對性

數(shù)學離不開直覺，數(shù)學直覺在解題過程中起著重要的作用，然而正如龐加萊說的那樣，“直覺是不難發(fā)現(xiàn)的，但它不能給我們以嚴格性，甚至不能給我們以可靠性，這一點越來越得到公認”．數(shù)學畢竟是一門嚴謹?shù)目茖W，如果僅僅用數(shù)學直覺來研究它，不進行嚴格意義上的邏輯證明，那么得出來的結論肯定是有許多荒謬的．因此，解決數(shù)學問題，我們既要高度重視直覺，善于利用直覺，把直覺當成是指引解題方向的一個極其重要的工具，又要對直覺保持高度警惕，有些直覺可能會讓我們的思維走進歧途，陷入解題誤區(qū)．

4.2 解題直覺具有淵源性

直覺既不是從天而降，也不是無水之源、無本之木，它往往降臨在那些具有廣博的學科經(jīng)驗并且對知識奧妙執(zhí)著追求的人身上．我們只有不斷向外界學習、交流、吸取新信息，多做積累，并善于總結、概括和提煉，才能在問題解決的困頓中迸發(fā)出解題靈感．除此之外，還需要我們擁有耐心、恒心和韌性，堅持不懈地從做中學，從學中做，由此當我們的認知結構一旦被激活，也就容易產(chǎn)生直覺了．當然我們討論解題直覺，也不能不提到具體情境．正像哈密頓“四元數(shù)”故事發(fā)生在愛爾蘭一座小橋上一樣，解題直覺的產(chǎn)生與一定的情境相關聯(lián)，我們拼命找尋的解答，有可能在不知不覺中的某個場景或某個狀態(tài)下靈光閃現(xiàn)——解題的直覺來了.

4.3 解題直覺具有層次性

根據(jù)解題過程中思維形式的難易，以及思維形式在人的思維習慣中出現(xiàn)的次序，解題直覺有經(jīng)驗型和思辨型之分．經(jīng)驗型從對問題的觀察、實驗、類比、歸納中萌發(fā)，基本都是對過往熟悉的知識、方法或解題策略的遷移，而思辨型直覺是指在運動變化、對立統(tǒng)一等哲學觀念的基礎上，通過對問題的深層次分析、探究與辨析后形成，比如對稱性、整體性等美學思想，向量法、代數(shù)化等解析幾何思想，它們高于經(jīng)驗型直覺層次，交織著半邏輯性推演，因而有時更加嚴謹，更為適用，但也并非無懈可擊．

總之，面對較為綜合、復雜的問題時，直覺指引不失為獲得問題解法的一條有效通道．當然，我們還應注意到，隨著解題計劃的實施，原先的直覺可能需要調(diào)整和不斷完善或改變．正如楊振寧教授所說，“直覺不斷被修正的過程就是自我提升的過程”，直覺會帶領我們把解題走向深入，帶領我們把解題進行到底，帶領我們走向解題更新的領域．